Тема 2. Теорія вартості грошей у часі

Основні питання теми:

2.1 Сутність вартості грошей у часі

2.2 Складний відсоток (майбутня вартість одиниці)

2.3 Поточна вартість одиниці (дисконтування)

2.4 Поточна вартість одиничного аннуітету

2.5 Внесок на амортизацію грошової одиниці (періодичний внесок на погашення кредиту)

2.6 Майбутня вартість аннуітету (накопичення одиниці за період)

2.7 Періодичний внесок до фонду накопичення (фактор фонду відшкодування)

2.1 Сутність вартості грошей у часі

Оцінка вартості підприємства безпосередньо пов'язана з теорією зміни вартості грошей у часі, тому що:

• по-перше, існує певний часовий лаг між моментом вкладання коштів у підприємство як об'єкт оцінки та моментом отримання доходів від користування ним як товаром;

• по-друге, існування такого часового лагу обумовлює необхідність урахування як інфляційних очікувань, так і ризику неотримання прогнозованих доходів.

Тому для нівелювання впливу фактору часу та забез­печення порівнянності вартісних показників, які прогнозуються на різні моменти часу, в теорії зміни вартості грошей засто­совується часова оцінка грошових потоків. Процедура прове­дення такої оцінки ґрунтується на певних припущеннях:

• грошовий потік - це грошові суми, що виникають в певній хронологічній послідовності;

• грошовий потік, в якому всі суми розрізняються за величиною, називають звичайним грошовим потоком;

• грошовий потік, в якому всі суми рівновеликі та виникають через однакові проміжки часу, називають аннуітетом;

• грошовий потік може виникати наприкінці, на початку та в середині періоду;

• дохід, одержуваний на інвестований капітал, з госпо­дарського обороту не вилучається, а приєднується до основного капіталу;

• часова оцінка грошових потоків враховує ризики, пов'язані з інвестуванням;

• ризик - це вірогідність отримання в майбутньому доходу, що співпадає з прогнозною величиною;

• ставка доходу на інвестиції - це процентне спів­відношення між чистим доходом і вкладеним капіталом.

Часова оцінка грошових потоків передбачає використання шести стандартних функцій складного процента, або шести функцій грошової одиниці:

1. майбутня вартість одиниці (складний процент);

2. поточна вартість одиниці (дисконтування);

3. поточна вартість аннуітета;

4. періодичний внесок на погашення кредиту;

5. майбутня вартість аннуітета;

6. періодичний внесок до фонду накопичення.

2.2. Складний відсоток (майбутня вартість одиниці)

Символ функції - FV.

Дана функція дозволяє визначити майбутню вартість суми, яку має в своєму розпорядженні інвестор зараз, виходячи з передбачуваної ставки доходу, терміну накопичення і періодичності нарахування відсотків.

Розрахунок майбутньої вартості заснований на логіці складного відсотка, який представляє геометричну залежність між первинним внеском, процентною ставкою і періодом накопичення:

FV=PV(1 +r)ⁿ (2.1)

де:

FV - величина накопичення;

PV - первинний внесок;

r - процентна ставка;

n- число періодів нарахування відсотків.

Дана функція дозволяє визначити майбутню вартість суми, яку має інвестор сьогодні, виходячи із ставки процента, терміну накопичення та періодичності нарахування процентів, що передбачаються.

Логіка розрахунків майбутньої вартості наведена на рис. 1

10%

FV₃= ?

FV₃=1331

1210

1100

PV=1000

+100 + 110 +121

0 1 2 3

(початок року) Роки

Рис. 1. Зростання основної суми за функцією майбутньої вартості

Таким чином, використання даної функції передбачає нарахування процентів не тільки на суму первинного внеску, але і на суму процентів, які накопичуються наприкінці кожного періоду. Це можливо тільки за умов реінвестування нарахованих процентів, що збільшує суму основного капіталу.

Задача, що по суті є алгоритмом і дозволяє вирішувати різноманітні інвестиційні проблеми, може бути сформульована таким чином

Приклад. Ви купили шестирічний 8-ми процентний ощадний сертифікат вартістю $1,000. Якщо відсотки нараховуються щорічно, яку суму Ви отримаєте по закінченні контракту?

Рішення:

Використовуємо формулу нарощування грошей, тобто визначаємо майбутню вартість $1,000 через 6 років при 8 відсотках річного доходу:

FV_n =PV(1 + r)ⁿ = $1,000 (1 + 0,08)⁶ =$1,586.87.

Так, наприклад, якщо передбачається нарахування процентів щомісячно, базова формула (5.1) трансформується у такий вигляд:

FV = PV(1 + r/12)^n*12 (2.2)

Для щоквартального нарахування процентів формула майбутньої вартості має вигляд:

FV = PV(1 + r/4)^n*4 (2.3)

Приклад. Власник планує продавати свій бізнес через 1 рік за попередньою оцінною вартістю в 100 тис. грн. Чи достатнім для придбання бізнесу через 1 рік буде внесок у розмірі 80 тис. грн., якщо річна банківська процента ставка становить 20 %, а нарахування процентів відбувається щоквартально?

Майбутню вартість внеску визначимо за формулою (5.2).

FV = 80 (1 + ^0.2/₄)^1*4 = 80(1 + 0,05) ⁴ = 80 * 1,2155 = 97,24 (тис. грн)

Таким чином, внесок у розмірі 80 тис. грн. під 20 % річних із щоквартальним нарахуванням процентів буде недостатнім для придбання через рік бізнесу майбутньої вартістю 100 тис. грн. (97,24 < 100).

2.3. Поточна вартість одиниці (дисконтування)

Символ функції - PV.

Дана функція дозволяє визначити поточну вартість суми, яку матиме в своєму розпорядженні інвестор в майбутньому, виходячи з передбачуваних ставки доходу, терміну накопичення і періодичності нарахування відсотків.

Формулу для визначення сучасної величини елементарного потоку платежів можна легко вивести з формули майбутньої вартості, шляхом поділу його обох частин на величину (1 + г) п. Виконавши відповідні математичні перетворення, отримаємо:

(2.4)

PV - поточна (сучасна) вартість;

FV - майбутня вартість;

r - процентна ставка;

n - число періодів нарахування відсотків.

Дана функція надає можливість визначити теперішню вартість суми, якщо відома її майбутня величина, період, за який цю суму накопичено, та процента ставка. Графічна інтерпретація функції дисконтування наведена на рис. 2.

10%

FV₃=1331

PV=?

PV= 1000

0 1 2 3

(початок року) Роки

Рис. 2. Поточна вартість одиниці

Приклад. Яку суму сьогодні необхідно депонувати в банк під 20 % річних зі щоквартальним нарахуванням відсотків для того, щоб через рік мати змогу придбати у власність бізнес вартістю 100 тис. грн.?

Поточну вартість визначимо за формулою (5.4):

PV=100/(1+^0.2/₄)=100*0.8227=82.27(тис.грн)

Таким чином, щоб отримати можливість через рік стати власником бізнесу вартістю 100 тис. гри., сьогодні необхідно депонувати в банк під 20 % річних зі щоквартальним нарахуванням відсотків 82,27 тис. грн.

2.4. Поточна вартість одиничного аннуітету

Символ функції - PVA.

Аннуітет - це грошовий потік, в якому всі суми не тільки виникають через однакові проміжки часу, але і рівновеликі. Таким чином, аннуітет - це грошовий потік, представлений однаковими сумами. Аннуітет може бути вихідним грошовим потоком по відношенню до інвестора (наприклад, здійснення періодичних рівних платежів) або вхідним грошовим потоком (наприклад, надходження орендної платні яка звичайно встановлюється однаковою фіксованою сумою). Звичайний аннуітет визначається як сума рівновеликих платежів, що здійснюються наприкінці періоду. Авансовий аннуітет має місце за умов часового збігу першого платежу з депонуванням основної суми внеску.

Графічна інтерпретація поточної вартості звичайного аннуітету наведена на рис. 3:

PVА=?

А₁

А₂

А₃

01 2 3

(початок року) Роки

Рис. 3. Поточна вартість звичайного аннуітету

Показує поточну вартість суми грошей, яка буде накопичена в майбутньому, в результаті щорічного внесення однієї грошової одиниці.

Формула для розрахунку звичайного аннуітету має вигляд:

(2.5)

Приклад. Яку суму необхідно покласти на депозит під 10% річних, щоб потім 5 разів зняти по 200 тис. грн.?

1. Знайдемо значення поточної вартості звичайного аннуітету, маємо:

PVA=200*((1-(1+0,1)^-5)/5) = 758,16 тис. грн..

Таким чином, інвестор знімає з рахунку п'ять разів по 200 тис. грн., або 1000 тис грн. Різниця між первинним внеском 758,16 тис. грн. і накопиченим 1000 тис. грн. забезпечується сумою відсотків, що нараховуються на залишок внеску, що зменшується, по техніці складного відсотка. Цей процес передбачає кінець кінцем нульовий залишок на депозиті.

Приклад. Власник підприємства планує придбати нове обладнання для виробничого підрозділу через 3 роки. На сьогоднішній день вартість такого обладнання оцінюється в 35000 грн. Чи вистачить у власника коштів на переобладнання цеху, якщо він вкладатиме наприкінці кожного кварталу 4500 грн. на рахунок під 24 % річних?

Розрахуємо поточну вартість щоквартальних аннуітетних платежів в 4500 грн. під 24 % річних за формулою (2.5):

PVA=4500*((1-(1+^0,24/₄)^-(3*4))/ (^0,24/₄))=37727,3 (грн.)

Таким чином, щоквартальних внесків у 4500 грн. під 24 % річних вистачить власнику для придбання нового обладнання через 3 роки (37727,3 > 35000).

Графічна інтерпретація поточної вартості авансового аннуітету наведена на рис. 4:

А₂

А₃

А₁

PVА=?

0 1 2

(початок року) Роки

Рис. 4. Поточна вартість авансового аннуітету

Для того, щоб розрахувати поточну вартість авансового аннуітету, необхідно дослідити рух грошового потоку. Оскільки перший платіж збігається за часом із депонуванням основної суми внеску, то його майбутня вартість дорівнює теперішній і не потребує дисконтування для забезпечення порівнянності. Всі наступні аннуітетні платежі дисконтуються в звичайному порядку, проте період дисконтування завжди буде на одиницю менше. Тому фактор поточної вартості авансового аннуітету дорівнює фактору поточної вартості звичайного аннуітету для попереднього періоду, збільшеному на одиницю.

Формула для розрахунку авансового аннуітету має вигляд:

(2.6)

Приклад. Розрахувати поточну вартість орендних платежів, які здійснюються щорічно на початку розрахункового періоду 5 років. Сума щорічного орендного платежу дорівнює 20 тис. грн., ставка дисконту - 10 %.

Поточна вартість орендних платежів за 5 років за формулою (2.6) становить:

PVA'=20*((1-(1+0,1)^-(5-1))/0,1+1)=83,4 (тис. грн.)

2.5. Внесок на амортизацію грошової одиниці (періодичний внесок на погашення кредиту)

Оцінка грошових потоків у часі може поставити перед аналітиком проблему визначення величини самого аннуітету, якщо відома його поточна вартість, число внесків і ставка доходу.

Графічна інтерпретація розрахунків періодичного внеску на погашення позики наведена на рис. 2.5.

PVА

А₁=?

А₂=?

А₃=?

01 2 3

(початок року) Роки

Рис. 5. Періодичний внесок на погашення позики

Функція «внесок на амортизацію одиниці» є зворотною по відношенню до функції «Поточна вартість аннуітету» і розраховується за формулою:

(2.7)

2.6. Майбутня вартість аннуітету (накопичення одиниці за період)

Символ функції - FVA.

Дана функція дозволяє розрахувати величину накопичених рівновеликих внесків при заданій ставці доходу .

Графічна інтерпретація розрахунків періодичного внеску на погашення позики наведена на рис. 6.

%

FVА=?

А₁=?

А₂=?

А₃=?

0 1 2 3 4

(початок року) Роки

Рис. 6. Майбутня вартість аннуітету

Функція «внесок на амортизацію одиниці» є зворотною по відношенню до функції «Поточна вартість аннуітету» і розраховується за формулою:

(2.8)

2.7. Періодичний внесок до фонду накопичення (фактор фонду відшкодування)

Дана функція дозволяє розрахувати величину періодично депонованої суми, необхідної для накопичення потрібної вартості при заданій ставці відсотка.

(2.9)

Приклад Яку суму потрібно 5 рази внести на поповнюваний депозит під 8% річних, щоб накопичити 1800 тис. грн.?

Рішення.

1. Знаходимо значення періодичного п'ятикратного внеску при ставці 8% він складе 0,1705.

2. Розрахуємо величину депозиту:

1800 • 0,1705 = 306,9 тис. грн.

Таким чином, сумарний внесок в 1534,5 (306,9 * 5) тис. грн. при нарахуванні 8% річних дозволить накопичити 1800 тис. грн.

Функція «періодичний внесок на накопичення фонду» є зворотним по відношенню до функції «майбутня вартість аннуітету».

2.8. Висновки

Оцінка грошових потоків у часі необхідна для об'єктивного зіставлення грошових сум, що виникають у різні проміжки часу.

Складний відсоток - базова функція, що дозволяє визначити майбутню вартість при заданих періоді, процентній ставці і поточному внеску.

Дисконтування дозволяє розрахувати поточну (приведену) вартість при заданих періоді, процентній ставці і конкретній сумі в майбутньому.

Поточна вартість аннуітету дає можливість визначити поточну вартість внеску, що забезпечує в майбутньому отримання заданих рівновеликих надходжень при відомих числі періодів і процентній ставці.

Періодичний внесок в погашення кредиту дозволяє розрахувати величину аннуітету при заданих поточній вартості аннуітету, процентній ставці і періоді.