- •Оглавление
- •1. Методы проецирования
- •1.2.Параллельное и ортогональное проецирование
- •1.3.Свойства ортогонального проецирования
- •1.4.Обратимость чертежа
- •2. Трёхкартинный чертеж точки
- •2.1.Аппарат проецирования
- •2.2.Конкурирующие точки
- •3. Чертеж прямой
- •3.1.Положение прямой относительно плоскостей проекций
- •3.1.1.Прямая общего положения.
- •3.1.2.Прямая уровня
- •3.1.3.Проецирующая прямая
- •3.2.Взаимное положение прямых
- •4. Комплексный чертеж плоскости
- •4.1.Положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •4.1.1.Плоскость общего положения
- •4.1.2.Проецирующая плоскость
- •4.1.3.Плоскость уровня
- •4.2.Принадлежность прямой и точки плоскости
- •4.3.Прямые особого положении в плоскости
- •4.3.1.Прямая уровня плоскости
- •4.3.2.Прямая наибольшего наклона плоскости к какой-либо плоскости проекций
- •5. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •5.1.Параллельность прямой и плоскости
- •5.2.Параллельность плоскостей
- •5.3.Пересечение прямой и плоскости
- •5.3.1.Пересечение прямой и плоскости частного положения
- •5.3.2.Пересечение плоскостей, одна из которых – частного положения
- •5.4.Пересечение плоскостей общего положения (вторая основная позиционная задача
- •5.5.Перпендикулярность прямых и плоскостей
- •5.5.1.Перпендикуляр к плоскости
- •5.5.2.Плоскость, перпендикулярная прямой
- •5.5.3.Взаимно перпендикулярные прямые
- •5.5.4.Взаимно перпендикулярные плоскости
- •6. Способы преобразования чертежа
- •6.1.Замена плоскостей проекций
- •6.2.Плоскопараллельное перемещение
- •6.3.Вращение вокруг проецирующей прямой
- •6.4.Вращение вокруг прямой уровня
- •7. Многогранники
- •7.1.Пересечение многогранника плоскостью
- •7.2.Пересечение многогранника прямой
- •7.3.Взаимное пересечение многогранников
- •8. Кривые линии
- •8.11.Плоские кривые. Касательные и нормали
- •8.2.Основные свойства проекций плоских кривых линий
- •8.3.Проецирование окружности
- •8.4.Цилиндрическая винтовая линия
- •9. Криволинейные поверхности
- •9.1.Очерк поверхности
- •10. Поверхности вращения
- •10.1.Основные линии поверхности вращения.
- •10.3.Построение сечения поверхности вращения плоскостью
- •10.4.Пересечение поверхности прямой линией
- •11. Взаимное пересечение поверхностей
- •11.2.Пересечение поверхностей вращения второго порядка
- •11.2.1.Способ секущих плоскостей (рис.82)
- •11.2.2.Способ концентрических секущих сфер
- •12. Развертки поверхностей
- •12.1.Развертка призмы
- •12.2.Развертка пирамиды
- •12.3.Развертка цилиндрической поверхности
- •12.4.Развертка конической поверхности
5. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
5.1.Параллельность прямой и плоскости
Определение: прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки.
Признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в плоскости.
Задача. Через точку М провести прямую l, параллельную плоскости (ab) и П1 (рис.33).
Алгоритм решения
1. Т.к. искомая прямая l должна быть параллельна П1, в плоскости (ab) проводим произвольную горизонталь h: сначала h2x12, а затемh1по точкам 1и2: 11 h121
2. Через проекции точки М проводим l2 h2 и l1h1.
Задача решена: прямая l (ab), т.к. она параллельна h, лежащей в плоскости, и l П1,т.к. l2 x12.
5.2.Параллельность плоскостей
Определение: плоскости являются параллельными, если не имеют общей точки.
Признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны
Задача. Через точку М провести плоскость , параллельную плоскости (ab) (рис.34).
Алгоритм решения
1. В заданной плоскости нет пересекающихся прямых, поэтому проводим в ней дополнительную прямую с ,пересекающую прямые, задающие плоскость (ab).
2. Искомую плоскость задаём двумя пересекающимися прямыми m a и l с, проведенными через точку М.
5.3.Пересечение прямой и плоскости
5.3.1.Пересечение прямой и плоскости частного положения
Задача. Построить точку К пересечения прямой l с проецирующей плоскостью (рис.35).
Алгоритм решения
1. Точка К общая для прямой и плоскости. Из условия принадлежности её плоскости горизонтальная проекция К1 должна располагаться на вырожденной проекции плоскости 1. Из условия принадлежности её прямой l проекции точки должны лежать на проекциях прямой. Следовательно, К1 лежит в точке пересечения 1 и l1: l1 К11 . Фронтальная проекция К2 находится по принадлежности прямой l : К2 l2.
Видимость прямой на П2 определяем «по представлению»: рассматриваем горизонтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П2 и видим, что при взгляде на П2 часть прямой правее точки К располагается за плоскостью и является невидимой.
5.3.2.Пересечение плоскостей, одна из которых – частного положения
Задача. Построить линию пересечения m двух плоскостей, одна из которых - проецирующая (рис.36).
Алгоритм решения
1. Линия пересечения принадлежит фронтально проецирующей плоскости, следовательно, фронтальная проекция линии совпадает с вырожденной проекцией плоскости: m2 = 2 .
2. Линия пересечения m принадлежит плоскости треугольника АВС, следовательно, она пересекает стороны треугольника АВ и АС в точках 1 и 2. Построив горизонтальные проекции этих точек по принадлежности сторонам треугольника и соединив их, получаем горизонтальную проекцию искомой линии пересечения m1 .
3. Видимость треугольника на П1 определяем так же , как и в предыдущей задаче, «по представлению»: рассматриваем фронтальную проекцию совместно с направлением взгляда наблюдателя на П1 и видим, что при взгляде сверху часть треугольника (А12) располагается ниже плоскости и является невидимой.
5.3.3. Пересечение прямой и плоскости общего положения
(первая основная позиционная задача)
Алгоритм решения(рис.37)
Через заданную прямую l проводится проецирующая плоскость .
2. Строится линия m пересечения плоскостей и .
3. Находится точка К пересечения прямой l с построенной линией пересечения m: l Кm. Это и есть искомая точка пересечения прямой l с плоскостью.
Задача. Построить точку К пересечения прямой l с плоскостью (АВС) (рис.37а).
Т.к. заданные прямая и плоскость – общего положения, то применяем алгоритм решения первой основной позиционной задачи.
1. Прямую l заключаем во фронтально проецирующую плоскость : l2 =2.
2. Строим линию пересечения m плоскостей и :
2.1. Фронтальную проекцию m находим из условия её принадлежности плоскости : m m2 =2 ,
2.2. Горизонтальную проекцию m находим из условия её принадлежности плоскости : m пересекает стороны ВС и АС:
m m ВС =1, m АС =2.
Фронтальные проекции точек 1 и 2 находим как результат пересечения одноименных проекций m, ВС и АС: 12= m2 В2С2, 22= m2 А2 С2, а горизонтальные – по принадлежности сторонам треугольника: 11 В1С1, 21 А1С1 .Соединив горизонтальные проекции точек 1 и 2, получим горизонтальную проекцию линии пересечения: 11 m1 21.
3. Находим точку пересечения прямой l с треугольником АВС : К1= m1l1, К2 l2.
4. Видимость прямой определяем с помощью конкурирующих точек. На прямой l берем точку 3, фронтально конкурирующую с точкой 1, по построению принадлежащей стороне ВС треугольника. Рассматриваем горизонтальную проекцию совместно с направлением взгляда на П2. Точка 1 (треугольник) ближе к наблюдателю и заслоняет точку 3(прямую l), следовательно, правее точки К (граница видимости) прямая l является невидимой. На П1 видимость можно определить аналогичным образом, но проще воспользоваться тем, что плоскость (АВС) – нисходящая, и у неё на П1 и П2 видны разные стороны, следовательно, и разные участки прямой l: на горизонтальной проекции невидимым является участок левее точки К.