Лекция 8
.docЛисенко В.І.
«Вища математика»
І КУРС
Опорні конспекти лекцій
Лекція №8. Прямі лінії та площини
Література:
-
Тевяшев А.Д., Литвин О.І. Вища математика в прикладах та задачах. Ч.І. – К.: Кондор, 2006. – 588 с. (с. 36-37, 45-50).
-
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч І.– М. 2005. –304 с. (с. 53-63).
-
Гусак А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов. В 2 т. Т.1. – Минск: ТетраСистемс, 2007 – 544с. (31-40 с.).
-
Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навчальний посібник: К.: Центр навч. Літератури, 2005 – 536с. (с. 103-109).
Основні теоретичні положення
Предметом аналітичної геометрії є вивчення геометричних образів алгебраїчними методами.
Кожна точка на площині ототожнюється з упорядкованою парою чисел, а в просторі – з упорядкованою трійкою чисел – координатами цієї точки.
-
Найпростіші задачі аналітичної геометрії:
а) Відстань між двома точками та
Розв’язання
Обчислимо координати вектора .
Знаходимо довжину вектора .
(1)
б)Поділ відрізка у заданому відношенні.
Нехай кінці відрізка задані своїми координатами та , а точка поділяє відрізок у відношенні . Тобто Інакше це можна записати так: . Запишемо останню рівність у векторній формі . Звідки:
, інакше
.
На основі рівності векторів, маємо:
(2)
Якщо точка М(x;y;z) поділяє відрізок навпіл, тобто , то
; ; (3)
Приклад 1. Знайти відстань між точками та , а також координати точки М, що поділяє відрізок у відношенні .
Розв’язання.
За формулою (1) маємо:
. Тоді
; ; .
Тобто ; ; ;
.
-
Основні задачі аналітичної геометрії
а) Складання рівняння геометричного об’єкта, який розглядають як геометричне місце точок.
б) Дослідження і побудова геометричного об’єкта за його рівнянням.
-
Пряма на площині
Означення: будь-яке рівняння першого степеня відносно x та y визначає на площині деяку пряму. Записують (3), де А, В, С – числові коефіцієнти, причому А і В одночасно не дорівнюють нулю.(записують )
Самостійно дома записати частинні випадки рівнянь прямих та побудувати їх графіки, якщо:
1) ; ; ;
2) ; ; ;
3) ; ; ;
4) ; ; ;
5) ; ; ;
Залежно від способу задання прямої на площині одержують різні види рівнянь, які систематизовані в таблиці 1.
Таблиця 1.
Примітка 1. Щоб одержати рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно вектору , треба на прямій вибрати точку і записати скалярний добуток векторів та . .
2. Щоб одержати канонічне рівняння прямої (чи рівняння прямої, що проходить через дві точки) треба записати в координатній формі колінеарність векторів та ( та ).
Другий спосіб.
Зведемо задані рівняння до рівнянь прямої з кутовим коефіцієнтом
Тепер тангенс шуканого кута можна знайти за формулою
;
Приклад 4.
Знайти відстань між двома прямими: та .
Розв’язання
Прямі задані загальними рівняннями є паралельні, оскільки координати векторів, перпендикулярних до цих прямих ( та ) пропорційні.
Знайдемо координати будь-якої точки, що задовольняє рівняння першої прямої.
Нехай х=2, тоді , звідки у=2. тобто точка належить першій прямій.
За формулою (4) знаходимо її відстань від другої прямої (тобто відстань між паралельними прямими).
-
Пряма у просторі. Основні види рівнянь прямої у просторі.
-
Рівняння прямої, що проходить через дві точки та
(12)
-
Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку і має напрямний вектор
(13)
-
Загальне рівняння прямої, що визначена перетином двох непаралельних площин
(14)
Приклад 5. Вершини трикутника АВС задані координатами: , , . Записати рівняння медіани АМ.
Розв’язання
Користуючись формулами (3), знаходимо
Координати точки як середини відрізка ВС.
; ; .
; ; .
Отже .
Скористаємось формулою рівняння прямої, що проходить через дві точки А та М.
. Одержимо
;
-
Види рівнянь площини.
а) Рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно до вектора .
Нехай точка належить цій площині. Тоді вектор і перпендикулярні, а значить їх скалярний добуток дорівнює нулю.
; (1) –
рівняння площини, яка проходить через точку і має вектор нормаль
Якщо у формулі (1) розкрити дужки, то одержимо
ї
(*)
Позначимо . Тоді формула (*) матиме вигляд:
(2) – загальне рівняння площини.
Зауваження.
Вектор називають нормальним вектором або вектором нормалі площини .
Приклад 1.
Записати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
Розв’язання:
У формулу (1) підставимо координати точки і вектора
;
;
;
.
Дослідимо загальне рівняння площини
-
Якщо D=0, то воно приймає вигляд і визначає площину, що проходить через початок координат. (Це рівняння задовольняє точка О(0;0;0))
-
Якщо А=0, то рівняння (2) приймає вигляд і визначає площину, вектор нормалі якої перпендикулярний осі Ox (Оскільки ), а значить площина паралельна до осі Ox. Отже, якщо у загальному рівнянні площини коефіцієнт при х дорівнює нулю, площина паралельна до осі Ох.
Аналогічно, якщо:
В=0, то площина паралельна осі Oy;
С=0, то площина паралельна Oz;
А=В=0. то площина паралельна до площини Оху;
А=С=0, то площина паралельна до площини Охz;
В=С=0, то площина паралельна до площини Оyz;
A=D=0, то площина проходить через Ох;
В=D=0, то площина проходить через Оу;
С=D=0, то площина проходить через Оz;
А=В=D=0, то площина Сz=0 співпадає з Оху;
В=С=D=0, то площина Ах=0 співпадає з Оyz;
А=С=D=0, то площина Ву=0 співпадає з Охz;
Якщо у рівнянні (2) коефіцієнт , то поділивши всі члени рівняння на і позначивши , , , одержимо:
; , тобто
(3) – рівняння площини у відрізках.
У цьому рівнянні , і – відповідно абсциса, ордината і апліката точок перетину площини з осями Ох, Оу та Оz.
Нехай на площині задані три точки , та . Візьмемо на площині довільну точку . Оскільки всі чотири точки лежать на площині, то вектори , та компланарні, тому їх мішаний добуток дорівнює нулю. (**)
Запишемо координати цих векторів
, ,
. Тоді рівність (**) прийме вигляд:
(4) –
Приклад 2.
Записати рівняння площини, яка проходить через три точки , , .
Розв’язання:
Скористаємось формулою (4)
, одержимо .
Звідки: , тобто . Поділимо почленно на . Одержимо , тобто .
Нехай , , . Тоді рівняння площини має вигляд , оскільки точки А, В і С лежать на осях Ох, Оу та Оz.
-
Кут між площинами. Умова паралельності і перпендикулярності двох площин.
Нехай задано дві площини і відповідно рівняннями:
Двогранний кут між площинами вимірюється лінійним кутом, який дорівнює куту між нормальними векторами цих площин та . Тоді (5)
Якщо , то , а значить . Тобто (6) –умова перпендикулярності площин.
Якщо , то , а значить їх координати пропорційні:
(7) – умова паралельності площин.
-
Відстань від точки до площини.
Якщо площина задана рівнянням , а точка , то відстань від точки до площини обчислюють за формулою:
(8) – відстань від точки до площини.
Приклад 3.
Знайти висоту АН піраміди, заданої своїми вершинами: , , , .
Розв’язання:
За формулою (4) знаходимо рівняння площини, яка проходить через точки B, C, D.
, ,
, , .
Висота АН дорівнює відстані від площини BCD до точки . Тобто:
.
-
Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.
а) б)
Рис.1
Оскільки , то він утворює з направляючим вектором прямої кут (коли рис. 1(а)) або (коли рис. 1(б)).
Так як під розуміють гострий додатний кут, то , або . Тобто . Одержимо:
(9) – синус кута між прямою та площиною.
5. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.
.
, коли вектор нормалі площини , напрямний вектор прямої перпендикулярні. Тобто (10).
, при умові, що , тобто (11).
а) б)
Рис.2
Приклад 4.
Визначити кут між прямою і площиною Р, яка проходить через точки , , , .