МЕХАНИКА
.pdf1
МЕХАНИКА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинематика - начальные понятия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Механика - наука об общих законах движения и взаимодействия тел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Механическим движением называется изменение положения тела в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространстве относительно других тел с течением времени. |
Примеры: Ученик идет в школу. |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
Основная задача механики - определить положение тел в пространстве в |
Положение ученика изменяется |
||||||||||||||||||||||
относительно его дома (школы, |
|||||||||||||||||||||||
любой момент времени. |
|||||||||||||||||||||||
деревьев и т.п.) с течением |
|||||||||||||||||||||||
Разделы механики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
времени. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
КИНЕМАТИКА - раздел механики, изучающий способы описания движений |
Примеры других видов |
|
|||||||||||||||||||||
движения: биологическое - рост |
|||||||||||||||||||||||
и связь между величинами, характеризующими эти движения. |
организма; социальное - |
|
|||||||||||||||||||||
СТАТИКА - раздел механики, изучающий равновесие абсолютно твердых тел. |
революционное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ДИНАМИКА - раздел механики, изучающий взаимное влияние тел друг на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
друга и изменение характера движения этих тел в результате взаимодействий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Материальная точка - физическая модель тела, размерами которого в |
Примеры: |
можно |
пренебречь |
||||||||||||||||||||
данных условиях движения можно пренебречь. |
размерами |
|
|
автомобиля |
при |
||||||||||||||||||
|
изучении |
его |
|
движения |
по |
||||||||||||||||||
|
сравнению |
с |
расстоянием |
от |
|||||||||||||||||||
|
Санкт-Петербурга до Москвы. |
||||||||||||||||||||||
|
Размерами этого же автомобиля |
||||||||||||||||||||||
|
нельзя пренебречь, если мы |
||||||||||||||||||||||
|
изучаем движение |
|
жука |
по |
|||||||||||||||||||
|
поверхности автомобиля. |
|
|||||||||||||||||||||
Поступательное движение - движение, при котором прямая, соединяющая |
Примеры: санки скатываются с |
||||||||||||||||||||||
произвольные точки данного тела, перемещается параллельно себе самой. При |
|||||||||||||||||||||||
этом все точки абсолютно твердого тела имеют одинаковые скорости и |
горы поступательно. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ускорения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система отсчета (СО) - тело отсчета, система координат, связанная с ним, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прибор для отсчета времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. СО
Траектория - воображаемая линия, вдоль которой движется тело. Примеры: лыжня, кильватерный след.
Уравнение траектории - уравнение, выражающее зависимость между координатами тела.
Путь - длина траектории. Путь не может быть отрицательным!
Способы описания движения.
2
Табличный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достоинства: нагляден, прост, удобен при изучении периодических движений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
t,c |
0 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
||||||||||||
(например, таблицы координат астрономических объектов). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x,м |
3 |
|
0 |
3 |
|
6 |
|
6 |
|
0 |
|
18 |
|
||||||||
Недостатки: не позволяет определить положение тела в любой момент времени |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(промежуточные значения), не позволяет предсказать характер движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Словесный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы попасть из |
|
|
||||||||||||||
Достоинства: прост, не требует научных знаний. |
|
|
|
|
моего дома в школу надо выти |
|
|||||||||||||||||||
Недостатки: слишком не точен, не является научным, не позволяет решить |
|
на улицу, повернуть направо, |
|
||||||||||||||||||||||
задачу механики. |
|
|
|
|
|
|
|
пройти через двор, свернуть |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
налево... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитический (координатный); s s(t); r r(t) ,где |
s r - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at2 |
|
|
||||||||||||
перемещение и радиус-вектор соответственно. |
|
|
|
|
|
r |
r0 |
v0t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Уравнение движения - уравнение, выражающее зависимость радиус-вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(вектора перемещения, координат) от времени. |
|
|
|
|
|
|
|
x 2t |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Достоинства: точен, позволяет однозначно решить основную задачу механики, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
обладает возможностью предсказать характер движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Недостатки: требует специальной подготовки. |
|
|
|
|
|
|
|
y 5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2sin5t |
|
|
|
|
|
|
||||||
Графический. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достоинства: нагляден. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Недостатки: неточен, нельзя предсказать характер движения в дальнейшем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Перемещение - направленный отрезок прямой (вектор), соединяющий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
начальное положение тела с его последующим положением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В СИ измеряется в метрах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим: x, y, z - координаты тела в любой момент времени; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x0, y0, z0 - начальные координаты тела. |
|
|
радиус- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проекции перемещения на оси координат (иначе - координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
s x |
|
x x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вектора): |
|
|
|
|
|
|
z z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s sx2 sy2 sz2 |
(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 0 |
sx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sz |
- решение основной задачи механики. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда: z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вывод: для решения основной задачи механики необходимо знать перемещение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тела (проекции перемещения на оси координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проекцией вектора a на ось x называется отрезок ax между проекциями на эту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ось начала и конца вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Знаки проекций: если вектор сонаправлен с осью (координата конца вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
больше координаты начала) - проекция положительна; если вектор направлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
против оси (координата конца вектора меньше координаты начала) - проекция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
отрицательна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
СЛОЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Прямолинейное движение - траектория представляет собой прямую линию.
Прямолинейным равномерным движением называется механическое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени
3
t1 = t2 = t3 = ... совершает одинаковые перемещения s1 s2 s3 ....
|
|
s1 |
|
|
s2 |
|
s3 |
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t2 |
t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно: |
|
t1 |
|
|
- эта величина является характеристикой движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
v |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
s |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||||||||||||||
t |
- скорость прямолинейного равномерного движения. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Скорость прямолинейного |
равномерного движения - |
это векторная физическая величина, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
численно равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это |
|
v s |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
перемещение произошло. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Скорость показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени, двигаясь |
|
м |
|
|
|
|
км |
|||||||||||||||||
прямолинейно и равномерно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Например, если модуль скорости равна 5 м/с, это значит, что за каждую секунду своего движения |
1 |
|
3,6 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ч |
|||||||||||||||||||||||
тело, двигаясь прямолинейно и равномерно, перемещается на 5 м. |
|
с |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Для описания прямолинейного равномерного одного тела достаточно одной оси координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s v t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По правилам действия с векторами |
s v t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из чертежа видим: |
sx vx t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где vx - проекция вектора скорости на координатную ось x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение основной задачи механики для прямолинейного равномерного движения: |
|
s v t |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 vx t |
|
|
s v t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s v t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 vx t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
x-x0 |
|
|
v |
x-x0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
|
x |
|
|
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
||||||||||
Если движение сонаправлено с осью координат, тоvx 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если движение против оси координат, то vx 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Графическое представление равномерного прямолинейного движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1.График зависимости проекции скорости от времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Площадь под графиком скорости численно равна перемещению. (Справедливо для любого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движения) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2. График зависимости проекции перемещения от времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
vx1 |
0 и vx2 |
0 - движение сонаправлено с осью, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
vx3 |
0 - движение против оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3. График зависимости координаты от времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, 4 - движение сонаправлено с осью, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, 5 - движение против оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Относительность механического движения.
4
1.Механическое движение можно наблюдать только относительно других тел. Обнаружить изменение положения тела, если не с чем сравнивать невозможно.
2.В различных системах отсчета физические величины (скорость, ускорение, перемещение и т.д.), характеризующие движение одного и того же тела, могут быть различными.
3.Характер движения, траектория движения и т.п. могут быть различны в разных системах отсчета для одного и того же тела могут быть различны.
Пусть две СО движутся друг относительно друга с постоянной скоростью u . Положение точки А в неподвижной системе К задано вектором r, а в движущейся системе К1 - вектором r1 . Из чертежа видим, что r r1 ut. Это
уравнение позволяет переходить из одной СО в другую.
При этом мы считаем, что время течет в обеих СО одинаково.
Будем условно называть систему К неподвижной, а систему К1 - движущейся.
Тогда для случая, когда координаты y и z не меняются, получим:
x x1 ut |
|
x1 x ut |
||
|
|
|
|
y |
y y |
1 |
или |
y1 |
|
|
|
|
z |
|
z z1 |
|
z1 |
||
|
|
|
|
t |
t t1 |
|
|
t1 |
- преобразования Галилея.
Из этих уравнений следует:
- расстояние между двумя точками абсолютно, т.е. не зависит от выбора СО. Пусть в неподвижной СО координаты точек x и x', а в подвижной соответственно
x1 и x1'. Тогда x |
|
|
|
x1 |
; |
r r1 ut |
|
|
|
x (x1 ut) (x1 ut) x |
|
|
|
||||
Разделим правую и левую часть уравнения на промежуток времени, в течение |
1 |
u |
||||||
которого шло перемещение. |
|
|
|
|
||||
|
|
Получим: 1 u |
|
|
|
|
|
- закон сложения скоростей. Здесь скорость точки относительно неподвижной СО равна векторной сумме скорости точки относительно подвижной СО и скорости самой подвижной СО относительно неподвижной.
Скорость подвижной СО относительно неподвижной наз. переносной скоростью.
Если скорости v1 и u сонаправлены (тела сближаются), то их проекции складываются, если противоположно направлены (тела удаляются) – вычитаются.
Если скорости направлены под прямым углом - 12 u2 ,
если угол произвольный, то необходимо пользоваться теоремой косинусов:
|
|
|
|
|
|
12 |
u2 |
|
|
2 1ucos ,ãäå ( ,u). |
Эти выводы справедливы для скоростей много меньших скорости света в вакууме
(3.108м/с).
НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ |
КРИВОЛИНЕЙНОЕ |
|
|
5
Вектор средней (по времени) скорости равен отношению вектора перемещения к
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vср |
|
s |
|
|
|
|
v |
|
s |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t - на |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. |
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
каждом участке средняя скорость разная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Средней путевой скоростью называется отношение всего пути, пройденного телом, к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
промежутку времени, в течение которого этот путь пройден: |
|
t . |
В случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
прямолинейного движения средняя (по времени) скорость неравномерного движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
точки равна отношению изменения ее координаты к интервалу времени, |
в течение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
которого это изменение произошло. |
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Средняя скорость НЕ позволяет вычислять перемещение и координаты в любой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
момент времени. По средней скорости нельзя судить о пройденном пути (нельзя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
решить основную задачу механики). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Мгновенная скорость - скорость тела в данной точке пространства в данный момент |
v lim |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
||||||||||||||||||||
|
|
(limit – предел) отношения перемещения (изменения |
|
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Равна пределу |
|
t 0 |
t |
|
|
t 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
координаты)промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
промежуток времени стремится к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения в |
v lim |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
каждой ее точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
В случае прямолинейного движения мгновенная скорость меняется только по |
|
t 0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
величине, но не по направлению. Мгновенная скорость показывает, какое |
для |
|
|
|
|
|
|
прямолинейного |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
перемещение совершило бы тело за единицу времени, если бы начиная с данного |
движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
момента, оно двигалось прямолинейно и равномерно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Равнопеременное движение. Ускорение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Движение, при котором скорость тела изменяется одинаково за любые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
равные промежутки времени, называется равнопеременным движением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обозначим: v0 - вектор начальной скорости, 0 |
- изменение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
скорости, а t - промежуток времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пусть t1= t2= t3=..., тогда по определению 1 2 3 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Следовательно, |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
... const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t1 |
t2 |
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., это характеристика движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
0 |
- ускорение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
v v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v v0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если t0=0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
УСКОРЕНИЕ - физическая величина, характеризующая быстроту изменения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
скорости и (при равнопеременном движении) численно равная отношению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
вектора изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
изменение произошло. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Ускорение при равнопеременном движении показывает, насколько меняется |
Например, ускорение равно 5 м/с2 - |
|||||||||
мгновенная скорость движения тела за единицу времени. Единица ускорения в |
это |
значит, |
что, |
двигаясь |
||||||
СИ - м/с2. |
равноускоренно, |
тело |
изменяет |
|||||||
|
|
|
скорость на 5 м/с за каждую секунду |
|||||||
|
|
|
своего движения. |
|
|
|
|
|
|
|
В случае не равнопеременного движения:añð |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда мгновенное ускорение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Равнопеременное движение называется равноускоренным, если модуль |
|
|
|
|
|
|
||||
скорости возрастает. |
|
Условие р.у.д. - |
v0 |
a |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Равнопеременное движение называется равнозамедленным, если модуль |
|
|
|
|
|
|
||||
скорости уменьшается. |
|
Условие р.з.д. - |
v0 |
a |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Графики равнопеременного движения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v v 0 a t |
v v 0 a t |
|
или |
v |
x |
v |
0x |
a |
x |
t |
v x v 0x a x t |
|
|
|
- в проекциях; |
|
||||
или |
v |
v 0 |
a t – через модули. |
|
||||
|
|
|
|
|
Линейная функция. График - прямая. |
|
||
|
|
|
Движения, совпадающие с направлением координатной оси: |
|
1.равноускоренное с начальной скоростью
2.равноускоренное без начальной скорости
3.равнозамедленное
Движения против координатной оси:
5.равноускоренное без начальной скорости
4.равнозамедленное
6.равноускоренное с начальной скоростью
Перемещение при равнопеременном движении.
Площадь под графиком скорости численно равна перемещению.
Следовательно, площадь трапеции численно равна перемещению.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение основной задачи механики |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для р.у.д. : |
|
|
|
|
|
|
v v |
0 |
|
v v |
0 |
|
|
v v |
0 |
|
v |
2 v2 |
|
at |
2 |
|
at 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
s |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
v0t |
|
|
v t |
|
|
|
|
at2 |
|
|
at2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
2a |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s v0t |
2 |
x x0 |
v0t 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Графики перемещения и координаты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x x0 v0t |
at 2 |
|
s v |
0t |
at 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 и |
|
- квадратичные. График – |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
парабола! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Перемещение |
|
|
|
|
|
|
Координата |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Криволинейное движение.
При криволинейном движении вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения. Любое криволинейное движение можно представить в виде суммы прямолинейных движений и движений по окружностям разных радиусов.Скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости.
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.
Равномерное движение точки по окружности - движение точки с постоянной по модулю скоростью (v=const) по траектории, представляющей собой окружность. Но, т.к. скорость всегда направлена по касательной к траектории движения, то по направлению она изменяется. Значит равномерное движение по окружности – ускоренное движение! Точка совершает перемещение с постоянной по модулю скоростью,
следовательно:v s l .
tt
Вэтом случае скорость точки называется линейной скоростью (ℓ
– длина дуги). Вектор линейной скорости направлен по касательной к окружности в данной точке.
Можно характеризовать изменение положения тела с помощью |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
углового перемещения (угла поворота) . Возьмем несколько |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
концентрических окружностей и построим для всех центральный |
v |
l |
|
|
|||||||||||||||||||||
угол так, чтобы радиусы этих окружностей, |
образующие угол, |
|
|
||||||||||||||||||||||
t |
|
||||||||||||||||||||||||
накладывались друг на друга. Из рисунка видно, что одному и тому |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
же углу соответствуют у одной окружности дуга ℓ и радиус r, а у |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
другой – дуга L и радиус R. За меру угла можно принять |
|
|
l |
|
|
|
|||||||||||||||||||
отношение длины дуги к радиусу: |
l |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||
Единица измерения угла в этом случае наз. радианом (сокращение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– рад). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Центральный угол равен одному радиану, если длина дуги равна |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
радиусу окружности. Если точка совершила полный оборот, то |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
длина |
дуги |
равна |
длине окружности. |
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 r |
2 3600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- полный оборот точки соответствует |
2 радиан. Для |
перевода |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
1800 |
|||||||||||||||||||||||||
единиц |
|
составим |
пропорцию: |
|
|
0 |
|
360 |
0 |
|
180 |
0 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно: |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равномерное движение точки по окружности – это движение, при котором точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые угловые перемещения (поворачивается на одинаковые углы).
Если характеризовать движение углом поворота, то удобно ввести
угловую скорость: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
- |
|
|
t |
|||
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
||
угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка |
|
|
|
||||
при равномерном движении по окружности за единицу времени. |
|
|
|
||||
Единица измерения в СИ - рад/с. |
|
|
|
|
|||
Можно сказать, что равномерным движением по окружности наз. |
r |
||||||
движение с постоянной угловой скоростью. |
Линейная и угловая |
||||||
|
|
|
8
скорости |
связаны |
между собой: v |
l |
|
r |
r, т.е. |
|
|
|
|
|
||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
r. |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
К важным характеристикам вращательного движения относятся |
|
2 |
|
||||||||||||||||
частота и период. Период - физическая величина, показывающая, |
|
||||||||||||||||||
|
Т |
||||||||||||||||||
чему равно время, за которое точка совершает один полный |
|
|
|||||||||||||||||
оборот. Если обозначить N – число оборотов, а Т – период, то: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Т |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ò |
|
|||
Единица измерения в СИ – с. Т.к. за период точка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
поворачивается на угол 2 , то |
2 |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частота – количество оборотов, которое совершила точка за |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
единицу времени: |
N |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Единица измерения в СИ – Гц (герц). Частота равна одному герцу, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
если за 1 секунду точка совершает один полный оборот (1Гц=1с-1). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Частота |
и период |
– взаимно обратные |
величины: |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно: 2 . |
Ò |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центростремительное ускорение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Вычислим величину ускорения при равномерном движении точки по окружности и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
найдем его направление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пусть за некоторый промежуток времени t тело переместилось из точки А в точку А1 с |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
постоянной по модулю скоростью. Изобразим вектора скорости в этих точках и найдем |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
вектор изменения скорости v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Рассмотрим треугольники АА1О и А1СВ. Эти треугольники равнобедренные и углы |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
при их вершинах равны, т.к. АО СВ и А1О А1С (углы со взаимно перпендикулярными |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
сторонами). Следовательно, эти треугольники подобны. |
А1С |
|
А1В |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Из |
подобия |
треугольников |
следует |
пропорция: |
|
или, |
|
переходя к |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
АА1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОА |
|
|
|
|
Примеры: - Земля при вращении |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
физическим обозначениям |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
вокруг оси ацс=0,03 м/с2, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Земля при вращении вокруг |
||||||||||
Разделим правую и левую части равенства на промежуток времени, за которое совершено |
Солнца ацс=0,006 м/с2, |
|||||||||||||||||||||||||||||
- Солнечная система при вращении |
||||||||||||||||||||||||||||||
перемещение, |
и |
учтем, |
|
|
что |
|
a |
|
|
|
|
и |
v |
r |
. |
Тогда: |
вокруг центра Галактики ацс=3.10-10 м/с2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Δr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
t |
|
r t |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aцс |
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь определим направление ускорения. Т.к. мы должны для определения ускорения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
брать предел при t 0, |
то из рисунка видно, |
что угол будет уменьшаться ( 0), а |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
900. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это значит, что прямая А1В (вектор v ) будет стремиться наложиться на АО. Но |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
вектор ускорения сонаправлен с вектором изменения скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, вектор ускорения при равномерном движении по окружности направлен |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
к |
центру |
|
окружности |
(центру |
|
вращения). |
|
Поэтому |
|
ускорение |
наз. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
центростремительным ускорением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Центростремительное |
ускорение меняет |
скорость |
только |
по |
направлению, |
но не |
aцс |
ω |
2 |
r |
|||||||||||||||||||||||
меняет по величине. Вектор центростремительного ускорения перпендикулярен вектору |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя |
|
|
|
связь |
между |
угловой |
и |
|
линейной |
скоростями, |
получим: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
aцс |
|
2 |
|
(ωr)2 |
ω2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равнопеременное движение по окружности. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Все уравнения для этого движения получим по аналогии с равнопеременным |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
прямолинейным движением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Равнопеременное |
|
|
|
Равнопеременное движение по окружности. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
прямолинейное |
|
|
|
|
ω - |
ω0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
движение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
- угловое ускорение (рад/с2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω -ω 0 0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t2 |
|
t |
|
|
|
rt |
r a в r |
|
|
|
|
|||||||||||
|
s 0t |
|
at |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх.
Свободное – значит без сопротивления воздуха, в вакууме. В этом случае на движение не влияют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
форма и размеры тела, его масса. Впервые подробно изучал Г. Галилей (1564-1642). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частный случай равноускоренного движения. |
a g – одинаково для всех тел. |
|
g 9,8 |
|
Для |
|
g 9,8 |
м |
|
|
|||||||||||
с2 |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
задач: g = 10 м/с . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначение перемещения: s h (высота). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чертеж |
|
|
|
|
|
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Скорость |
|
|
|
v v0 |
gt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Свободное падение |
|
|
|
Перемеще- |
|
|
|
h v0t |
gt2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ние |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
gy>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координата |
|
|
|
y y0 v |
0t |
gt2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тело брошено вертикально вверх |
|
|
|
|
Скорость |
|
|
|
v v0 |
gt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gy<0 |
|
|
|
Перемеще- |
|
|
|
h v0t |
|
gt2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ние |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
|
Координата |
y y |
0 |
v |
0t |
gt2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
1.Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
2.Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.
|
|
|
|
|
Движение тела, брошенного горизонтально. |
Выразим |
проекции скорости и координаты через модули векторов. |
||||
vx |
v0 |
|
|
||
|
gt |
|
|
||
vy |
|
|
|||
x v0t |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
gt |
|
|
|
|
|
|
||
y y0 |
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время t из уравнения
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
координаты x и подставим в уравнение для y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
gx |
||
|
y y |
0 |
|
v0 |
|
|
y |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2v0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vx |
v0x |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0y |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решим задачу для случая х0=0 и y0=0. x vx |
t v0x t cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gt |
|
|
gt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y v0y |
t |
|
v0yt sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
выразим |
|
координату |
|
Y |
|
через X |
(получим |
уравнение |
траектории): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
g |
x |
|
2 |
|
v0y |
|
|
g |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y v |
0y |
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0x |
|
v0x |
|
v0x |
2v0x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
траектория - парабола. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения |
|
Время полета: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
координата по вертикальной оси |
у=0. Следовательно, для решения этой задачи |
|
|
|
2v |
0 cos |
|
||||||||||||||||||||||||||
необходимо решить уравнение v |
0yt |
gt |
2 |
|
0. Оно будет иметь решение при |
t |
пол |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
g |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|