Методическое пособие по Тв и МС

B, DB (u), σB (u),

затем

B = h

B +C ,

DB (x) = h2 DB (u),

u

x

u

σB (x) = hσB (u).

B = 1

Если

x

-

числа малые,

то

u

= h x ,

h = const,

B,

i

x

u

i

i

h

1

DB (x) =

DB (u).

h2

= ai−1 + ai ,

Для интервального распределения x

i =

.

1,k

i

2

38

60

41

51

33

42

45

21

53

60

68

52

47

46

42

43

57

44

54

59

77

47

28

27

49

49

14

28

61

30

61

35

47

46

58

45

42

21

30

40

67

65

39

35

41

60

54

42

59

60

Составить вариационный ряд, интервальное распределение частот,

гистограмму относительных частот. Найти xB, DB,σB.

(Ответ:

B = 46,4; σB =13,14).

x

Задания для индивидуальной работы

1.

Свой

вариант аттестационной

работы,

задание

№

1. Составить

вариационный ряд, интервальное распределение частот, взяв число

интервалов k = 9.

2.

Построить

полигон

частот,

график эмпирической функции,

найти

xi

2

4

5

7

10

mi

15

20

10

10

45

(Ответ:

B = 6,8;

σB = 3,16).

x

3.

Интервалы

1-5

5-9

9-13

13-17

17-21

Частоты

10

20

50

12

8

(Ответ:

B =10,52;

σB = 4,05).

x

II.

2.

xi

2

5

7

10

mi

5

25

15

5

(Ответ:

B = 5,8; σB =1,99).

x

3.

Интервалы

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

Частоты

2

4

8

4

2

(Ответ:

B = 22,5;

σB = 5,48).

x

III.

2.

xi

2

3

5

6

mi

10

15

5

20

(Ответ:

B = 4,2;

σB =1,66).

x

3.

Интервалы

2-7

7-12

12-17

17-22

22-27

Частоты

5

10

25

6

4

(Ответ:

B =13,9;

σB = 5,11).

x

IV.

2.

xi

15

20

25

30

10

mi

10

15

30

20

7

(Ответ:

x

B = 22,8;

σB = 6,12).

3.

Интервалы

3-5

5-7

7-9

9-11

11-13

13-15

15-17

Частоты

4

6

20

40

25

10

5

(Ответ:

B = 6,82;

σB = 2,61).

x

2.

при данном

объеме

выборки

n

имеет

минимальную

дисперсию,

D (θ~) = min ;

P (

θ~ −θ

< ε)→1.

3.

при n → ∞

Такой параметр θ~ является соответственно несмещенной,

эффективной и состоятельной оценкой параметра θ

из

генеральной

совокупности.

Точечная оценка определяется одним числом, при этом выборка

должна быть достаточно большого объема.

Выборочное среднее

xB является несмещенной и

состоятельной

оценкой генеральной средней

x

Г :

x

Г ≈

x

B , причем

M (

B ) =

x

Г и

x

lim P (

B −

Г

< ε)=1.

x

x

n→∞

Несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности является

исправленная дисперсия S2 .

DГ ≈ S2 , где S2 =

n

DB,

M (S2 ) = DГ .

n −1

Генеральное среднее квадратическое отклонение не имеет

несмещенных оценок.

σ Г ≈σB или σr ≈ S , но M (σB ) ≠σr и M (S) ≠σr .

При n < 30

применяются интервальные оценки.

Интервал

(θ~ −δ,θ~

+δ ),

покрывающий

параметр

θ

с заданной

вероятностью (надежностью)

γ , называется доверительным.

P (θ~ −δ <θ < θ~ +δ )

= P

(

θ −θ~

<δ )= γ , где δ - точность оценки.

B −

tσ

< a <

B +

tσ

, где 2Φ(t) = γ

x

x

n

n

tσ

= γ .

или P

a − xB

<

n

xi

1250

1275

1280

1300

mi

20

25

50

5

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка

xi

-0,5

-0,4

-0,2

0

0,2

0,6

0,8

1

1,2

1,5

mi

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

а) n =10, S = 5,1;

б) n = 50, S =14. (Ответ: а) (0; 14,28);

б) (7,98; 20,02) ).

4.

X N (a,σ). Составить

доверительные

интервалы для а и σ с

I.

надежностью 0,95 для данной выборки.

1.

xi

2560

2600

2620

2650

1700

mi

7

8

15

9

6

2.

γ = 0,99,

σ = 5,

B =16,8,

n = 25.

x

3.

γ = 0,95,

n =16,

s =1.

4.

xi

-2

1

2

3

4

5

II.

mi

2

1

2

2

2

1

1.

xi

340

360

375

380

390

mi

10

20

30

12

8

2.

γ = 0,95, σ = 5,

B =14, n = 25.

x

3.

γ = 0,999, n = 50,

s =16.

4.

xi

-3

-1

1

2

3

4

III.

mi

1

2

2

1

2

2

1.

xi

184

189

193

196

199

mi

8

10

20

15

7

2.

γ = 0,99,

σ = 6,

B = 30,1, n = 9.

x

3.

γ = 0,999, n =12,

s = 0,6.

4.

xi

-2

0

1

2

3

4

IV.

mi

2

1

2

2

2

1

1.

xi

235

261

282

304

317

mi

6

8

18

13

5

2.

γ = 0,999, σ = 8,

B = 42,8,

n =16.

x

3.

γ = 0,99,

n =10,

s = 0,8.

4.

xi

0

1

2

4

5

6

mi

2

2

2

1

2

1

xi

x1

x2

…

xk

(1)

mi

m1

m2

…

mk

Интервалы

a0 −a1

a1 −a2

a2 −a3

…

ak−1 − ak

(2)

mi

m1

m2

m3

…

mk

k

где ∑ mi = n , mi - эмпирические частоты,

i =

1,k

.

i=1

′

Теоретические

(выравнивающие)

частоты

m

определяются

по

′ = n P ,

i

формуле: m

i =

,

1,k

i

i

Pi

= P (ai−1 < X < ai )

где

Pi = P (X = xi ) для распределения

(1) и

-

для

распределения (2).

ai −

P

h

x B

Если X

N (a,σ), где a ≈ xB ,

σ ≈σ

, то

=

, где

ϕ

σ

σ

B

i

B

B

1

h = x − x

,

ϕ (x) =

e−x2 /2 или

i i−1

2π

P

= P (a < X

< a )

= Φ

ai − x B

−Φ

ai−1 − x B

,

i

i−1

i

σ

σ

B

B

x

1

где Φ(x) =

∫ e−t2 /2dt .

2π

0

B )2

(x−

1

e−

x

Плотность вероятности для СВ Х равна

f (x) =

2σB2

.

σB

2π

Если СВ Х имеет показательное распределение, то плотность

вероятности

f (x) = λe−λx ,

x ≥ 0 и λ =

1

,

xB

ai−1

ai

−

−

P = P (a

< X < a

i−1

i

) = e

xB −e xB .

i