Методическое пособие по Тв и МС

распределения: F (x) = P (X < x),

0 ≤ F (x) ≤1, эта функция неубывающая.

Если

возможны

значения

СВ

X [a ; b], то

F (x) = 0 при x ≤ a ,

F (x) =1 при x ≥ b .

Если F (x)

и F ′(x) -

непрерывные функции, то СВ Х называется

непрерывной.

P (X = x0) = F (x0 +0)− F (x0 −0), для непрерывной

Для любой СВ

СВ P (X = x0) = 0.

P (α ≤ X ≤ β) = F (β)− F (α).

Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распределения

0,

если x ≤ −1,

F (x) = a (x +1)2 , если −1< x <1,

1,

если x ≥1.

Найти коэффициент а и вычислить вероятность того, что СВ X (0; 0,5).

Решение.

Из

непрерывности

функции

F (x)

следует,

что

F (−1) =

lim

F (x)

и

F (1) =

lim F (x),

т.е.

0 = a (−1+1)2

и

x→−1+0

a = 1 . F

x→1−0

1= a (1+1)2 , отсюда 4a =1,

(x) = 1(x +1)2

, если −1< x <1.

4

4

∞

M (X) = ∫

x f (x)dx, если значения СВX (−∞,∞).

−∞

b

M (X) = ∫

x f (x)dx , если значения СВ X (a ; b).

a

∞

M (X2 ) = ∫ x2 f (x)dx, если X (−∞,∞).

−∞

Модой непрерывной СВ Х называется такое ее значение

M0,

для

которого f (M0) = max f (x).

Медианой СВ Х называется такое ее значение

Me ,

что

P (X < Me ) = P (X > Me ).

∞

x

0

∞

∫ a e−

dx =1, a ∫ exdx + a ∫ e−xdx =1,

−∞

0

∞

−∞

0

1.

a ex

−a e−x

= a (1−0)−a (0−1) = 2a =1, a =

−∞

0

2

Математическое ожидание СВ Х, значения которой X R .

∞

1e

−

x

M (X) =

∫

x

dx = 0,

в

силу

нечетности

подынтегральной

−∞

2

функции.

Дисперсия

2

∞

2

1

−

x

∞

2

−x

u = x2 ,

du = 2xdx

D (X) = M (X

) = ∫ x

2

e

dx = ∫

x

e

dx =

dv = e−x dx,

v = −e−x

=

−∞

0

= − x2e−x

∞

∞

∞

xe−x dx =

u

= x,

du =dx

0

+ ∫ 2xe−x dx = 0+ 2 ∫

dv = e

−x

dx,

v = −e

−x

=

0

∞

0

x

−x

∞

−x

−x

∞

− xe

∫

e

dx

−e

= 2

+

= 2

−

lim

+0

= 2(−0−0+1) = 2.

0

x

0

0

x→∞ e

Пример 3. Случайная величина Х задана плотностью вероятности

4

5

,

если

x ≥1,

f (x) =

x

если

x <1.

0,

Найти

функцию

распределения

F (x), математическое

ожидание

M (X), моду M0

и медиану Me .

Решение. СВ Х принимает свои значения в интервале [1;+ ∞). Значит,

∞

∞

4

x−3

∞

4

∞

4

M (X) = ∫ xf (x)dx = ∫

dx = 4

= −

=

x4

−3

3x3

1

3 .

1

1

1

1

2

3

x

показывает, что max f (x) = f (1) = 4 , т.е. мода M0 =1.

Медиану распределения Me найдем из условия

P (X < Me ) = P (X > Me ), т.е.

P (1< X < Me ) = P (Me < X < +∞). Получим уравнение

Me

+∞

4

∫ 4x−5dx = ∫

dx .

5

1

Me

x

4

x

−4

Me

4

x

−4

∞

1

1

∞

1

1

=

;

−

+1= −

; −

+1=

;

−4

−4

(Me )4

x4

(Me )4

(Me )4

1

Me

Me

2

=1;

(Me )4 = 2;

Me = 4

=1,1892.

2

(Me )4

Пример 4. Найти серединное отклонение Ex для распределения Коши

f (x) =

1

1

, x R.

1+ x2

π

Решение.

Данное

распределение

симметрично

оси Оу, значит,

M (X) = 0.

Для нахождения серединного отклонения решаем уравнение

P (

X − M (X)

< Ex )= 0,5, т.е.

P (

X

< Ex )= 0,5;

P (−Ex < X < Ex ) = 0,5;

1

E x

dx

1

E x

−E∫x

= 0,5;

(arctg x)

−E x

= 0,5;

π

1+ x2

π

1

(arctg Ex + arctg Ex ) =

1

;

2

arctg Ex =

1

;

arctg Ex

= π ;

Ex =1.

2

π

2

π

4

Следовательно,

P (−1< X <1) = 0,5.

0,

если x < −1,

если −1≤ x ≤1,

F (x) = a +barcsin x,

если x >1.

1,

Найти постоянные a и

b,

плотность вероятности, математическое

ожидание СВ Х. Построить графики

F (x) и f (x). (Ответ: а = 0,5;

b =

1

; M (X) = 0).

π

2. Плотность вероятности СВ Х имеет вид

2

,

если 0 ≤ x ≤ 2,

f (x)

ax

=

если

x (0; 2).

0,

I.

0,

если

x < −1,

1

3

1.

(x

+1),

если−1≤ x ≤ 2,

F (x) =

9

если

x > 2.

1,

3

x

2

+6x −

45

, если

x (3; 5),

2.

−

4

4

f (x) =

если

x (3; 5).

0,

Ответ: 1)

M (X) =1,2857;

p = 0,2865.

2) M (X) = 2,833; M0(X) = 2,5;

D (X) = 0,263.

III.

0,

если x < 0,

1.

1

(x2

F (x) =

+ 2x),

если 0 ≤ x ≤ 3,

15

если x > 3.

1,