Lektsii_DU_prof_Gromak__chast_2
.pdf
Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений |
61 |
Доказательство. Напомним, что решение x = 0 устойчиво, если 8" > 0; |
9 > 0; |
что для произвольного решения '(t) неравенства j'(t0)j < ) j'(t)j < " для
всех t t0 . Пусть 8" > 0 и " < 2 . Пусть |
S2 поверхность шара jxj " . Пусть |
|||||||||
V min V (x) |
. Выберем |
|
таким, чтобы при |
j |
x |
j |
|
выполнялось неравенство |
||
" = x |
2 |
S" |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (x) < V": |
|
|
(34.3) |
||
Это возможно, так как V (0) = 0 и V (x) непрерывна при jxj < " . Покажем, что для всякого решения x = '(t) такого, что j'(t0)j < , следует, что j'(t)j < "; t t0 .
t
6
'(t)
- x
Допустим противное, т.е. что траектория x = '(t) пересекает S" в момент времени t1 t0 . Рассмотрим сложную функцию V ('(t)) .
d |
n |
@V |
|
n |
@V |
|||
|
|
Xi |
|
|
X |
|
|
|
dtV ('(t)) = |
@xi |
(')'i = |
@xi fi 0: |
|||||
=1 |
i=1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом V ('(t)) не возрастает. Но тогда
V" > V ('(t0)) V ('(t1)) V";
что невозможно.
'6 $'(t)- x &%"
Итак имеем, что j'(t)j < "; t t0 .
Теорема 34.2. (теорема Ляпунова об асимптотическй устойчивости) Предположим для системы (34.1) 9V (x) 0; V (0) = 0 , что
_ |
|
V W (x); |
|
где W (x) 0; W (0) = 0 . Тогда x = 0 асимптотически устойчива. |
|
Пусть |
|
f(t; x) = A(t)x + F (t; x): |
(34.4) |
Тогда система |
|
x = A(t)x |
(34.5) |
называется линеаризацией нелинейной системы (34.1). |
|
Глава 2. Линейные системы дифференциальных уравнений |
62 |
Теорема 34.3. (об устойчивости по непрерывному приближению) Предположим, что A(t) постоянная, т.е.
f(t; x) = Ax + F (t; x) |
(34.6) |
и A имеет все собственные значения с отрицательными вещественными частями |
|
и |
|
jF (t; x)j Mjxj1+ ; > 0: |
(34.7) |
Тогда решение x = 0 для исходной системы (34.1) асимптотически устойчиво.
Пример 34.1.
(
x = x y + y = 2x 3y +
1+xyt ; y2
1+t2
Все условия теоремы 34.3 выполнены, так как матрица
A = |
1 |
1 |
|
2 |
3 |
имеет собственные значения 1;2 = 2 . Следовательно, положение равновесия x=y=0 асимптотически устойчиво.