Lektsii_DU_prof_Gromak__chast_2

Следствие 23.1. Общее решение системы (23.3) имеет вид x = eAtC; 8C 2 Cn

Следствие 23.2. Задача Коши

x = Ax; A 2 Mn;n x(t0) = x0; x0 2 Cn

имеет решение x = eA(t t0)x0 .

24 Структура фундаментальной матрицы

eS J t S 1 = SeJtS 1 . Умножение справа (t) на постоянную неособую матрицу при-

фундаментальная. Выясним структуру eJt . Очевидно,

eJt = [eJ 1 ( 1)t; eJ 2 ( 2)t; : : : ; eJ s ( s)t];

где 1; : : : ; s собственные числа матрицы A , среди которых могут быть одинаковые. Выясним структуру eJ ( )t , то есть структуру одной произвольной клетки.

ется. Таким образом

Таким образом, решения, представляющие фундаментальную матрицу, разобьются на s групп (по числу клеток Жордана), содержащих соответственно 1; 2; : : : ; s решений. Каждое из этих решений представляет собой квазиполином, т.е. произведение e t на полином t степени не выше 1 , где - порядок клетки Жордана, соответствующий собственному числу . Если при этом i простые собственные числа, то фундаментальная матрица имеет вид S[e 1 ; : : : ; e nt] . Такая же структура фундаментальной матрицы будет и в случае кратных корней, но с простыми элементарными делителями, т.е. в случае n - клеток Жордана.

25Матричный метод интегрирования линейных систем

Пусть дана система

Пусть при этом A = S 1J S . В системе (25.1) положим

Тогда имеем

Sy = ASy; y = S 1ASy:

Если при этом S выбрать так, чтобы J = S 1AS , то имеем

Откуда y = eJt и, следовательно, x = SeJt . Таким образом, задача интегрирования линейной системы свелась к уже известным задачам: определению матрицы перехода S и построению eJt .

26 Метод Эйлера решения линейных систем

Следовательно, для существования ненулевого решения (26.2) необходимо и достаточно, чтобы было собственным числом матрицы A , а v - соответствующим собственным вектором.

Пусть сейчас 1; : : : ; n - простые собственные числа, а v1; : : : ; vn соответствующие им собственные вектора. Тогда

x = C1v1e 1t + : : : + Cnvne nt

общее решение системы (26.1).

Если 1 - k - кратное собственное число матрицы A , то решение можно искать в виде

где q(t) – вектор-функция, компоненты которой полиномы, степень которых не выше k 1 .

27Линейные системы с периодическими коэффициентами

Теорема 27.1. (Флоке-Ляпунова) Произвольная фундаментальная матрица (t) системы (27.1) имеет структуру

где G(t) : R ! Mn;n и G(t + w) = G(t); 8t 2 R; R - постоянная матрица.

Доказательство. Если (t) - фундаментальная, то (t + w) - тоже фундаментальная. Следовательно, существует неособая матрица B такая, что

w

Покажем, что G(t) - периодическая. В самом деле

G(t + w) = (t + w)e (t+w)R = (t)Be tR wR =

= (t)Be wRe tR = (t) Be LnB e tR = (t)e tR = G(t):

| {z }

E

Определение 27.1. Постоянная матрица B называется матрицей монодромии.

Mn;n - матричная функция класса C1 – ! -периодическая и неособая, переводящая периодические системы в линейные системы с постоянной матрицей, собственные числа которой суть характеристические показатели.

28Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Таким образом, структура общего решения неоднородной системы (28.1) следующая x = (t)C + q(t);

где (t) - фундаментальная матрица однородной системы (28.3), а q(t) частное решение неоднородной системы.

Теорема 28.1. (Метод вариации произвольной постоянной) Пусть (t) : (a; b) ! Mn;n - фундаментальная матрица однородной системы (28.2).Тогда

Тогда x = _ C + C_ = P C + C_ = P C + q . Откуда C_ = q . Или C_ = 1(t)q(t) .

Формула (28.4) называется формулой Коши.

29 Линейные неоднородные периодические системы

Теорема 29.1. Для того, чтобы x = '(t) : R ! Cn было - w -периодическим решением необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Если '(t) - w -периодическое, то '(t+w) = '(t) и (29.2) очевидно необходимо.

Достаточность. Рассмотрим функцию (t) = '(t+w) . Она является решением (29.1) в силу w -периодичности P (t) и q(t) . Но '(0) = '(w) = '(0) , то есть для двух решений имеем совпадение начальных условий. По теореме единственности '(t)

(t) .

Теорема 29.2. Если среди мультипликаторов системы (29.1) нет равных единице, то система (29.1) имеет единственное w -периодическое решение.

Доказательство. Все решения системы можно записать формулой Коши (28.4). В качестве фундаментальной матрицы (t) возьмем нормированную в t = 0 . Тогда решение с начальными условиями x(0) = x0 имеет вид

0

Условие w -периодичности имеет вид x(w) = x(0) = x0 , то есть

Матрица этой линейной неоднородной алгебраической системы относительно x0 име-

ет вид ~ . Она неособая, если среди мультипликаторов нет равных единице.

(w) E

В этом случае система (29.4) имеет единственное решение относительно x0 , которое и определяет единственное w -периодическое решение.

Теорема 29.3. Необходимым и достаточным условием существования единственного w -периодического решения является отсутствие у матрицы A собственных значений вида 2 ik=w .