Высшая математика

21

2.6 Контрольные задания

Рекомендуемая литература: [1, гл. 8, § 2; гл. 6, § 4; 2, гл. 3, § 3.11–3.13; 3, гл. 1, §1.18–1.19].

2.6.1Построить канонический вид следующих квадратичных форм

иуказать линейные преобразования, приводящие эти формы к каноническому виду:

1)Φ (x1 , x2 ) = −4x1 x2 ;

2)Φ (x1 , x2 ) = x12 + 10x1 x2 + 26x22 ;

3)Φ (x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2x22 + 3x32 − 4x1 x3 − 4x2 x3 ;

4)Φ (x1 , x2 , x3 ) = 3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1 x2 − 4x2 x3 ;

5)Φ (x1 , x2 , x3 ) = 5x12 + 6x22 + 4x32 − 4x1 x2 − 4x2 x3 ;

6) Φ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x12 + x2 x3 + x3 x4 .

3 Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка

Цель занятия: выработать навыки преобразования уравнений 2-й степени к каноническому виду и навыки исследования полученных кривых или поверхностей.

3.1 Канонические уравнения кривых 2-го порядка

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система коор-

где a112 + a122 + a222 ≠ 0.

Следующие кривые могут быть заданы уравнениями вида (26): Эллипс (рисунок 3), его каноническое уравнение

Гипербола (рисунок 4), её каноническое уравнение

22

же, что уравнение (26) не задаёт на плоскости никакую прямую.

23

3.2 Приведение общего уравнения кривых 2-го порядка к каноническому виду

Записываем квадратичную форму a11x2 + 2a12 xy + a22 y2 , соответствующую уравнению (26). Выписываем матрицу этой квадратичной формы:

A = a11 a12 .

a21 a22

В соответствии с пунктом 1.4 находим собственные значения λ1 и λ2 этой матрицы и её собственные векторы i1 , j1 , причём i1 и j1 выбираем единичными и ортогональными. Пусть

В уравнении (31) выделяем полные квадраты для x1 и y1 , затем делаем ещё одну замену переменных:

в этом уравнении и получаем каноническое уравнение. Определяем вид кривой (или другой фигуры) и строим её в данной системе координат

{O,i , j} .

Замечание – Вид кривой можно также определить, проанализировав произведение λ1 λ2 . Если λ1 λ2 > 0 , то рассматриваемая кривая соответ-

В результате получаем x22 − y22 = 1. Данное уравнение задаёт гипер-

3 3

болу (рисунок 6).

25

x2

y

-1 0 1 2 3 4 x

Рисунок 6

3.3 Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка

Пусть в пространстве E3 задана декартова прямоугольная система координат {O,i , j,k}. Алгебраическое уравнение 2-го порядка относительно переменных x, y, z имеет следующий вид:

Следующие поверхности могут быть заданы уравнением вида (34): Эллипсоид (рисунок 7), его каноническое уравнение

Конус (рисунок 8), его каноническое уравнение:

Однополостный гиперболоид (рисунок 9), его каноническое уравнение:

Двуполостный гиперболоид (рисунок 10), его каноническое уравнение:

26

Эллиптический параболоид (рисунок 11), его каноническое уравнение:

z

z

z

y

y

Гиперболический параболоид (рисунок 12), его каноническое уравнение:

27

Цилиндрические поверхности (рисунок 13), их канонические уравнения:

Рисунок 12

x

Рисунок 13

Кроме того, уравнение (34) может задавать и другие фигуры в пространстве, например, пару параллельных плоскостей, одну плоскость, пару пересекающихся плоскостей, точку. Возможно также, что уравнение (34) не определяет в пространстве никакой фигуры.

28

3.4 Приведение общего уравнения поверхностей 2-го порядка к каноническому виду

Уравнение 2-го порядка в пространстве может быть приведено к каноническому виду таким же образом, как и уравнение 2-го порядка на плоскости. Для этого необходимо выполнить действия, перечисленные в пункте 3.2.

Пример. Найти каноническое уравнение поверхности второго порядка, определить её тип:

4x2 + 4 y2 − 8z2 − 10xy + 4 yz + 4zx − 16x − 16 y − 8z + 72 = 0 . (42)

Решение

Квадратичная форма, соответствующая (42),