Высшая математика
.pdf11
x |
= − |
1 |
x |
x(3) = |
|
2x |
; − |
1 |
x |
; x |
T |
, x ≠ 0 . |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
2 |
3 |
3 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности получаем x |
(3) |
|
|
1 |
T |
|
= |
2; − |
|
;1 . |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
1.4.3 Замечание – Если λ есть корень кратности t уравнения (17), то ранг системы (16) равен k − t , а размерность пространства решений этой системы равна k − (k − t ) = t . Таким образом, корень λ кратности t поро-
ждает t линейно независимых собственных векторов, за которые обычно принимают фундаментальную систему решений системы (16).
1.5 Упражнения
1.5.1 Ниже определены преобразования линейного пространства E3 .
Выяснить, являются ли они линейными. В случае положительного ответа – найти матрицы линейных преобразований в стандартном базисе:
1)A* x = (2x1 − x3 ; x3 ; x1 − x2 ) для любого вектора x = (x1; x2 ; x3 ) .
2)A* x = (x1 x2 ; x2 x3 ; x1 x3 ) для любого вектора x = (x1; x2 ; x3 ) .
3)A* x = (x1 − x2 + x3 ; x3 − x1; x2 − 4x3 ) для любого вектора x = (x1; x2 ; x3 ) .
4)A* x = (x,a )a , где a – фиксированный вектор, x – произвольный
вектор, (x,a ) скалярное произведение.
а) a = 3i + 4 j + 5k ; б) a = i + j − k ;
в) a = 7i − 6 j + 2k .
1.5.2 Дана матрица A некоторого линейного преобразования в базисе {e1 ,e2 } . Найти матрицу этого преобразования в базисе {e1′,e2′ } .
−3 1 |
|
; |
e1′ |
= e2 , |
|
A = |
|
|
′ |
= e1 + e2 . |
|
2 −1 |
|
|
|||
|
e2 |
1.5.3 Дана матрица A некоторого линейного преобразования в базисе {e1 ,e2 ,e3} . Найти матрицу этого преобразования в базисе {e1′,e2′ ,e3′} .
|
0 −2 1 |
|
e1′ |
= 3e1 + e2 + 2e3; |
|||
A = |
|
|
; |
|
|
|
|
3 |
1 0 |
e2′ = 2e1 + e2 + 2e3; |
|||||
|
2 |
−1 1 |
|
e′ |
= −e |
+ 2e |
+ 5e . |
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
3 |
12
1.5.4 Найти собственные значения и собственные векторы следующих матриц:
|
|
|
|
|
1 2 −2 |
|
|
|
1 1 8 |
|
|
|
1 0 |
1 0 |
||||
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
0 3 |
|
||||||
1) |
; 2) |
|
|
; 3) |
|
|
|
|
; |
4) |
||||||||
|
|
|
1 0 3 |
|
0 2 0 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
−1 |
−3 |
|
1 3 0 |
|
|
1 0 |
−1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
−1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1.6 Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 6, § 1; гл. 7, § 1; 2, гл. 3, § 3.1–3.11; 3, гл. 1, § 1.6–1.10, 1.16].
1.6.1 Ниже определены преобразования линейного пространства E3 .
Выяснить, являются ли они линейными. В случае положительного ответа найти матрицы этих линейных преобразований в стандартном базисе;
1)A* x = (a1 + a2 ;a2 + a3 ;a3 + a1 ) для любого вектора x = (a1;a2 ;a3 ).
2)A* x = (x × a ), где x – произвольный вектор, a – фиксированный
вектор:
а) a = i − 3 j − k ;
|
|
|
б) |
a = i − j + k ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
в) a = −i + j − 2k . |
|
|
|
|
|||||
|
1.6.2 |
Дана матрица A некоторого k -мерного линейного простран- |
||||||||||
ства Ek |
в базисе {e1 ,e2 …,ek } . Найти матрицу этого преобразования в бази- |
|||||||||||
′ |
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
се {e1 |
,e2 |
…,ek } : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 −6 0 |
|
|
e1′ = e2 ; |
|
|
|
||
|
1) |
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 −2 ; |
|
|
e2′ = e3; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 0 7 |
|
|
e′ = e . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 1 0 |
|
e1′ = e1; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−3 2 0 1 |
|
|
′ |
= e1 + e2 ; |
|
||
|
2) A |
= |
|
|
; |
e2 |
|
|||||
|
|
′ |
= e1 + e2 + e3; |
|||||||||
|
|
|
|
|
0 1 −1 2 |
|
e3 |
|||||
|
|
|
|
|
1 0 0 3 |
|
e′ |
= e |
+ e |
+ e |
+ e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1.6.3 Найти собственные значения и собственные векторы следующих матриц:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
2 0 |
6 |
|
|
|
4 |
−1 |
|
|
|
3 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||||
1) |
; 2) |
|
3 |
|
; 3) |
1 3 |
|
; 4) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
0 |
|
−2 |
1 2 −1 . |
|||||||||||||
|
−2 1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
−1 0 |
1 |
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Квадратичные формы
Цель занятия: выработка навыков приведения матрицы к диагональному виду и навыков приведения квадратичной формы к каноническому виду.
2.1 Преобразование матрицы линейного оператора
Пусть |
e1 ,e2 ,e3 ,…,ek , |
(18) |
|||
|
|||||
|
′ |
′ |
′ |
′ |
(19) |
|
e1 |
,e2 |
,e3 |
,…,ek |
|
– два различных базиса пространства E , и пусть A* |
– линейное преобра- |
||||
|
|
|
k |
|
|
зование пространства |
E . Обозначим через A матрицу преобразования A* |
||||
|
k |
|
|
|
|
в базисе (18), через B – матрицу этого преобразования в базисе (19), через |
|||||
T – матрицу перехода от базиса (18) к базису (19). |
|
||||
Тогда |
B = T−1 A T . |
(20) |
|||
|
С помощью подходящего выбора базиса можно упростить матрицу линейного преобразования A* . В частности, имеет место теорема.
2.1.1 Теорема. Для того, чтобы матрица A линейного преобразования A* линейного пространства Ek была диагональной в некотором бази-
се, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов матрицы A . Более того, тогда диагональные элементы матрицы A будут собственными значениями этой матрицы.
Теорема не утверждает, что для всякого линейного преобразования существует базис, в котором матрица преобразования будет диагональной. Только отдельные матрицы (преобразования) обладают этим свойством, и среди них отметим симметрические матрицы. Из теоремы вытекает алгоритм.
2.1.2 Процедура диагонализации матрицы.
1 Находим собственные значения и собственные векторы матрицы A . 2 Строим матрицу T перехода от исходного базиса к базису из соб-
ственных векторов матрицы A .
14
3 Вычисляем матрицу B = T−1 A T , которая должна быть диагональной.
2.1.3Пример. Привести к диагональному виду матрицу
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
−1 |
|||
A = |
−1 |
−3 |
0 |
|
|
|
. |
||||
|
|
2 |
4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Собственные значения этой матрицы равны λ1 = −2, λ2 = −1, λ3 = 1, а соответствующие им собственные векторы равны (п. 1.4.2, пример):
1
x(1) = −1 ;2
Следовательно, матрица T
{x(1) , x(2) , x(3) } имеет вид:
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(3) = |
|
1 |
. |
|
x(2) = |
− |
1 |
|
; |
− |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
перехода от исходного базиса к базису
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
1 |
−2 |
− |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, откуда |
T |
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
4 |
2 |
|||||||||||
T = |
−1 |
− |
− |
|
|
= |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем матрицу T−1 A T :
|
|
|
|
− |
1 |
|
−2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 0 |
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
T |
−1 |
|
|
|
|
4 |
|
−1 |
−3 0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
A T = |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
0 −1 0 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 4 |
−1 |
|
−1 − 4 |
− 2 |
|
|
0 0 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1.4 Пример. Привести к диагональному виду матрицу A = |
3 |
|
4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 − λ |
|
|
−1 |
|
= 0 |
; |
|
( |
2 − λ |
)( |
4 |
− λ |
) |
+ 3 |
= 0 ; |
|
|
|
λ 2 − 6λ + 11 = 0 ; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
4 − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
уравнение не имеет действитель- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
D = b2 − 4ac = 36 − 44 = −8 < 0 |
|
15
ных корней. Значит, матрица A не имеет действительных собственных значений и не может быть приведена к диагональному виду.
2.2 Квадратичная форма и её матрица
2.2.1 |
Определение. Квадратичной |
формой от k |
|||
x1 , x2 ,…, xk |
называется выражение вида |
|
|
|
|
|
k |
k |
xi |
|
k |
|
Φ (x1 , x2 ,…xk ) = ∑ |
∑aij |
xj |
= ∑ aij xi xj , |
|
|
i=1 |
j =1 |
|
|
i, j =1 |
переменных
(21)
т. е.
Φ (x1, x2 ,…xk ) = a11x1x1 + a12 x1x2 + …+ a1k x1xk
+a21x2 x1 + a22 x2 x2 + …+ a2k x2 xk + …+ ak1xk x1
+ak 2 xk x2 + …+ akk xk xk ,
причём aij = a ji , i, j = 1,k . Симметрическая матрица
a11 |
a12 |
… a1k |
A = a21 |
a22 |
… a2k |
|
|
|
… |
… … … |
|
ak1 |
ak 2 |
… akk |
+
+
(22)
называется матрицей квадратичной формы (21) в системе координат
{O; x1; x2 ;…; xk } . Если обозначить x = (x1 , x2 ,…, xk )T , то квадратичную форму (21) можно записать в векторно-матричном виде:
k
Φ (x1 , x2 ,…xk ) = ∑ aij xi xj = xT A x .
i, j=1
2.2.2 Пример. Найти матрицу квадратичной формы
Φ (x1 , x2 , x3 ) = 4x12 − 2x1 x2 + x1 x3 + x22 − 3x32 и записать
векторно-матричном виде.
(23)
Φ (x1 , x2 , x3 ) в
Решение
Имеем
|
4 |
|
−1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
||||||||
|
−1 |
|
|
; |
|||||
1 |
0 |
||||||||
A = |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
−3 |
|
|||
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 − x2 |
+ |
|
x3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
x = |
|
|
; |
x |
T |
= (x1 |
, x2 |
, x3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
Ax = |
|
− x1 + x2 |
. |
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − 3x3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
Произведение строки xT и столбца Ax даёт Φ (x1 , x2 , x3 ) :
Φ(x1 , x2 , x3 ) = xT A x = 4x12 + x22 − 2x1 x2 + x1 x3 − 3x32 .
2.2.3Пример. Записать квадратичную форму, соответствующую
матрице
|
|
1 |
0 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
A = |
|
0 |
2 |
0 |
3 . |
|
|
−1 |
0 |
−2 |
4 |
|
|
0 |
3 |
4 |
|
|
|
5 |
|||
Решение |
|
|
|
|
|
Пусть x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) E4 . Тогда |
|
|
Φ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = xT A x = x12 + 2x22 − 2x32 + 5x42 − 2x1 x3 + 6x2 x4 + 8x3 x4 .
2.3 Канонический вид квадратичной формы
2.3.1 Определение. Говорят, что квадратичная форма (21) имеет канонический вид, если aij = 0 для i ≠ j , (i, j = 1,k ), т. е.
Φ (x1 , x2 ,…xk ) = a11 x12 + a22 x22 + …+ akk xk 2 .
Очевидно, что матрица квадратичной формы, находящейся в каноническом виде, является диагональной:
a11 |
0 |
… |
0 |
|
|
|
0 |
a22 |
… |
0 |
|
A = |
. |
||||
|
… … |
… … |
|
||
|
|
||||
|
0 |
0 |
… akk |
|
Имеет место следующий основной результат.
2.3.2 Теорема. Любая квадратичная форма Φ (x1 , x2 ,…, xk ) в пространстве Ek имеет канонический вид в базисе из собственных векторов матрицы A этой квадратичной формы:
Φ ( y1 , y2 ,…, yk ) = λ1 y12 + λ2 y2 |
2 + …+ λk yk |
2 , |
(24) |
|
где λ1 ,λ2 ,…,λk |
– собственные значения матрицы A ; |
|
|
|
y1 , y2 ,…, yk |
– координаты вектора x = (x1 , x2 ,…, xk )T |
в базисе из |
собственных векторов матрицы A .
17
2.3.3 Пример. Построить канонический вид квадратичной формы
Φ (x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + 3x22 + x32 − 4x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 .
Решение
Матрица данной квадратичной формы имеет вид:
|
2 |
−2 |
1 |
|
A = |
−2 |
3 |
−1 . |
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Вычисляем собственные значения матрицы A : λ1 = 1, λ2 = 2 , λ3 = 12 .
В соответствии с теоремой канонический вид нашей квадратичной формы следующий:
Φ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 + 12 y32 .
2.3.4Пример. Построить канонический вид квадратичной формы
Φ(x1 , x2 ) = 17x12 + 12x1 x2 + 8x22 .
Указать линейное преобразование, приводящее данную квадратичную форму к каноническому виду.
Решение
Записываем матрицу данной квадратичной формы:
|
|
6 |
|
17 |
. |
||
A = |
6 |
8 |
|
|
|
Считаем, что матрица A и квадратичная форма Φ (x1 , x2 ) заданы в базисе {e1 ,e2 } . Решаем характеристическое уравнение
|
|
|
|
|
17 − λ |
6 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
8 − λ |
|
|
|
|
|
|
||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17 − λ )(8 − λ ) − 36 = 0 , λ 2 − 25λ + 100 = 0 λ1 = 5, λ2 |
= 20 . |
|||||||||||||
Находим собственные векторы матрицы A . Для λ1 = 5 имеем: |
||||||||||||||
12u + 6u |
2 |
= 0; |
|
|
|
|
(1) |
|
u |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
u2 |
= −2u1 ; x |
1 |
u1 |
≠ 0 . |
||||||
6u + 3u |
2 |
= 0. |
|
= |
−2u |
; |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Нормированный (т. е. единичной длины) собственный вектор равен
18
|
(1) |
|
1 |
|
2 |
T |
x |
|
= |
|
; − |
|
. |
|
5 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
Для λ2 = 20 имеем:
−3v1 + 6v2 = 0; |
v1 = 2v2 ; |
x |
(2) |
2v2 |
|
|
v2 ≠ 0 . |
||
6v − 12v = 0. |
|
= v |
|
; |
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
Нормированный собственный вектор равен x(2)
ставляем матрицу T перехода от базиса {e1 ,e2 } к базису
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
||
T = |
|
|
|
|
. |
||
|
− |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
T |
||
= |
|
; |
|
|
. Со- |
|
5 |
5 |
|||||
|
|
|
|
{x(1) , x(2) }:
Получаем теперь связь между старыми x1 , x2 натами вектора x :
x |
|
= |
1 |
|
y |
+ |
2 |
|
y |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
5 |
1 |
|
5 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
x |
|
= − |
|
|
y |
+ |
|
|
y |
. |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем эти выражения в Φ (x1 , x2 ) :
и новыми y1 , y2 коорди-
(25)
Φ ( y1 , y2 ) = 17 |
1 |
y1 + |
2 |
y2 |
2 |
+ 12 |
|
1 |
y1 |
+ |
2 |
y2 |
|
− |
2 |
y1 |
+ |
1 |
y2 |
|
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+8 |
|
− |
|
y1 + |
|
|
y2 = 5y1 |
+ |
20 y2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (25) дают искомое линейное преобразование, приводящее |
|||||
квадратичную форму |
17x 2 |
+ 12x x |
2 |
+ 8x 2 |
к каноническому виду |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
5y 2 |
+ 20 y 2 . |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
19
2.4 Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы
2.4.1 Квадратичная форма Φ (x1 , x2 ,…, xk ) называется положительно определённой, если Φ (x1 , x2 ,…, xk ) > 0 для любого x = (x1 , x2 ,…, xk )T , x ≠ 0 . Если же Φ (x1 , x2 ,…, xk ) < 0 для любого x ≠ 0 , то квадратичная форма Φ (x1 , x2 ,…, xk ) называется отрицательно определённой.
Существуют и знаконеопределённые квадратичные формы, например, Φ (x1 , x2 ) = x12 − x1 x2 − x22 . Поведение квадратичных форм с точки зре-
ния постоянств знака можно выяснить с помощью канонического вида данной квадратичной формы. Однако построение канонического вида квадратичной формы может быть весьма сложным при большом числе переменных ( k > 3 ). Поэтому желательно иметь и другой критерий, не связанный с построением канонического вида.
2.4.2 Критерий Сильвестра. Пусть Φ (x1 , x2 ,…, xk )
фора, A – её матрица:
|
|
|
|
|
|
a11 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A = a21 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
… |
||
|
|
|
|
|
|
ak1 |
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= a , |
2 |
= |
|
a11 |
a12 |
|
, |
|
|
|||||||
11 |
|
|
a21 |
a22 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
… a1k |
a22 |
… a2k . |
|
|
… … … |
|
ak 2 |
… akk |
a11 a12 a13
3 = a21 a22 a23 , …, a31 a32 a33
– квадратичная
k = A
и назовём 1 , 2 ,…, k главными минорами матрицы A .
Для того, чтобы квадратичная форма Φ (x1 , x2 ,…, xk ) была положи-
тельно определённой, необходимо и достаточно, чтобы 1 > 0 , 2 > 0 , …, |
||||||||||
k > 0. Для того, |
чтобы форма Φ (x1 , x2 ,…, xk ) была отрицательно опреде- |
|||||||||
лённой, необходимо и достаточно, чтобы |
1 < 0 , 2 < 0 , …, k > 0 ( k = 2n ) |
|||||||||
или k < 0 ( k = 2n + 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.4.3 Пример. |
Пусть |
Φ (x1 , x2 , x3 ) = − x12 − 2x2 |
2 |
− 3x33 + 2x1 x3 + 2x2 x3 . |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
−1 0 |
|
|||
|
|
|
||||||||
A = |
0 −2 1 |
; |
1 = −1 < 0 ; |
2 = |
= 2 > 0 ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−2 |
|
|
1 |
1 |
−3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
−1 0 1
3 = 0 −2 1 = −6 + 2 + 1 = −3 < 0 .
1 1 −3
Значит, Φ (x1 , x2 , x3 ) является отрицательно определённой квадратичной формой.
2.5 Упражнения
2.5.1Записать матрицу для квадратичной формы:
1) x12 + 2x1 x2 + 2x22 + 4x2 x3 + 5x32 ;
2) x12 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x1 x4 + x22 + 2x2 x3 − 4x2 x4 + x32 − 2x42 .
2.5.2Записать квадратичную форму по заданной матрице:
|
|
1 |
- 6 |
|
|
|
2 - 3 0 |
|
|
|
2 -1 5 |
|||
1) |
; |
2) |
|
|
1 4 |
|
; |
3) |
|
|
|
|||
|
|
|
- 3 |
|
-1 - 3 6 . |
|||||||||
|
- 6 5 |
|
|
|
0 |
4 - 5 |
|
|
|
5 6 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5.3 Построить канонический вид следующих квадратичных форм и указать линейные преобразования, приводящие данные квадратичные формы к каноническому виду:
1)Φ (x1 , x2 ) = 2x1 x2 ;
2)Φ (x1 , x2 ) = x12 − 2x1 x2 + 4x22 ;
3)Φ (x1 , x2 ) = x12 + 16x1 x2 + 56x22 ;
4)Φ (x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + 2x22 − 5x32 + 2x1 x2 ;
5) Φ (x1 , x2 , x3 ) = x12 + 5x22 − x32 + 6x1 x2 + 4x2 x3 ; 6) Φ (x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + x22 − 4x1 x2 − 4x2 x3 ;
7) Φ (x1 , x2 , x3 ) = − x12 − 2x22 − 3x32 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 ;
8) Φ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2x1 x2 + 2x3 x4 ; 9) Φ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x4 + x2 x3 .
2.5.4 Определить, какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет:
1)x12 + 26x22 + 10x1 x2 ;
2)− x12 + 2x1 x2 − 4x22 ;
3)x12 − 15x22 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 6x2 x3 ;
4)x12 + 4x22 + 4x32 + 8x42 + 8x2 x4 .