14. 6. Аналитический метод определения температуры резания, стружки и инструмента

Основным недостатком всех экспериментальных методов является невозможность с их помощью получить достоверные температурные поля в стружке и режущем клине инструмента. Построение температурных полей стало возможным благодаря использованию метода источников тепла, позволяющего сравнительно простыми математическими способами получать приемлемые инженерные решения. Сущность метода источников состоит в следующем: температурное поле, возникающее в теплопроводном теле под действием источника тепла любой формы, движущегося или стационарного, действующего временно или непрерывно, можно получить как результат той или иной комбинации температурных полей, возникающих под действием системы точечных мгновенных источников.

На основании дифференциального уравнении теплопроводности

В. В. Томсоном (Кельвином) было найдено главное решение, описывающее процесс распространения тепла в неограниченном теле, в котором вспыхнул и мгновенно погас (t = 0) точечный источник, выделивший q калорий тепла, Предполагается, что до начала процесса все точки тела имели одинаковую температуру, а влиянием теплообмена наружных поверхностей тела с окружающей средой можно пренебречь. Для этих условий уравнение, описывающее температурное поле, возникшее под действием мгновенного точечного источника, имеет вид

(14.1)

где - температура любой точки тела с координатамиx, y, z, возникающая через t c после начала действия мгновенного точечного источника тепла; - координаты мгновенного точечного источника;

и - соответственно коэффициенты теплопроводности и температуропроводности материала обрабатываемой заготовки детали. Используя уравнение (14.1), можно получить зависимости, описывающие температурные поля, возникающие под действием источников различной формы (стационарных и движущихся).

Приведем их для некоторых источников, представленных на рис.14.12. Для стационарного точечного источника тепла

Для мгновенного линейного источника тепла, расположенного параллельно оси OZ и выделяющего q, тепла на единице его длины,

где

расстояние от источника до рассматриваемой точки тела.

Для мгновенного плоского источника тепла, расположенного параллельно плоскости xoz на расстоянии y_И от последней и выделяющего q_пл тепла на единице его площади,

Для быстродвижущегося линейного источника тепла, движущегося со скоростью  (быстродвижущимися называют такие источники, скорость перемещения которых превышает скорость распространения тепла),

Последней зависимостью температурное поле описано в подвижной системе координат. Формула описывает температуру различных точек тела, каждая из которых в любой момент времени расположена одинаково по отношению к движущемуся источнику. В неподвижной системе абсцисса этих точек со временем меняется, а в подвижной остается постоянной, так как рассматриваемая точка перемещается вместе с подвижной системой координат, связанной с источником.

На примере вывода формулы для определения температуры резания поясним технику использования метода источников. Чтобы облегчить математическое оформление задачи, сделаем ряд упрощений, не затрагивающих понимания сущности метода. Эти упрощения следующие:

1) источник, имитирующий тепло трения на передней поверхности, примем постоянной интенсивности на всей ширине площадки контакта;

2) переднюю поверхность инструмента будем считать не теплопроводящей. Для острого инструмента температура резания равна:  = _д + _тп.ср.

Температура деформации _д, равная температуре стружки на условной плоскости сдвига, может быть определена следующим образом:

где ₀ - начальная температура срезаемого слоя;

 - коэффициент, учитывающий количество тепла, остающегося в стружке;

ab - объем слоя, срезаемого в единицу времени;

₀ - объемная теплоемкость обрабатываемого материала.

Так как тепло деформации Q_д равно , гдеA – механический эквивалент тепла, то

Но - удельная работа деформации e_д, а поэтому

Определим среднюю температуру трения на передней поверхности. С учетом сделанных упрощений схема для определения средней температуры трения приведена на рис.14.13.

По адиабатической контактной поверхности стружки AA в сторону, обратную ее движению, со скоростью стружки _c перемещается плоский источник тепла постоянной интенсивности q_тп. Ширина источника равна ширине C площадки контакта, а длина вдоль оси Z - ширине срезаемого слоя b. Следовательно, количество тепла, выделяющегося в единицу времени на единицу площади источника, будет

Как показал Д. К. Иегер, при соотношениях , имеющих место при резании, температура на поверхности трения плоского источника тепла мало отличается от температуры полосового источника, ширина которого равнаС, а длина вдоль оси Z не ограничена. Поэтому при определении температуры трения на передней поверхности можно пользоваться уравнением установившейся температуры на поверхности полосового источника.

Представим плоский источник как сумму бесконечно большого числа линейных источников J с координатами x₀ и 0, движущихся одновременно с той же скоростью, что и плоский источник. Согласно А. Н. Резникову, элементарное повышение температуры в точке М тела с координатами x и y в подвижной системе координат XOY, возникающее под действием линейного источника,

Сравнивая последнюю зависимость с зависимостью, которая описывает изменение температуры под действием быстродвижущегося линейного источника, можно заметить, что в теле, ограниченном с одной стороны нетеплопроводящей плоскостью, температура вдвое больше, чем в неограниченном теле, так как в первом случае из-за нетеплопроводности границы отвод тепла затруднен.

Для определения полной температуры в точке M(x, y) под действием всех линейных источников полученную зависимость необходимо проинтегрировать по x_и:

Если 0  x  С, то интегрирование ведется в пределах от 0 до x если x  С, то в пределах от 0 до С.

В общем случае

где p = x при 0  x  С и p = С при x  С.

Введем безразмерные критерии подобия, принимая за условную единицу ширину С площадки контакта. Пусть x =  С, x_и =  C,

Тогда при

  1 … p = ;

 > 1 … p = 1.

Подставляя, получим

Наибольшее значение интеграла равно 2. Оно имеет место при  = 0 и  =1.Если положить

то математическая зависимость запишется в виде

В полученной формуле q_тп, С и _с характеризуют источник тепла, а ₀ и ₀ - тело, подвергающееся нагреванию. Дробь, стоящая перед функцией , представляет собой максимально возможную температуру, а сама функция  показывает, как температура изменяется по ширине площадки контакта.

Температуру для точек, расположенных на поверхности контакта, можно получить, если в зависимости функции  положить y = 0.

При этом  = 0 и p =  = . Тогдаи (x, 0) =

Максимальная температура будет в конце площадки контакта, при  = 1:

Средняя температура _тп.ср в пределах площадки контакта будет при среднем значении . Так както будем иметь

Таким образом, окончательно температуру резания можно определить по формуле

При расчете температуры резания в конечную формулу необходимо подставлять q_тп в кал/см²·с, С в см, _с в см/с и e_д в г·см/см³. Вычисленная таким способом температура резания будет несколько отличаться от действительной, так как при выводе формулы были сделаны допущения: отсутствие теплообмена с инструментом и постоянная интенсивность теплового источника по ширине площадки контакта. Последнее допущение, в частности, привело к тому, что максимальная температура резания по расчету имеет место в конце площадки контакта, а не в середине ее ширины, как это следует из экспериментов.

179