Раздел 8. Исчисление предикатов

8.1.Кванторы общности и существования

 - квантор общности, используется вместо слов: <для любого>, <для каждого>, <для всех>.

(x² + y + 1 > 0) - <для всех x верно, что x² + y + 1 > 0>

 - квантор существования, используется вместо слов: <существует>, <найдется>.

(5 + x =5) - <существует такое x, что 5 + x = 5>

Кванторы применяются для того, чтобы перейти от высказывательной формы к истинному высказыванию, эта операция называется квантификацией.

8.2. Квантификация многоместной высказывательной формы.

Квантификация - переход от высказывательной формы к истинному высказыванию.

Рассмотрим двуместную высказывательную форму и всевозможные варианты её квантификации:

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

(6) 

(7) 

(8) 

(1) ≡ (2)

(3) ≡ (4)

Одноименные кванторы можно менять местами

(6) => (5)

(8) => (7)

Если высказывательная форма зависит от n переменных, то при квантификации высказывательной формы по x_i переменной, x_i переменная становится связанной (связана квантором), при этом все остальные называются свободными.

Чтобы перейти от высказывательной формы  к истинному высказыванию нужно проквантифицировать её n раз по каждой переменной.

8.3. Отрицание предложений кванторами.

Рассмотрим такой пример:  (отрицание предложения необходимо начинать со слов <неверно, что:>) - <неверно, что все ученики отличники>. Попытаемся перефразировать: <среди учеников есть хотя бы неотличник> или , т. е.  ≡ . Ещё один пример:  ≡ .

Правила построения отрицания предложения с кванторами:

- каждый квантор меняем на противоположный;

- отрицание переносим на высказывательную форму.

Пример: Предложение: <в каждой стране найдётся город, у всех жителей которого глаза одинакового цвета>.

Запись кванторами: (глаза одинакового цвета)

Отрицание кванторами: (неверно, что глаза одинакового цвета)

Отрицание предложение: <существует страна, в каждом городе которой найдётся житель с глазами разного цвета>.

8.4. Численные кванторы

а) Не менее n

б) Не более n

в) Ровно n

1) n = 1

a)  - кубическое уравнение имеет не менее одного корня.

б)  - две прямые пересекаются не более чем в одной точке

в)  - линейное уравнение имеет один корень

2) n = 2

а)  - в треугольнике находится не менее двух острых углов

б) - квадратное уравнение имеет не более двух действительных корней

в)  - в прямоугольном треугольнике ровно два острых угла.

Аналогичным образом можно сделать и для n = 3, 4 и так далее.

8.5. Символическая запись определений и теорем.

Символическая запись используется для того, чтобы люди, находящиеся в разных странах мира и говорящие на разных языках, могли понимать друг друга.

Пример: число A называется пределом числовой последовательности  тогда и только тогда, когда для любого E больше <0> существует такое число N, что для любого n, где n больше либо равно N, выполняется условие, что модуль разности числа A и любого числа последовательности меньше E.

Вопросы для контроля:

1. Кванторы общности и существования.

2. Квантификация многоместных высказывательных форм.

3. Отрицание предложений с кванторами.

4. Численные кванторы.

5. Символическая запись определений и теорем.