1.4. Відносна частота. Стійкість відносної частоти

Відносна частота поряд з ймовірністю належить до основних понять теорії ймовірностей.

Відносною частотою події називають відношення числа випробувань, у яких подія з’явилася, до загального числа фактично зроблених випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою

,

де m - число появ події, n - загальне число випробувань.

Зіставляючи визначення ймовірності і відносної частоти, робимо наступний висновок: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилися в дійсності; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробування були проведені фактично.

Іншими словами, ймовірність обчислюють до випробування, а відносну частоту - після випробування.

Приклад 1. Відділ технічного контролю знайшов 3 нестандартні деталі в партії з 80 випадково відібраних деталей. Відносна частота появи нестандартних деталей

.

Приклад 2. По цілі зробили 24 постріли, причому було зареєстровано 19 влучень. Відносна частота враження цілі

.

Тривалі спостереження показали, що якщо в однакових умовах проводять досліди, у кожному з яких число випробувань досить велике, то відносна частота виявляє властивість стійкості. Ця властивість полягає в тому, що в різних дослідах відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше зроблено випробувань), коливаючись біля деякого постійного числа. Виявилося, що це постійне число є ймовірність появи події.

Таким чином, якщо дослідним шляхом встановлена відносна частота, то отримане число можна прийняти за наближене значення ймовірності.

Докладніше і точніше зв’язок між відносною частотою й ймовірністю буде викладено далі. Тепер же проілюструємо властивість стійкості на прикладі.

Приклад 3. Багаторазово проводилися досліди з кидання монети, у якої підраховували число появ "герба". Результати декількох дослідів приведені в таблиці.

Число кидань монети	Число появ герба	Відносна частота
4 040	2 048	0,5069
12 000	6 019	0,5016
24 000	12 012	0,5005

Тут відносні частоти незначно відхиляються від числа 0,5, причому тим менше, чим більше число випробувань. Наприклад, при 4040 випробуваннях відхилення дорівнює 0,0069, а при 24000 лише 0,0005. Прийнявши до уваги, що ймовірність появи "герба" при киданні монети дорівнює 0,5, ми знову переконуємося, що відносна частота коливається відносно ймовірності.

1.5. Обмеженість класичного визначення ймовірності. Статистична ймовірність

Класичне визначення ймовірності припускає, що число елементарних результатів випробування кінцеве. На практиці ж дуже часто зустрічаються випробування, число можливих результатів яких нескінченно. У таких випадках класичне визначення незастосовне. Уже ця обставина вказує на обмеженість класичного визначення ймовірності. Відзначений недолік може бути переборений, зокрема, введенням геометричних ймовірностей і, звичайно, використанням аксіоматичної ймовірності.

Найбільш слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо представити результат випробування у виді сукупності елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні події рівноможливими. Звичайно про рівноможливість елементарних результатів випробування говорять з точки зору симетрії. Так, наприклад, припускають, що гральна кістка має форму правильного багатогранника (куба) і виготовлена з однорідного матеріалу. Однак задачі, у яких можна виходити з міркувань симетрії, на практиці зустрічаються дуже рідко. З цієї причини поряд із класичним визначенням ймовірності використовують і інші визначення, зокрема статистичне визначення: в якості статистичної ймовірності події приймають відносну частоту чи число, близьке до неї. Наприклад, якщо в результаті досить великого числа випробувань виявилося, що відносна частота дуже близька до числа 0,4, то це число можна прийняти за статистичну ймовірність події.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, що витікають з класичного визначення, зберігаються і при статистичному визначенні ймовірності. Дійсно, якщо подія достовірна, то і відносна частота

,

тобто статистична ймовірність достовірної події (так само як я у випадку класичного визначення) дорівнює одиниці.

Якщо подія неможлива, то і, отже, відносна частота

,

тобто статистична ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

Для будь-якої події і, отже, відносна частота

,

тобто статистична ймовірність будь-якої події знаходиться між нулем і одиницею.

Для існування статистичної ймовірності події А потрібно:

а) можливість, хоча б принципово, проводити необмежене число випробувань, у кожному з яких подія А настає чи не настає;

б) стійкість відносних частот появи події А в різних серіях достатньо великого числа випробувань.

Недоліком статистичного визначення є неоднозначність статистичної ймовірності; так, у наведеному прикладі за ймовірність події можна прийняти не тільки 0,4, але і 0,39; 0,41 і т. д.