5.3 Условия механического подобия

При создании моделей следует стремиться к идентичности характеристик модели и натурного объекта. Чтобы достичь такого соответствия, разработана специальная теория механического подобия.

Низшей ступенью подобия является геометрическое подобие. Подобными в геометрии называются фигуры, имеющие одинаковые формы и пропорциональные размеры. Отношение длин линий фигур называется масштабом, или коэффициентом подобия.

Механическое подобие– более высокая ступень подобия. В механической модели соблюдение геометрического подобия обязательно. Однако необходимо еще и подобие физических параметров модели и натурного объекта, которое должно распространяться только на те характеристики, которые имеют существенное значение для изучаемого явления. Например, если внутренние напряжения в материале котла цистерны не влияют на исследуемый процесс колебаний жидкости в ней, то модель может быть изготовлена из любого материала, в том числе прозрачного, так как в этом случае подобие характеристик материала необязательно. Подобия геометрических и физических параметров являются условиями однозначности модели и натурного объекта.

Для перехода от характеристик натурного объекта к характеристикам модели используется понятие коэффициента подобия. Такие коэффициенты для данной модели являются постоянными величинами.

Для пояснения принципа определения коэффициентов подобия рассмотрим ситуацию, в которой необходимо исследовать динамику объекта на модели, размеры которой в k_l раз меньше, чем размеры натурного объекта. В этом случае k_l называют коэффициентом подобия линейных размеров. Если модель изготовлена из материала, плотность  которого в k_ раз меньше плотности оригинала, то масса модели может быть рассчитана по формуле

.

Поскольку объем модели в (k_l)³ раз меньше объема натурного объекта, то их масса будет различаться в k_ (k_l)³ раз. Полученное произведение является коэффициентом подобия масс k_m. Движение такого объекта описывается основным законом динамики Ньютона , гдеa – ускорение, которое определяется двукратным дифференцированием линейных размеров

.

Следовательно, чтобы вычислить коэффициент подобия для ускорений модели и натурного объекта, нужно коэффициент подобия длины разделить на квадрат коэффициента подобия времени (знаки дифференцирования d не влияют на размерность):

.

Аналогично рассуждая, получаем, что коэффициент подобия для сил

.

Таким образом, чтобы движение модели полностью соответствовало движению натурного объекта, необходимо отличие приложенных к нему сил в k_Fраз.

Иногда бывает полезно установить, при каком соотношении между параметрами модели и натурного объекта явления, происходящие в них, будут физически подобны. Это устанавливается с помощью критериев подобия. Чтобы получить один из таких критериев, снова рассмотрим движение объекта и его модели под действием приложенных к ним сил.

Для обоих тел основной закон динамики запишется в виде:

или

Разделив обе части уравнения на F_i, получаем

.

Следовательно, подставляя в предыдущее равенство вместо физических величин соответствующие коэффициенты подобия, получаем

,

что соответствует условию

Последнее соотношение устанавливает соответствие между параметрами исследуемого объекта и модели, и его называют критерием подобия (этот критерий установлен еще Ньютоном, поэтому носит его имя).

Для многих физических явлений установление критериев не только полезно, но и исключительно важно, так как описание этих явлений производится с помощью критериев подобия или в критериальной форме. Приведем некоторые наиболее распространенные критерии механического, гидродинамического, электрического и теплового подобия.

1 Объект движется ускоренно в поле тяготения. В этом случае используется критерий подобия Фруда Fr:

,

где – скорость объекта;

g – ускорение свободного падения.

2 Если на движущиеся объект исследования и его модель действуют помимо прочих сил силы упругости, подчиняющиеся закону Гука, то применяют критерий подобия Коши C:

где – плотность;

E – модуль упругости.

3 Объект движется с ускорением в вязкой несжимаемой жидкости. В данном случае моделирования помимо общего критерия подобия Ньютона следует принимать в качестве определяющего критерий Рейнольдса Re:

,

где d– гидравлический диаметр;

ν – кинематическая вязкость жидкости.

Все подобия подчиняются некоторым общим закономерностям, которые устанавливаются теоремами подобия [12]. Основное предназначение этих теорем – обоснование возможности записи уравнений, описывающих сложные нелинейные системы, в безразмерной форме. Такая форма позволяет выяснить общие закономерности поведения рассматриваемых систем и установить влияние разных факторов на параметры исследуемых процессов.

Существенная особенность критериев подобия – их безразмерность. Физические характеристики, входящие в выражение любого критерия, таковы, что все размерности сокращаются, поэтому величина критерия – число отвлеченное и, таким образом, сохраняющее одно и то же значение в любой системе единиц.

Критерии подобия процесса могут быть найдены, если известно его математическое описание или хотя бы та совокупность параметров, которой в данной задаче и в данных условиях можно характеризовать изучаемое явление. Однако история дает немало примеров, когда создатели моделей не знали критериев подобия и не пользовались ими. Так обстояло дело на заре моделирования в технике. Подобная ситуация, в частности, наблюдается в тех областях науки (например, в биологии и медицине), где по тем или иным причинам математика еще в достаточной мере не пришла на помощь ученым и количественные оценки явлений только еще начинают проникать в методологию таких исследований.