методичка по математике

гочлени за теоремою Безу діляться на x − x0 без залишку.

3.Невизначеності вигляду 0 , в яких є ірраціональність.

0

УВАГА!

Метод вилучення «критичного множника» тут не підходить, оскільки для ірраціональних виразів теорема Безу не застосовується. У цьому випадку помножимо чисельник і

41

Правило. Щоб розкрити невизначеність 0 , в якій є ірраціональний ви-

⎩0

раз, потрібно відповідним образом звільнитись від ірраціональності.

Зауваження. Ми розглянули три методи розкриття невизначеностей. Слід запам’ятати, що метод ділення чисельника і знаменника на xk застосовується для розкриття

знаменнику немає ірраціонального виразу, який перетворюється в нуль при x = x0 . Якщо

0

ж така ірраціональність є і ми маємо невизначеність , то відповідним образом потрі-

0

бно звільнитись від ірраціональності.

чудова границя.

Функція y = sinx x невизначена при x = 0 , оскільки зна-

менник дробу не може дорівнювати нулю. Знайдемо границю цієї функції при x →0 .

Візьмемо коло радіусом R і позначимо радіанну міру кута АОС через х (нагадаємо, що радіаном, називається центральний кут, який спирається на дугу, яка дорівнює радіусу). Нехай 0 < x < π/ 2 . Проведемо дотичну до кола у точці С. Промінь OA продовжимо до перетину з дотичною. Із рисунка видно, що площа ∆BOC більша, ніж площа сектора AOC . А ця площа, в свою чергу, більша, ніж площа ∆AOC . Знайдемо ці площі:

S∆AOC = 12 OC AD = 12 R Rsin x = 12 R2 sin x ;

Sсект. AOC = 12 OC2 x = 12 R2 x ;

S∆BOC = 12 OC BC = 12 R R tg x = 12 R2 tg x .

Порівнюючи площі трикутників і сектора, маємо нерівності:

S∆AOC < Sсект.AOC < S∆BOC або 12 R2 sin x < 12 R2 x < 12 R2 tg x або sin x< x< tg x .

Розділимо одержані нерівності на sinx (sin x > 0 , оскільки за умовою

0 < x < π2 і дістанемо:

42

Тому той же результат має місце і при x < 0 . Рівність (4) називається першою чудовою границею.

весь дріб прямує до нуля.

=1

5. Невизначеності виду {1∞}. Друга чудова границя. Число e.

Відомо, що коли функція зростає і обмежена зверху, то вона має границю

(див. т. 9, п. 10).

Легко перевірити, що x1 = 2 ; x2 = 2,25 ; x3 = 2,37 ; x4 = 2,441; x5 = 2,488 .

43

Ми бачимо, що x1 < x2 < x3 < x4 < x5 <...

Крім цього, можна довести, що для всіх n , xn <3 .

Таким чином, послідовність зростає і обмежена зверху і тому вона має

Число e – ірраціональне, воно дорівнює 2,7182818… Рекомендуємо запамятати: е ≈ 2,72 .

Якщо в формулі (5) зробити заміну 1n = z (тоді z →0), то вона буде мати ви-

1

гляд lim (1 + z)z = e . Можнадовести, щоціформулимаютьмісцеідлязмінної x .

z→0

Тобто можна записати

У подальшому, крім формул (6), можна використовувати і такі формули:

Тут m – деяке число, або вираз. Головне, щоб у разі підстановки границі мала місце невизначеність {1∞}.

12. НАТУРАЛЬНІ ЛОГАРИФМИ

Означення. Логарифм деякого числа N, який обчислюється по основі e, називається натуральним логарифмом цього числа і позначається через ln N , тобто loge N = ln N .

44

У багатьох випадках зручніше використовувати натуральні логарифми, ніж, наприклад, знайомі з середньої школи десяткові логарифми. Знайдемо формулу, яка зв’язує натуральні і десяткові логарифми.

За означенням N = eln N . Прологарифмуємо цю рівність по основі 10. lg N = lg eln N або lg N = ln N lg e .

У таблицях десяткових логарифмів знайдемо lg e ≈ 0,43429 … Тому

логарифмів до десяткових.

Ця формула дозволяє находити десятковий логарифм числа N , якщо відомийнатуральнийлогарифм N . Рівність(7) можназаписативіншомувигляді:

ln N = M1 lg N 0,lg434N = 0, 4341 lg N ≈ 2,302lg N .

Тобто це формула переходу від десяткових до натуральних логарифмів. ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Що таке невизначеність виду 0

0 ?

2. Перелічіть всі невизначеності.

3. Якщо xn →0 , а yn →∞, куди прямує дріб xn ? yn

4. Якщо xn →c , а yn →0 , куди прямує дріб xn ? yn

5. Сформулюйте правило розкриття невизначеності ∞ .

∞

6.Що таке «критичний множник»?

7.Запишітьпершучудовуграницю. Якуневизначеністьрозкриваєцяформула?

8.Яку невизначеність розкриває друга чудова границя? Запишіть її формули.

9.Що таке натуральний логарифм?

10.Чому дорівнює модуль переходу від натуральних логарифмів до десяткових логарифмів?

Але якщо у разі підстановки граничного значення аргументу ми одержує невизначеність, то в кожному випадку відшукання границі необхідне засто-

45

2. Цей приклад розв’яжемо тим же методом. Розділимо чисельник і знаменник на x3 2 .

46

Розв’язання.