методичка по математике

Розв’язання. Зафіксуємо довільне ε > 0 . Потрібно по ε знайти таке δ > 0 ,

тобто нерівність вірна. У відповідності з означенням границі функції це і

означає, що lim (3x + 2) =8 .

x→2

Ми розглянули поняття границі функції у точці: число А є границею функції y = f (x) у точціx0 , якщо з наближенням аргументу х до x0 ( x → x0 ) значення

функції y необмежено наближаються до А. Але існують випадки, коли х прямує донескінченності, аy доА, або x → x0 , а y →∞ іт. д. Розглянемодеякізних.

Означення. Число А називається границею функції y = f (x) при x →∞, якщо для любого ε > 0 знайдеться таке число M > 0 , що для всіх

для кожного достатньо великого додатного числа М знайдеться таке δ, що для всіх значень х, які задовольняють нерівності x − x0 < δ, буде виконуватись нерівність f (x) > M (рис. 7).

31

У цьому випадку функцію називають нескінченно великою і записують

так: lim f (x) = ∞.

x→x0

Якщо функція y = f (x) прямує до нескінченності при x → x0 і при цьо-

прямує ні до числа ні до нескінченності, тобто границі не має.

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Що таке однобічні границі (границі зліва і справа)? Як вони зв’язані з границею функції?

2. Чи потрібно у разі означення границі функції у точціx0 існування функції

вцій точці?

3.Яке число ми вибираємо спочатку: ε чи δ?

4.Дайте геометричне тлумачення границі функції.

5.Сформулюйте означення границі функції y = f (x) при x → x0 (на «мові

послідовностей» і на мові «ε-δ»).

6.Сформулюйте означення границі функції, коли y → A, а x →∞.

7.Що таке нескінченно велика функція? Наведіть геометричну ілюстрацію.

9. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ФУНКЦІЇ І ЇХ ВЛАСТИВОСТІ Означення. Функція y = f (x) називається нескінченно малою, коли x → x0 ,

якщо для любого ε > 0 знайдеться таке δ > 0 , що для усіх х, які задовольняють нерівність x − x0 < δ, буде виконуватись нерів-

ність f (x) < ε.

Цей факт можна записати так: lim f (x) = 0 .

x→x0

Аналогічне означення можна сформулювати і для x →∞.

Помітимо, що наведене означення подібне до означення границі функції з тією лише різницею, що A = 0.

Наведемо ще одне означення нескінченно малої функції (спрощене): функція y = f (x) називається нескінченно малою, якщо її границя дорівнює

нулю (коли x → x0 , або x →∞), тобто lim f (x) = 0 .

x→x0

32

Нескінченномаліфункціїбудемопозначатитакимчином: α(x) , β(x) , γ(x) ,…

Помітимо, що, наприклад, функцію α(x) = 1x не можна назвати нескін-

ченно малою до тих пір, поки не буде вказано, куди прямує аргумент х. У да-

ному випадку потрібно, щоб x →∞ або x → −∞, тоді α(x) = 1x →0 і буде не-

скінченно малою функцією. А функція β(x) = (x −3)2 буде нескінченно малою тільки тоді, коли x →3.

Зауваження. Все, що було сказано про невдалий термін «нескінченно малі послідовності» цілком відноситься до терміна «нескінченно малі функції».

Теореми про нескінченно малі функції

1. Для того, щоб число А було границею функції y = f (x) при x → x0

Доведення. Нехай lim f (x) = A , тоді за означенням границі функції, по-

x→x0

чинаючи з деякого моменту, буде виконуватись нерівність f (x) − A < ε. Позначимо f (x) − A = α(x) , тоді α(x) <ε і за означенням α(х) буде не-

скінченно малою функцією.

Навпаки: нехай f (x) − A = α(x) . Тоді всі значення α(x) , починаючи з де-

33

α(1x) > 1ε. Позначимо1ε = M . Тобто, починаючи з деякого значення, буде ви-

прямувати до нескінченності.

3. Сума скінченого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.

Доведення. Проведемо доведення для двох функцій.

Нехай α(x) і β(x) нескінченно малі, коли x → x0 (або x →∞). Доведемо, що їхсума γ(x) = α(x) +β(x) будетежнескінченномалоюфункцієюпри x → x0 .

x → x0 , то за означенням для всякого ε > 0 знайдеться окіл точкиx0 , в якому

Отже, α(x) f (x) – нескінченно мала функція.

Висновок 1 . Добуток двох нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.

Помітимо, що всяку нескінченно малу функцію можна вважати обмеженою функцією. Тому одну із двох нескінченно малих функцію можна розглядати як обмежену.

Цей висновок вірний і для будь-якого скінченного числа множників.

34

Висновок 2 . Якщо α(x) – нескінченно мала функція при x → x0 (або x →∞), а

С – стала величина, то lim [C α(x)]= 0 . x→x0

Помітимо, що величина С завжди обмежена.

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Що таке нескінченно мала функція? Наведіть приклади.

2.В якому випадку функція y = x 1−5 буде нескінченно малою, а в якому –

нескінченно великою?

3. Якщо lim f (x) = A , то як можна представити функцію y = f (x) (за допо-

x→x0

могою властивості 1)?

4.Якщо α(x) – нескінченно мала функція, а f (x) – обмежена, то чому дорівнює добуток цих функцій?

10. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦЮ ФУНКЦІЇ

Розглянемо декілька функцій, які залежать від одного і того ж аргументу х, який прямує до числа x0 або до ∞. Будемо проводити доведення для x → x0 ,

маючи на увазі, що доведення для випадку x →∞ проводиться аналогічно.

2. Якщо функція має границю, то вона єдина.

Функція не може водночас прямувати до двох різних границь при x → x0

(або x →∞). Таким чином, існує два варіанти: або функція має границю і вона єдина при x → x0 ( x →∞), або функція не має границі при x → x0 ( x →∞).

3. Границя суми скінченного числа функцій, дорівнює сумі границь цих

нескінченно малих функцій і тому теж нескінченно мала функція (теорема 3,

35

4. Границя добутку скінченного числа функцій дорівнює добутку границь цих функцій.

Висновок. Сталий множник можна виносити за знак границі.

5. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границя знаменника не дорівнює нулю.

36

Аналогічне твердження має місце і для спадної, обмеженої знизу функції. ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Чому дорівнює границя сталої величини?

2.Чи може функція мати дві границі при x → x0 ?

3.Чи може функція не мати границі при x → x0 (або x →∞)? Якщо так, то

наведіть приклад.

4.Сформулюйте теорему про границю суми функцій і доведіть її.

5.Якими теоремами з п. 9 ми користуємося у доведенні теорем із п. 10?

11. НЕВИЗНАЧЕНІ ВИРАЗИ І ЇХ РОЗКРИТТЯ

Для спрощення розглядання наступного матеріалу повернемось до числових послідовностей. Нехай xn → a, yn →b , де а і b числа або нескінченності

(нагадаємо, що n приймає значення 1, 2, 3, 4,…). Розглянемо дріб xn і різні yn

37

сельник дробу прямує до нуля, а знаменник до деякого числа (b ≠ 0) , то дріб

буде прямувати до нуля.

Розглянемо тепер випадок, коли а ≠ 0 , а b = 0 , тобто yn →0 . Помітимо, що yn не приймає значень, які дорівнюють нулю. Наприклад, нехай а =5 . Тоді за

великих значень n чисельник xn дробу xn буде майже дорівнювати 5, а зна- yn

менник yn буде достатньо близьким до нуля (але не рівним нулю!).

Ясно, що дріб буде збільшуватись. Тобто якщо чисельник дробу прямує до границі (яка не дорвнює нулю), а знаменник прямує до нуля, то сам дріб