Смуговий фільтр

Електричним фільтром називається частотно-вибірковий пристрій, який пропускає сигнали певних частот і затримує сигнали інших частот. Фільтри нижніх та верхніх частот пропускають відповідно тільки низькі або тільки високі частоти. Смугові фільтри пропускають, а режекторні фільтри, навпаки, не пропускають тільки сигнали певного діапазону (смуги) частот.

Розглянемо передатну функцію фільтру

де та – напруга на вході та виході фільтру, відповідно.

Зробивши заміну (), отримаємо комплексний коефіцієнт передачі фільтра

де та – амплітуда вхідної та вихідної напруги, та – фаза вхідної та вихідної напруги. Залежність модуля комплексного коефіцієнту передачі від частоти представляє собою амплітудно-частотну характеристику (АЧХ), а залежність аргументу коефіцієнту передачі від частоти називається фазочастотною характеристикою (ФЧХ) фільтру.

Смуговий фільтр представляє собою пристрій, який пропускає сигнали в діапазоні частот з шириною смуги , яка розташована біля центральної частоти , та не пропускає сигнали, частоти яких вище або нижче цієї смуги. На рис. 4 зображені ідеальна та реальна амплітудно-частотні характеристики (АЧХ) смугового фільтру. Частоти , представляють собою нижню і верхню частоти зрізу фільтра та визначають ширину смуги пропускання .

У смузі пропускання амплітудно-частотна характеристика не виходить за межі певного значення (рівень А1 на рис. 4). Існують також дві смуги затримання: та , де значення АЧХ завжди нижче певного рівня (А2 на рис. 4). Діапазони частот між смугами затримання та смугою пропускання, а саме та , утворюють відповідно нижню та верхню перехідні області, в яких характеристика є монотонною. Таким чином, реальна АЧХ відрізняється від ідеальної наявністю перехідних областей, а також нерівномірністю характеристики у смузі пропускання та смугах затримання.

Рис. 4. Амплітудно-частотна характеристика смугового фільтру

Відношення називається добротністю фільтру та визначає ступінь його частотної вибірковості. Високому значенню відповідає відносно вузька, а низькому значенню – відносно широка смуга пропускання. Коефіцієнт підсилення фільтру визначається як значення його амплітудно-частотної характеристики на центральній частоті .

Активні фільтри складаються із операційних підсилювачів, які працюють в лінійному режимі, та пасивних RC-елементів. Передатна функція таких фільтрів представляє собою відношення двох поліномів

,

де і – дійсні коефіцієнти фільтру, , , . Порядок фільтру дорівнює ступені полінома знаменника . Чим більший порядок фільтру, тим ближче його АЧХ до ідеальної. Проте підвищення порядку пов’язано з ускладненням схем та більш високою вартістю фільтра.

В залежності від значення коефіцієнтів , розрізняють наступні типи фільтрів: Баттерворта, Чебишева, інверсні Чебишева, еліптичні, Беселя та інші [9, 10].

Фільтр Баттерворта має монотонну амплітудно-частотну характеристику. Такий фільтр називають фільтром з максимально плоскою АЧХ. Характеристика фільтра Чебишева містить пульсації в смузі пропускання (коливання коефіцієнта передачі) і монотонна у смугах затримання. В той же час фільтр Чебишева забезпечує меншу ширину перехідних областей АЧХ, ніж фільтр Баттерворта.

Типову передатну функцію смугового фільтра Баттерворта або Чебишева другого порядку можна записати у наступному вигляді [9]

,

де параметри , і пов’язані з коефіцієнтами фільтру , .

Для реалізації активних фільтрів Баттерворта і Чебишева найбільш широко застосовуються схема з багатоланковим зворотнім зв’язком (БЗЗ) та схема на базі джерела напруги, що керується напругою (ДНКН).

Схема смугового фільтру другого порядку з БЗЗ зображена на рис. 5, а. Такий фільтр має мінімальне число елементів, інвертуючий коефіцієнт підсилення та може забезпечувати значення добротності при невеликих коефіцієнтах підсилення. Для фільтру з БЗЗ мають місце наступні співвідношення

,

,

.

Схема смугового фільтра на базі ДНКН зображена на рис. 5, б. Такий фільтр має неінвертуючий коефіцієнт підсилення та може забезпечувати значення добротності . Опори та ємності елементів фільтру пов’язані з його параметрами наступним чином

,

,

,

де , .

а

б

Рис. 5. Активні смугові фільтри другого порядку: а–з багатоланковим зворотнім зв’язком;б–фільтр на базі джерела напруги, що керується напругою

При виконанні курсової роботи необхідно розробити активний смуговий фільтр четвертого порядку, який складається з двох каскадно включених фільтрів другого порядку. Розглянемо методику розрахунку такого фільтру.

Вихідні дані для розрахунку: тип фільтра (Баттерворта, Чебишева з нерівномірністю АЧХ 0,5 дБ, 1 дБ або 2 дБ); структура фільтра (з багатоланковим зворотнім зв’язком або на базі джерела напруги, що керується напругою); – коефіцієнт підсилення у смузі пропускання; – несуча частота АМн сигналу;– добротність фільтру.

Розрахунок фільтра з багатоланковим зворотнім зв’язком

1. Обираємо тип операційних підсилювачів для побудови фільтра. Необхідно, щоб виконувалась умова

,

где –частота одиничного підсилення ОП. Бажано обирати ОП, який має якомога більший коефіцієнт підсилення за напругою та якомога більший вхідний опір.

2. Визначаємо параметри передатної функції першого каскаду

,

,

,

де – коефіцієнт підсилення першого каскаду фільтра, – добротність кожного каскаду. Рекомендується обрати , . Параметри і розраховуються наступним чином

,

,

де і – коефіцієнти, які обираються із табл. 3 у відповідності до заданого типу фільтра.

3. Визначаємо центральну частоту смуги пропускання фільтру

.

4. Обираємо ємність конденсаторів , першого каскаду (у мкФ)

. [мкФ].

5. Визначаємо опір резисторів першого каскаду

,

,

.

Якщо опір резистора виявиться від’ємним, необхідно обрати більшу ємність конденсатора та провести повторний розрахунок опорів.

Таблиця 3

Значення коефіцієнтів активних фільтрів другого порядку

Коефіцієнти фільтру	Тип фільтру
	Фільтр Баттерворта	Фільтр Чебишева q1 = 0,5 дБ	Фільтр Чебишева q1 = 1 дБ	Фільтр Чебишева q1 = 2 дБ
B	1,4142	1,4256	1,0977	0,8038
C	1,0000	1,5162	1,1025	0,8231

6. Визначаємо параметри передатної функції другого каскаду

,

,

,

де – коефіцієнт підсилення першого каскаду фільтра. Рекомендується обрати .

7. Обираємо ємність конденсаторів , другого каскаду (у мкФ)

. [мкФ].

8. Визначаємо опір резисторів другого каскаду

,

,

.

Якщо опір резистора виявиться від’ємним, необхідно обрати більшу ємність конденсатора та провести повторний розрахунок опорів.

Приймаємо, що номінальна потужність розсіювання для всіх резисторів фільтру дорівнює 0,125 Вт.

Розрахунок фільтра на базі джерела напруги, що керується напругою

1. Обираємо тип операційних підсилювачів для побудови фільтра. Необхідно, щоб виконувалась умова

,

где –частота одиничного підсилення ОП. Бажано обирати ОП, який має якомога більший коефіцієнт підсилення за напругою та якомога більший вхідний опір.

2. Визначаємо параметри передатної функції першого каскаду

,

,

,

де – коефіцієнт підсилення першого каскаду фільтра, – добротність кожного каскаду. Рекомендується обрати , . Параметри і розраховуються наступним чином

,

,

де і – коефіцієнти, які обираються із табл. 3 у відповідності до заданого типу фільтра.

3. Визначаємо центральну частоту смуги пропускання фільтру

.

4. Обираємо ємність конденсаторів , першого каскаду (у мкФ)

. [мкФ].

5. Визначаємо опір резисторів першого каскаду

,

,

,

.

6. Визначаємо параметри передатної функції другого каскаду

,

,

,

де – коефіцієнт підсилення першого каскаду фільтра. Рекомендується обрати .

7. Обираємо ємність конденсаторів , другого каскаду (у мкФ)

. [мкФ].

8. Визначаємо опір резисторів другого каскаду

,

,

,

.

Приймаємо, що номінальна потужність розсіювання для всіх резисторів фільтру дорівнює 0,125 Вт.