УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1
.pdfТема 3. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
3.1. Уравнение прямой на плоскости
Будем предполагать, что на плоскости задана прямоугольная система ко-
ординат Оху. |
|
|
||
|
|
Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, |
пер- |
|
пендикулярный этой прямой. |
х0 ; у0 и нормальным вектором |
|||
|
|
Уравнение прямой, заданной точкой М 0 |
||
|
|
А; В : |
|
|
п |
|
|
||
|
|
А х х0 В у у0 0 . |
(3.1) |
|
|
|
Общее уравнение прямой: |
|
|
|
|
Ах Ву С 0 , А2 |
В2 0 . |
(3.2) |
Частные случаи общего уравнения прямой:
1) Ах Ву 0 – прямая проходит через начало координат; 2) Ах С 0 С 0 – прямая параллельна оси Оу;
3)Ву С 0 С 0 – прямая параллельна оси Ох;
4)х 0 – уравнение оси Оу;
5)у 0 – уравнение оси Ох.
Уравнение прямой в отрезках:
х |
|
у |
1, |
(3.3) |
|
а |
b |
||||
|
|
|
у
В (0; b)
b
А (а; 0)
0 |
х |
|
|
a |
|
Рис. 9 |
|
где прямая (рис. 9) пересекает ось Ох в точке А (а; 0) и ось Оу в точке В (0; b) (a 0;b 0) .
Направляющим вектором прямой называется любой вектор, параллельный этой прямой.
Уравнение прямой, заданной точкой М 0 х0 ; у0 и направляющим векто-
ром s m; n в координатной форме (каноническое уравнение прямой)
x x0 |
|
y y0 |
. |
(3.4) |
|
|
|||
m |
|
n |
|
71
Параметрические уравнения прямой, |
заданной точкой М 0 х0 ; у0 |
и на- |
|||||||||||
правляющим вектором |
|
m; n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x x0 |
mt, |
t ; . |
|
(3.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y y0 |
nt, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки |
M1 x1; y1 и |
||||||||||||
M 2 x2 ; y2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x x1 |
|
|
y y1 |
. |
|
(3.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
2 |
x |
|
y |
2 |
y |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Уравнение прямой с угловым коэффициентом |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
у kх b , |
|
(3.7) |
где k tg – угловой коэффициент прямой; – угол между прямой и положительным направлением оси Ох; b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oу.
Пусть прямая проходит через точку М 0 х0 ; у0 и ее направление харак-
теризуется угловым коэффициентом k. Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
y y0 |
k x x0 |
. |
(3.8) |
||||
Расстояние от точки М 0 х0 ; у0 до прямой Ах Ву C 0 : |
|
||||||
d |
|
Ax0 By0 С |
|
. |
(3.9) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
A2 B2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 3.1. Дано общее уравнение прямой 15х 5у 60 0. Составить
для этой прямой:
а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках.
Р е ш е н и е а) Разрешив уравнение прямой относительно у, получаем уравнение с уг-
ловым коэффициентом
|
|
у 3х 12, |
здесь k 3, b 12 ; |
|
||||||||||
б) 15x 5y 60 , |
15x |
|
5y |
1, |
x |
|
y |
1, |
x |
|
y |
1. |
||
|
60 |
60 |
60 |
60 |
4 |
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
155
Пр и м е р 3.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
M1 3;1 и M 2 5; 4 .
72
Р е ш е н и е Подставляя координаты точек в (3.6), получаем искомое уравнение прямой
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
y 1 |
|
или 3x 2y 7 0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3.1.1 Задачи для самостоятельного решения |
|||||||||||||
1. Составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору |
|
A; B и |
|||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||
проходящей через точку М 0 х0 ; у0 |
, если: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1; 3 , М 0 |
3; 4 ; б) |
|
|
3; 0 , М 0 4; 5 ; |
|||||||||
а) |
n |
n |
|||||||||||||||
в) |
|
0; 5 , М 0 |
0; 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Составить уравнение прямой, параллельной вектору |
|
m; n и прохо- |
|||||||||||||||
s |
|||||||||||||||||
дящей через точку М 0 х0 ; |
у0 , если: |
а) |
|
|
|
3; 4 , М 0 3; 5 ; б) |
|
5; 0 , |
М 0 3; 4 ; |
s |
s |
||||||
в) |
|
0; 4 , М 0 0; 0 . |
|
||||
s |
|
3. Дана прямая 3х 4у 4 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 2;1 :
а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно к данной прямой.
4.Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 11; 5 и отсекающей на осях координат равные отрезки.
5.Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 4; 3 и отсекающей на оси Оу отрезок, вдвое больший, чем на оси Ох.
6.Составить уравнение прямой, проходящей через две точки M1 x1; y1 ,
М2 х2 ; у2 , если:
3; 4 , М 2 5; 2 ; б) М1 3; 5 , М 2 3; 4 ; в) М1 1; 2 ,
0; 2 .
2 |
|
7. Вершины треугольника АВС находятся в точках А 3; 5 , |
В 4; 1 , |
С 2; 4 .
Требуется:
а) составить уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
б) найти длину высоты, проведенной из вершины С треугольника АВС; в) составить уравнения высот треугольника АВС; г) показать, что высоты пересекаются в одной точке.
73
8.Привести данные уравнения к уравнениям с угловым коэффициентом:
а) 2х 3у 6 ; б) 2х 3у 0; в) 4х 3у 1.
9.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b 3 и образующей с осью Ох угол :
а) 45 ; б) 135 .
3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Пусть у прямых L1 и L2 известны либо: |
|
|
|
|
|||||||
а) направляющие векторы |
|
1 m1 ; |
|
, |
|
|
1 m2 |
; n2 ; |
|||
s |
n1 |
|
s |
||||||||
б) нормальные векторы |
|
1 А1 ; В1 |
, |
|
|
А2 ; В2 |
; |
||||
п |
п2 |
в) угловые коэффициенты k1 и k2 .
Под углом между двумя прямыми понимается любой из двух смежных углов, образованных прямыми при их пересечении 0 .
Угол находится по одной из формул:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1m2 |
n1n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
а) cos |
|
|
|
|
s1 s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
n2 |
m2 |
n |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 |
|
B1 B2 |
|
|
|
|
|
||||||
б) cos |
|
|
|
|
|
n1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
A2 |
B2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||
в) tg |
k2 k1 |
, |
|
|
k k |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k1k2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Условия параллельности прямых L1 || L2 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
n1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) s || s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
B1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
б) n1 |
|| n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) k1 k2 .
Условия перпендикулярности прямых L1 L2
а) s1 s2 s1 s2 0 m1m2 n1n2 0;
б) n1 n2 n1 n2 0 A1 A2 B1 B2 0;
в) k1k2 1.
П р и м е р 3.3. Какие из следующих пар секаются:
а) х 2у 5 0; 4х 8у 16 0;
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
:
(3.16)
(3.17)
(3.18)
прямых параллельны, пере-
74
б) 3х 4 у 0; 6х 8у 5 0; в) 4х 3у 10 0; х у 3 0?
Найдите угол между прямыми из пункта а).
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1; 2 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) Для первой прямой |
х 2 у 5 0 |
|
и |
|
для второй прямой |
|||||||||||||||||||||||||||
п |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4х 8у 16 0 |
и |
|
|
|
2 4; 8 . Проверим условие (3.14): |
1 |
2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
п |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||
Оно выполняется и, значит, прямые параллельны. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
1 3; 4 , |
|
6; 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
п |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Так как условие (3.14) выполняется: |
3 |
|
4 , то прямые параллельны. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
1 4; 3 , |
|
2 1;1 . Так как не выполняется условие (3.14): |
4 |
|
3 |
, то |
||||||||||||||||||||||||
п |
п |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||
прямые пересекаются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Угол между прямыми x 2 y 5 0 |
и 4x 8y 16 0 найдем по формуле |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(3.11): cos |
|
|
|
1( 4 ) ( 2 ) 8 |
|
|
|
20 |
|
1. Значит =1800 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
( 2 )2 |
( 4 )2 82 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.1Задачи для самостоятельного решения
1.Вычислить угол между данными прямыми:
а) х 4у 3 0, 2х 4у 3 0; |
|
||||||||
б) |
х 1 |
|
у 3 |
, |
х 4 |
|
у 4 |
; |
|
|
|
2 |
3 |
|
|||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
в) у 3х 6, у х 8 . |
|
|
|||||||
2. При |
каком |
значении |
параметра |
прямые 5х у 6 0, |
3х 15у 8 0:
а) параллельны; б) перпендикулярны?
3. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х 2 у 0 , 2х 4у 3 0 и одна из его вершин А 2; 5 . Составить уравнения двух других сторон па-
раллелограмма. |
|
4. Даны уравнения двух |
сторон прямоугольника 2х 4у 6 0, |
6х 3у 3 0 и одна из его вершин |
А 1; 4 . |
Требуется:
а) составить уравнение двух других сторон прямоугольника; б) вычислить площадь прямоугольника.
75
5. Найти расстояние между параллельными прямыми:
а) х 2 у 6 0 , 2х 4у 8 0; б) х 1, х 4; в) 2х 3у 0 , 2х 3у 5 0 .
3.3. Уравнение плоскости в пространстве
Будем предполагать, что в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz .
Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор,
перпендикулярный этой плоскости. |
|
|
||
Уравнение плоскости, заданной точкой М х0 ; у0 ; z0 |
и нормальным век- |
|||
тором |
|
A; B; C : |
|
|
n |
|
|
||
|
|
A x x0 B y y0 C z z0 0. |
(3.19) |
|
Общее уравнение плоскости: |
|
|
||
|
|
Ах Вy Сz D 0 A2 B2 C 2 0 . |
(3.20) |
|
Частные случаи общего уравнения плоскости: |
|
|
||
1) Ax Bу Cz 0 – плоскость проходит через начало координат; |
|
|||
2) Ax Bу D 0 – плоскость параллельна оси |
Оz ( Ax Сz D 0 , |
|||
By Cz D 0 – параллельна оси Оу, Ох соответственно); |
|
|
3)Ax Bу 0 – плоскость проходит через ось Oz ( Ax Cz 0, By Cz 0
–через ось Оу и Ох соответственно);
4) Ах D 0 – плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz D 0, By D 0 – параллельна плоскости Oxy и Oxz соответственно);
5)Ах 0 , т. е. х 0 – плоскость совпадает с плоскостью Oyz ( y 0, z 0
–уравнения плоскостей Oxz и Oxy соответственно).
Уравнение плоскости в отрезках
х |
|
у |
|
z |
1. |
(3.21) |
|
а |
b |
c |
|||||
|
|
|
|
Эта плоскость пересекает оси координат в точках А (а, 0, 0), В (0, b, 0) и
С (0, 0, с). |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 x1; y1; z1 , |
|||||||
M 2 x2 ; y2 ; |
z2 , M3 x3 ; y3 ; z3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
= 0. |
(3.22) |
|
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
|
76
Расстояние от точки M 0 x0 ; y0 ; z0 до плоскости Ax By Cz D 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
Ax0 By0 Cz0 D |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.23) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
П р и м е р 3.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 0 2; 3; 4 |
и параллельной векторам |
|
3; 2; 1 и |
|
|
|
0; 3;1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Пусть |
M x; y; z |
– |
|
|
|
|
|
текущая |
точка |
плоскости. |
Тогда |
векторы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2; y 3; z 4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
M 0 М |
|
а, b – |
компланарны. Из условия компланарности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
трех векторов следует, что их смешанное произведение равно нулю: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 3 |
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М0 М a b |
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Вычислив определитель в левой части, получим общее уравнение плоско- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сти 5х 3у 9z 55 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
П р и м е р 3.5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проходящей через точки M1 3; 1; 2 и M 2 1; 2; 5 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Пусть |
M x; y; z |
– |
|
|
|
|
|
текущая |
точка |
плоскости. |
Тогда |
векторы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 3; y 1; z 2 , |
|
4; 3; 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M1М |
M1М 2 |
k (0; 0; 1) |
|
– |
компланарны и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 3 |
|
у 1 |
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
M1M M1M 2 |
k 0. Отсюда следует |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
или 3х 4y 5 0 – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
общее уравнение плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3.1 Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) через точку М 1; 1;1 перпендикулярно к вектору |
|
2; 1; 3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) через точку М 1; 0;1 и ось Ох( Оу; Oz) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) через точку М 1; 2; 2 параллельно плоскости Oxy ( Oyz; Oxz ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) М1 |
2; 0; 0 , М 2 |
0; 4; 0 , М3 0; 0; 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б) М1 |
1; 2; 3 , М 2 4; 5; 8 , М3 5; 8; 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3. Составить уравнение плоскости, |
проходящей через точку М 2; 1; 4 |
параллельно плоскости 12х 3у 5z 10 0.
77
4. Какие отрезки отсекает плоскость 12х 4у 2z 12 0 на осях координат?
5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1 2; 1; 8 ,
М2 2; 1, 8 и отсекающей на осях координат:
а) равные отрезки;
б) на оси Oz отрезок, вдвое больший, чем на осях Ох и Оу.
|
|
|
|
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки |
М1 1; 2; 3 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
М 2 1; 3; 4 перпендикулярно плоскости 2х 4у z 10 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки |
М1 1; 3; 0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
М |
|
4; 4; |
1 |
перпендикулярно плоскости |
|
x |
|
y |
|
|
z |
1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3.4. Взаимное расположение двух плоскостей |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть |
у |
плоскостей |
|
|
Р1 |
|
|
и |
Р2 |
|
|
известны |
нормальные векторы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 А1; В1; С1 |
и |
|
2 А2 ; В2 ; С2 |
|
соответственно. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
п |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Под углом между двумя плоскостями понимается любой из двух смеж- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных двугранных углов, образованных этими плоскостями. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Угол между плоскостями Р1 и Р2 вычисляется по формуле |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 А2 В1 В2 С1С2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
п1 п2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.24) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
1 |
|
п |
2 |
|
|
А2 В2 С 2 |
|
|
А2 |
В2 |
С 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Условие параллельности плоскостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 || |
|
|
2 |
А1 |
|
|
B1 |
|
|
C1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
Р |
2 |
|
n |
n |
|
|
|
(3.25) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
B2 |
|
C2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Условие перпендикулярности плоскостей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Р1 Р2 п1 п2 |
п1 п2 |
0 А1 А2 |
В1В2 |
С1С2 0 . |
(3.26) |
П р и м е р 3.6. Найти величину острого угла между плоскостями:
а) 11х 8у 7z 15 0 и 4х 10у z 2 0 ; б) 2х 3у 4z 4 0 и 5х 2у z 5 0.
Р е ш е н и е а) Воспользуемся формулой (3.24):
|
|
11 4 8 10 7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
cos |
|
|
|
117 |
|
|
|
2 |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
121 64 49 16 100 1 |
234 117 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
78
б) Так как 2 5 3 2 4 1 0, то выполняется условие (3.26) перпендикулярности плоскостей. Следовательно, плоскости взаимно перпендикуляр-
ны и 2 .
П р и м е р 3.7. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости |
|||||||||||||||||||||||
х 2у 2z 5 0 и удаленной от точки M |
3; 4; 2 |
на расстояние d 5 . |
|||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Уравнение искомой плоскости ищем в виде |
x 2y 2z D 0. Найдем |
||||||||||||||||||||||
значение D. Так как точка М удалена от искомой плоскости на расстояние |
|||||||||||||||||||||||
d 5, то |
по |
формуле |
(3.23) 5 |
|
3 2 4 2 2 |
D |
|
или |
5 |
|
|
D 9 |
|
|
, т. е. |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 4 4 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D 9 15, откуда D 24 или D 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким |
образом, |
условию |
задачи |
удовлетворяют |
две |
|
плоскости: |
||||||||||||||||
x 2y 2z 24 0 и x 2y 2z 6 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4.1 Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Найти величину острого угла между плоскостями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) х у 2z 5 0 и 2х 3у z 2 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) 2х 2у z 0 и z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Найти расстояние между параллельными плоскостями: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) х у z 2 0 и 2х 2у 2z 5 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) 2х 3у 6z 14 0 и 2х 3у 6z 42 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
x |
|
|
y |
|
|
7 |
1 и 15х 10у 6z 20 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. При каком значении параметра заданные плоскости:
1) параллельны; 2) перпендикулярны?
а) 4х 6у 3z 15 0, 2х 3у z 10 0; б) 4х 5у 3z 15 0 , 2х 3у z 10 0 .
3.5. Уравнение прямой в пространстве
Общие уравнения прямой (как линии пересечения двух плоскостей):
|
А х В у С z D 0, |
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
(3.27) |
|
А2 х В2 у С2 z D2 0. |
|
Система (3.27) определяет прямую только в том случае, когда коэффициенты А1 , В1 , С1 не пропорциональны коэффициентам А2 , В2 , С2 .
79
Уравнение прямой, заданной точкой М 0 х0 ; у0 ; z0 и направляющим вектором s m; n; p (канонические уравнения прямой):
|
|
|
х х0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
(3.28) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m |
|
n |
|
p |
|
|
Параметрические уравнения прямой, |
заданной точкой |
М 0 х0 ; у0 ; z0 , и |
|||||||
направляющим вектором |
|
m; n; p : |
|
|
|
|
|||
s |
|
|
|
|
x x0 mt, |
|
||
|
|
nt, |
t ; . |
y y0 |
|||
z z |
0 |
pt, |
|
|
|
|
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
М 2 х2 ; у2 ; z2 :
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
||||||
|
|
х |
|
|
у |
|
|||||
х |
2 |
|
у |
2 |
|
z |
2 |
z |
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
(3.29)
М1 х1; у1; z1 и
(3.30)
Расстояние от точки М1 х1; у1; z1 до прямой, заданной |
точкой |
|||||||||||||||||||||
М 0 х0 ; у0 ; z0 |
и направляющим вектором |
|
|
m; n; p : |
|
|||||||||||||||||
s |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
M 0 M |
1 s |
. |
|
|
(3.31) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными точками М1 и |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
М 2 и направляющими векторами s1 и s 2 |
соответственно: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
M1M |
2 s1 s |
2 |
|
. |
(3.32) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
s1 s 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 у 3z 2 0,
П р и м е р 3.8. Общие уравнения прямой преобразо-
2х 2 у z 5 0
вать к каноническому виду; определить величины углов, образованные этой прямой с координатными осями.
Р е ш е н и е Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее на-
правляющий вектор s . В качестве точки, через которую проходит искомая прямая, возьмем точку ее пересечения с какой-либо из координатных плоскостей, например с плоскостью 0ху, уравнение которой z 0 . Тогда для определения абсциссы х и ординаты у этой точки получим систему уравнений
х 2 у 2 0,2х 2 у 5 0.
80