УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1

Значит, существует обратная матрица A 1 .

Найдем ее.

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A

но).

Найдем решение системы (1.12):

Следовательно, обозначив x3 t, t R, получим решение исходной системы уравнений (1.11):

41

Заметим, что формулы (1.14) совпадают с формулами (1.13), что естественно, так как это решения одной и той же системы уравнений (1.11), полученные разными методами.

Анализируя данный пример, можно сделать вывод, что формулы Крамера и матричный метод можно применять для решения систем линейных алгебраических уравнений, для которых r(A) = r(AВ) < n. Алгоритм решения таких систем достаточно прост:

–система «укорачивается» до невырожденной;

–решается по формулам Крамера или матричным способом;

–свободной переменной или переменным (их может быть несколько) придаются произвольные значения t R .

В итоге «неукороченная» система имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (1.7), когда правая часть равна нулю, т. е. b1 b2 ... bm 0. Такая система уравнений называ-

ется однородной. Так как в этом случае матрица А системы и расширенная матрица AВ этой же системы отличаются лишь тем, что в матрице AВ есть дополнительный нулевой столбец, то r(A) = r (AВ), и по теореме Кронекера-Капелли од-

r (A) = r (AВ) = k < n, т. е. когда система имеет бесконечное множество решений. Если однородная система содержит n уравнений с n неизвестными, то она будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда det A 0. Иначе, если det A 0 , то АХ = О и Х = A 1 O O , т. е. если определитель системы не равен нулю, то решение будет единственным – нулевое (тривиальное).

П р и м е р 1.30. Исследовать на совместность и решить систему линейных алгебраических уравнений

42

Следовательно, первое и второе уравнения системы являются линейнонезависимыми, а третье выражается через первые два, поэтому отбросим третье уравнение. Так как отличный от нуля минор состоит из коэффициентов при x1

и x2 , то эти переменные будут базисными, а x3 – свободной. Получим систему из двух уравнений

1.5.4. Метод Гаусса

43

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений как методом обратной матрицы, так и методом Крамера, в случае большого числа уравнений очень трудоемко. Существуют более экономичные методы решения систем линейных уравнений, основанные на предварительном преобразовании расширенной матрицы системы. Одним из таких методов является метод Гаусса, основанный на последовательном исключении неизвестных.

Назовем элементарными преобразованиями системы линейных уравнений

следующие операции:

1)умножение какого-либо уравнения на число, не равное нулю;

2)прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

3)перемена местами двух уравнений в системе.

С помощью таких преобразований каждый раз получается система уравнений, равносильная исходной системе.

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований систему уравнений приводят к равносильной системе треугольного или трапециевидного вида, после чего уже не представляет труда найти решение этой системы.

Итак, пусть задана система (1.7) m линейных уравнений с n неизвестными. Допустим, что a11 0 (если a11 0, то изменим порядок уравнений, вы-

брав первым то уравнение, в котором коэффициент при x1 не равен нулю). Первый шаг: а) делим первое уравнение на a11 , б) умножаем полученное

уравнение на a21 и вычитаем из второго уравнения; затем умножаем его на a31 и вычитаем из третьего уравнения; умножаем его на am1 и вычитаем из m-го уравнения. В результате первого шага переменная x1 будет исключена из всех последующих уравнений, начиная со второго, и система примет вид

Второй шаг: поступаем со вторым, третьим, …, m-ым уравнениями полученной системы точно также, как на первом шаге. В результате второго шага переменная x2 будет исключена из всех последующих уравнений, начиная с

третьего.

44

Продолжая таким образом процесс последовательного исключения переменных, получим равносильную систему треугольного или трапециевидного вида.

Если система имеет треугольный вид

где a11 0, a22(1) 0, ..., ann(n 1) 0 , то из последнего уравнения находим xn , а затем, подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, находим

xn 1 и т.д. В итоге будем иметь единственное решение x1 , x2 , …, xn . В этом

случае ранг матрицы А системы уравнений равен n. Если же система имеет трапециевидный вид

ма уравнений будет неопределенной, т. е. будет иметь бесконечное множество решений, так как она содержит n – k свободных переменных:

ния, будем иметь каждый раз новое решение исходной системы уравнений, т. е. решений будет бесконечное множество. В этом случае ранг матрицы А системы равен k.

Если в результате преобразований получено уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то такая система будет несовместной, т. е. не имеет решения.

45

Следует отметить, что треугольный или трапециевидный вид системы уравнений получается ввиду предположения, что коэффициенты

a11, a22(1) , ..., akk(k 1) отличны от нуля. Если же какой-либо из этих коэффициентов

равен нулю, то система уравнений приобретет треугольный или трапециевидный вид лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных.

В заключение отметим, что метод Гаусса применяется и для однородных систем линейных алгебраических уравнений. В этом случае, если получаем треугольный вид системы уравнений, то она будет иметь единственное (нулевое) решение x1 = x2 = …= xn = 0, если же получаем трапециевидный вид сис-

темы, то будем иметь бесконечное множество решений.

При решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса удобно выписать расширенную матрицу системы и все преобразования выполнять над строками и столбцами расширенной матрицы.

Рассмотрим примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

П р и м е р 1.31. Решить систему уравнений

Получили матрицу А треугольного вида, причем на диагонали элементы отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы А равен 3, ранг расширенной матрицы также равен 3, и по теореме Кронекера-Капелли исходная система совместна, причем имеет единственное решение. Получим это решение.

Согласно последней матрице систему можно записать в виде

46

В итоге получили трапециевидную матрицу А. Если бы последняя строка расширенной матрицы была нулевой, то исходная система уравнений имела бы бесконечное множество решений, но она дает уравнение 0 x4 2 , которое не

имеет решения. Значит, исходная система является несовместной, т. е. не имеет решений.

П р и м е р 1.33. Решить систему уравнений

Р е ш е н и е

48

В итоге получили трапециевидную матрицу. Следовательно, исходная система уравнений неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество решений. Заметим, что ранг матрицы А равен двум.

Соответствующая система уравнений имеет вид

лучать новое решение системы.

Более подробное изложение методов решения систем ЛАУ можно найти в учебной литературе [1–4].

1.6. Задачи и упражнения

Системы линейных алгебраических уравнений

1. Найти ранг матрицы А:

49