MolFiz_2012_v2
.pdfТеорема умножения вероятностей
Пусть имеются две совершенно независимые друг от друга системы. Обозначим wLi и wMk вероятности того, что первая система находится в состоянии Li и вторая система находится в состоянии Mk.
Вероятности wL и wM являются независимыми, если вероятность тогоi , чтоkпервая система находится в состоянии i, не зависит от того, что вторая система находится в состоянии k. Тогда вероятность того, что одновременно первая система находятся в состоянии i, а вторая в состоянии k, равна
wLi Mk wLi wMk
- это соотношение называется законом умножения вероятностей.
41
Теорема умножения вероятностей
В самом деле, пусть мы следим за обеими системами одновременно. Первая система
проводит время tLi=TwLi в состоянии L=Li, а
вторая система из этого времени проводит
время tMk=tLiwMk=TwLiwMk в состоянии M=Mk. Искомая вероятность одновременного
нахождения первой системы в состоянии Li, |
||||
а второй в состоянии Mk равна |
||||
lim |
TwLi wMk |
w w |
, |
|
|
||||
T T |
L M |
|
||
i |
k |
|||
|
|
|||
что и поясняет закон умножения вероятностей.
42
Дискретная величина
L wi Li |
- среднее значение; |
i |
|
L2 wi L2i |
- квадрат среднего |
i |
квадратичного значения; |
wi 1 |
- условие нормировки. |
i |
|
Полезные соотношения
L 
L 
wi Li 
L 
wi Li 
L 
wi 
L 
L 
0,
|
i |
i |
|
i |
|
L L 2 |
wi Li L 2 |
wi L2i |
2Li |
L L 2 |
|
|
i |
|
i |
|
|
L2 2 L L L 2 L2 |
L 2 . |
|
|
||
43
Непрерывная величина
L L dL |
- среднее значение; |
|
|
L2 L2 dL |
- квадрат среднего |
квадратичного значения; |
|
dL 1 |
- условие нормировки. |
|
Полезные соотношения
L 
L 
L 
L 
dL L dL 
L 
dL 
L 
L 
0,
L 
L 
2 
L 
L 
2 dL L2 2L 
L 
L 
2 dL
L2 
2 
L 
L 
L 
2 
L2 
L 
2 .
44
Молекулярная физика
Тема 4:
Элементы статистической физики
45
Содержание
•Микроскопическое состояние.
Макроскопическое состояние.
•Формулы элементарной комбинаторики.
Формула Стирлинга.
•Биноминальное распределение.
Распределения Пуассона и Гаусса.
•Вероятность макросостояния идеального газа, реализуемая посредством различных
микросостояний.
46
Микро- и макросостояния
Микроскопическое состояние идеального газа характеризуется заданием всех координат молекул и всех их скоростей, т.е. в общем случае 6N величинами.
Макроскопическое состояние идеального газа характеризуется заданием термодинамических параметров: давления, температуры, объема и массы.
Поскольку молекулы газа постоянно хаотически движутся, то заданному макросостоянию соответствует большое число микросостояний.
47
Формулы комбинаторики
Факториал целого и положительного числа n определяется формулой
n! 1 2 3 ... |
n |
0! 1 |
В случае больших n>>1 имеет место
формула Стирлинга
n n |
|
|
|
||
|
|
|
|||
n! |
|
|
2 n, |
e 2, 7183 |
|
|
|||||
e |
|
|
|
||
Число сочетаний из n по m<n определяется
формулой |
|
n! |
|
|
|
Cm |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
n |
! |
||||
m! |
n m |
||||
|
|
|
48 |
||
Биноминальное распределение
Бином Ньютона выражается формулой
n
p q n Cnm pmqn m m 0
Если p+q=1 и p, q>0, то бином Ньютона превращается в биноминальное распределение
|
n |
wm Cnm pm 1 p n m , |
wm 1 |
|
m 0 |
Биноминальное распределение соответствует распределению вероятности того, что при n испытаниях рассматриваемое событие (имеющее вероятность p) реализуется m раз.
49
Биноминальное распределение
В случае больших n и m воспользуемся формулой Стирлинга, получим
|
nep m |
1 p |
n |
|
||
wm |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
mq |
|
|
|
|
Дифференцируя это выражение по m и
приравнивая к нулю, получим
mmax np / q np m0
где m0 – соответствует максимуму
биноминального распределения.
50