- •КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
- •Комплексные числа
- •Действия над комплексными числами
- •Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
- •ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •Плоскость комплексного переменного
- •Стереографическая проекция
- •Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей
- •Понятие функции комплексного переменного
- •Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •Связь между аналитическими и гармоническими функциями
- •Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения
- •КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
- •Линейная функция
- •Дробно-линейная функция
- •Степенная функция. Понятие римановой поверхности
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Общая степенная функция
- •Функция Жуковского
- •Тригонометрические функции
- •Общие свойства конформных отображений
- •ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •Интеграл от функции комплексного переменного
- •Интегральная теорема Коши
- •Интегральная формула Коши и ее следствия
функции w = (3 + 2i)z4 не должна содержать внутри себя точек, модули которых совпадают, а аргументы отличаются на 2 , то есть областью однолистности является любой сектор вида
< arg z < + 2 ; где 2 R (в частности, при = 0 получим первую четверть.
2.5.Предел и непрерывность функции комплексного переменного
Введем важное понятие предела функции w = f(z) в точке. Пусть задана точка z0 2 C и положительное число . Проколотой -окрестностью точки z0 называется -окрестность этой точки, за исключением самой точки z0 (т.е. внутренность круга радиуса с центром z0, из которого удален центр z0). Это множество можно записать в виде неравенств: 0 < jz z0j < .
Пусть функция w = f(z) определена в некоторой проколотой окрестности точки z0. Число A называется пределом функции w = f(z) в точке z0, если для любого " > 0 найдется такое > 0 (зависящее от "), что для всех точек проколотой-окрестности точки z0 выполняется неравенство jf(z) Aj < ".
Обозначается lim f(z) = A.
z!z0
Число A называется пределом функции w = f(z) в точке z0, если для любой (сколь угодно малой) окрестности UA точки A найдется такая проколотая окрестность точки z0, что для всех точек z из этой проколотой окрестности соответствующее значение w = f(z) лежит в UA.
В такой форме определение предела охватывает и случаи z = 1 и (или) A = 1; под проколотой окрестностью точки z = 1 понимается множество jzj > R.
Данное определение предела аналогично определению предела для функций действительных переменных. Поэтому такие важные теоремы, как теоремы о пределе суммы, произведения, частного и т.д. сохраняют силу и для функций комплексного
53
переменного. Если z = x + iy и f(z) = u(x; y) + iv(x; y), то равенство lim f(z) = A = a + ib эквивалентно двум равенствам
z!z0 |
lim v(x; y) = b, в которых фигурируют преде- |
lim u(x; y) = a, |
|
x!x0 |
x!x0 |
y!y0 |
y!y0 |
лы действительных функций u(x; y), v(x; y) двух действительных переменных x и y.
Дадим теперь определение предела функции в граничной точке области D (рис. 2.4). Если функция f(z) определена лишь в области D, то для граничной точки z1 не существует проколотой окрестности, в которой заданы значения f(z); в этом заключается отличие от предыдущего случая.
Число A называется пределом функции w = f(z) в граничной точке z1, если для любого " > 0 найдется такое > 0, что для всех точек проколотой -окрестности точки z1, принадлежащих области D, выполняется неравенство jf(z) Aj < ".
На рис. 2.4 указанные точки из D отмечены штриховкой. Перейдем к определению непрерывности функции ком-
плексного переменного.
Функция w = f(z), определенная в окрестности (не проколотой!) точки z0, называется непрерывной в точке z0, если lim f(z) = f(z0).
Непрерывность функции w = f(z) = u(x; y) + iv(x; y) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности двух действительных функций u(x; y) и v(x; y) переменных x и y в точке
(x0; y0).
Функция w = f(z), определенная в области D, называется
непрерывной в этой области, если f(z) непрерывна в каждой
54
точке области D. Функция w = f(z) называется непрерывной в замкнутой области D, если она определена в D и для каждой точки z0 2 D (включая граничные точки) выполнено равенство
lim f(z) = f(z0).
z!z0
Зафиксируем точку z0 и возьмем другую точку z 2 D. Тем самым аргумент изменится на величину
4z = z z0 = 4x + i4y;
называемую приращением аргумента. Соответствующее изменение функции
4w = f(z) f(z0) = f(z0 + 4z) f(z0)
называется приращением функции.
Функция w называется непрерывной в точке z0, если
lim 4w = 0.
4z!0
Пример 2.5. Функция w = |
Im z |
определена для z 6= 0. |
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
z |
Можно ли доопределить ее в точке z = 0 так, чтобы она стала непрерывной в этой точке?
Решение. Выделим действительную и мнимую части
функции w: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Im z |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y(x + iy) |
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
y2 |
|
|
||||||||||||
w = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
x iy |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
x |
+ y |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|
||||||||||||||||||||
Тогда u = |
|
|
|
|
xy |
|
|
, v = |
|
|
|
|
y2 |
|
. Функции u(x; y), v(x; y) непре- |
|||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
рывны в R2 за исключением точки (0; 0). В самом деле, пусть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x; y) ! (0; 0) вдоль прямой y = kx. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
= lim |
|
|
x2k |
|
|
|
|
|
= |
|
|
k |
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
2 |
|
|
2 |
x |
2 |
|
1 + k |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
x!0 x + k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!0 y=kx
55
lim |
|
|
y2 |
|
= lim |
x2k2 |
|
|
= |
k2 |
|
: |
x |
2 |
+ y |
2 |
2 2 |
x |
2 |
1 + k |
2 |
||||
x!0 |
|
|
x!0 x + k |
|
|
|
|
y!0 y=kx
Значит, пределы не существуют, так как их значения зависят от способа стремления точки z к нулю. Следовательно, предел функции w в точке z = 0 не существует, и ее нельзя доопределить в точке z = 0 так, чтобы она стала непрерывной.
Функция w, определенная на множестве D, называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для любого " > 0 существует такое > 0, что для любых z1 2 D, z2 2 D, таких что jz1 z2j < выполняется неравенство jw(z1) w(z2)j < ".
Теорема 2.2 (Кантора). Если функция w непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она и равномерно непрерывна на этом множестве.
Задания для аудиторных занятий к § 2
1. Доказать, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
lim |
|
|
2in + 3 |
= 2i; |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
lim |
2n i |
= 1; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n!1 n 5 + 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
2n + i |
|
|
|
|
||||||||||||||
2) |
lim |
5 7in |
= |
i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
lim |
2n + 5i 1 |
= |
|
2i |
. |
||||||||||||
n |
!1 |
|
3 + 7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
!1 |
|
in + 1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Найти пределы следующих последовательностей: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
= |
|
4n2 + 3n 1 |
|
|
i |
5 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
n |
|
|
|
|
|
3 + n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
z |
n |
= |
5n2 2n + 1 |
|
|
|
i |
n2 |
9n + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
|
|
n3 + 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
|
|
= |
(n + 3)(7 2n) |
+ i |
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
n |
9 11n + 3n2 |
|
p9n2 + 4n + 1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4) |
zn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i 1 + |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
2 |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
4 |
|
|
2n |
|
|
5n + 1 |
|
2n+3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
zn = |
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
3n |
|
|
|
5n |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6) |
zn = arctg |
2n + 1 |
|
+ i3n sin |
|
5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7) |
zn = n2 sin |
n2 |
|
+ in2 |
|
|
1 cos |
n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
8) |
z |
|
= (4n + 1) |
|
sin |
2 |
+ sin |
3 |
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
p3 + n2 + 4n4 |
|||||||||||||||||||||||||
9) |
zn = ln |
n2 5n + 3 |
|
+ i(2n + 1) arctg |
|
|
2 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9n |
|
|||||||||||||||||
10) |
z |
|
|
= |
n2 + 5n 1 |
5n |
+ i arctg |
n2 + 5n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n2 4n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 4 . |
|
||||||||||||||||||||||||||
3. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
2z2 (3 4i)z 6i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z!2i |
|
|
|
|
2z2 + 5iz 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
lim |
|
|
z2 (2 2i)z 2i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z!1 i |
|
|
|
|
z2 2z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) |
lim |
2z2 5iz 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) lim |
|
|
|
ch z |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z!i |
|
|
z2 + 1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z! 2 i |
cos iz |
|
||||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
ez + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
|
|
sin 5z |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
z! i |
|
sin iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z!0 z2 + sh 3z |
|
4. Доказать по определению, что функция w = f(z) непрерывна в точке z0.
1)w = (4i + 1)z + 2 i; z0 = 2i;
2)w = 5iz + 3 2i, z0 = 1 + i;
3)w = iz2 2z, z0 = 1 i;
4)w = 3z2 iz, z0 = 3 + 2i.
5.Определить действительную и мнимую части функции
w = f(z).
57
1)w = 3z2 4iz;
2)w = zz 4Imz + 2Rez;
3)w = z2 5Imz2 + iRez;
4)w = (2 + 3i)z2 5z + 7i;
5)w = (z i)3;
6)w = (3 + 2i)z2 + 5izRez + Imz;
7)w = 2z + 3i; z 2i
8)w = 2zi + z1 z2;
9)w = 3z2 5iRez3 + z;
10)w = 3z3 5z2 + z.
6.Найти образы прямых x = c, y = c, y = x при отображении w = z2.
7.Найти образы прямых x = c, y = c и окружности jzj = r
при отображении w = z1.
8.Найти прообразы линий x = c, y = c при отображении
w = z1.
9.Для отображений w = z + z1 и w = z z1 найти образы
окружностей jzj = r.
10.Для отображения w = z + z1 найти прообразы прямых x = c, y = c.
11.Найти все значения функции w = f(z) в точке z0.
1)w = z2 + iz pz, z0 = i;
z
2) w = zz + iRez pz , z0 = 1.
12. Определить области однолистности функции w = f(z).
1) |
w = z2; |
4) w = |
az + b |
, ad bc 6= 0; |
|||
2) w = z3; |
cz + d |
||||||
5) w = ez; |
|
|
|
||||
3) w = zn; |
6) w = |
1 |
(z + |
|
1 |
). |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
z |
58
13. Функции w = f(z) определены для z 6= 0. Какие из них могут быть доопределены в точке z = 0 так, чтобы они стали
непрерывны в этой точке? |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Rez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
||
1) w = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
3) w = |
Re(z |
; |
||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzj |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zRez |
|
|
||
2) w = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
4) w = |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
jzj |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. Установить, будет ли функция w = f(z) непрерывна, |
|||||||||||||||
равномерно непрерывна в области D. |
|
|
|
|
|||||||||||
1) w = |
|
|
1 |
|
|
|
, D : jzj < 1; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z2 + 6z + 8 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) w = |
|
, |
|
D : jzj |
< 1; j arg zj < |
|
; |
|
|
|
|
||||
1 + z2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
Re(z2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) w = |
|
|
|
|
, |
|
D : 0 < jzj < 2; Re > 1; |
|
|
||||||
|
z |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
j2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) w = |
z + 2 |
|
, D : 1 < jzj < 2; Re < 0; |
|
|
||||||||||
z(1 z) |
|
|
|||||||||||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)w = ez i 1 , D : Re z + Im z < 1.
15.Выведите формулы стереографической проекции, выражающие координаты ( ; ; ) точки P сферы с диаметром 1, касающейся z-плоскости в нулевой точке, через координаты
(x; y) соответствующей точки z. Выразите также x и y через; ; (оси ; предполагаются совпадающими с осями x и y).
16. Выведите формулы соответствия между координатами ( ; ; ) точки P и (x; y) точки z из задачи 14, в случае если сфера Римана имеет радиус 1, а z-плоскость проходит через её центр.
17. Воспользовавшись результатами задачи 14, найдите на |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 i; |
1 ip |
|
|
p |
|
+ i |
|
|||
сфере образы точек: |
1; |
|
1; i; |
3 |
; |
3 |
. |
|||||||
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
59
ИДЗ 2
1. Доказать, что:
1.1. lim |
n i |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n!1 n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.2. lim |
2n i |
= 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n!1 n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
2n 3 + i |
= |
|
2i |
|
|
|
||||||||||||||
1.3. n |
!1 |
in + 1 + i |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
1 ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
= |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.4. n |
!1 |
1 + ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 7ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
= |
|
7 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.5. n |
!1 |
ni + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3n i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
= |
|
3i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.6. n |
!1 |
in + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4ni + 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.7. lim |
|
= 4; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
n!1 |
|
in + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.8. lim |
2n i |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n!1 |
2n + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.9. lim |
5ni + 1 |
= 5i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n!1 n + 5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.10. lim |
n + 3i 1 |
= 1; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n!1 n 3i + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.11. lim |
2n + 3i |
= |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3n i |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
|
3i + 1 n |
= |
|
1 |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||
1.12. n |
|
3n + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
!1 |
2ni 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.13. lim |
|
|
= 2i; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n!1 n + 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
|
5n i + 12 |
= |
|
5i |
; |
||||||||||||||
1.14. n |
|
in + 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
!1 |
7n 4i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.15. lim |
|
= 7; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
n!1 n i + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.16. nlim |
|
ni + 3 |
= |
|
i |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
|
2n + 1 |
2 |
|||||||
!1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1.17. lim |
(n i) |
|
= 1; |
|
|
|
||||
n!1 |
n2 + 1 |
|
|
|
|
|||||
1.18. lim |
2n3 3in2 + 1 |
= 2; |
||||||||
n!1 |
|
|
n3 1 |
|
|
|
|
1.19.lim n2 5in + 4 = 1; n!1 n2 + 4n 5i
1.20.lim 3in + n2 i = 1; n!1 2n2 n 1 2
lim |
5n + 3i in |
|
= 5 |
|
|
i |
|||||||||||||||
1.21. n |
!1 |
n + 5i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||
lim |
|
+ 3in i |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; |
||||||||||||
1.22. n |
!1 |
|
2in2 + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2n3 4in2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
= |
|
2i |
; |
|||||||||||||||||
1.23. n |
!1 |
|
(1 |
|
in)3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
(3n i)2 |
= |
|
3i |
|
|
|
|
|||||||||||||
3in2 + 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.24. n |
!1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
2in2 3n + i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.25. lim |
|
= 2i; |
|
||||||||||||||||||
n!1 n2 + 5in 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.26. lim |
3n 1 i |
|
= 3; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n!1 |
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.27. lim |
5in n i |
= 5 + i; |
|||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
in |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.28. lim |
(in 1) |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.29. lim |
4n 2 i |
|
= 2i; |
|
|
|
|
||||||||||||||
n!1 |
|
3 2in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
5n 3i |
|
= |
|
|
|
|
5i |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2in + 5 |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
1.30. n |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
2. Вычислить:
2.1. lim |
|
2n + 3 |
+ i |
5n + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n 4 |
1 3n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
7n + 3 |
|
|
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.2. lim |
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n!1 |
|
|
3n |
|
|
|
7n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3n + 4 |
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.3. lim |
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n!1 |
|
1 3n |
|
|
1 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.4. n!1 |
4 3n |
|
|
1 2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
5n |
|
1 |
+ i |
6n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 n3 |
|
; |
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5n |
|
2 |
3n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.5. n!1 |
|
|
|
2n2 + 1 |
|
||||||||||||||||||||||
2.6. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n2 + 3n |
1 5n + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n2 4 |
|
+ i1 5n ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7. n!1 |
2n2 |
|
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5n2 + 3 |
; |
|||||||||||||||
|
(1 |
2n)2 |
|
|
+ i4 + 2n |
|
|
|
n2 |
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5n + 2 |
|
|
5n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.8. lim |
|
+ i |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
1 3n2 |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
2n2 + 3n |
|
1 |
|
+ i |
5 4n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3n n3 |
|
|
5n + 4 |
|
|
|||||||||||||||||||
2.9. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n2 + 3n |
|
1 2n + 1 |
; |
|
|||||||||||||||||||||
2.10. n!1 1 + 3n n2 |
|
+ i |
1 + 2n3 |
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
(n + 1)2 |
|
1 |
|
|
+ i |
|
4 8n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 3n2 |
|
|
5n + 3 ; |
|
||||||||||||||||||||
2.11. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
5n2 2n + 3 |
+ i |
15n + 4 |
|
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 3n |
|
||||||||||||||||||||
2.12. n!1 |
|
|
2n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
n 1 |
+ i |
|
|
1 + 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3n2 n + 1 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||
2.13. n!1 |
|
|
n |
|
+ 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.14. n!1 pn2 |
|
|
|
|
|
6n + 5 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
n |
1 |
+ i |
5n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
2.15. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i1 7n!; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 3n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
p4n2 + n |
|
|
1 3n + 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
n2 |
|
|
6n + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
5 4n2 |
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n2 3n |
|
|
(1 2n)2 2 |
|||||||||||||||||||||||||
2.16. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n2 + 1 |
|
|
+ i |
5n + 2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.17. n!1 n2 3n + 5 |
1 n2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18. n!1 |
1 + n + 3n2 |
+ i |
7n + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n2 1 |
|
|
1 7n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.19. nlim |
p |
|
|
|
|
|
2 |
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
!1 |
|
|
1 + n |
|
|
|
|
1 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4n + 7 |
|
|
9n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.20. lim |
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n!1 |
7n 4 |
|
|
9 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
n2 + 4n |
|
5 |
+ i |
|
|
|
|
1 n3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n2 1 |
|
|
(1 + 2n)3 3n ; |
|||||||||||||||||||||||||
2.21. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2.22. n!1 |
2n2 + 1 |
|
|
2n + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 3n2 |
+ i9 2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.23. n!1 |
3n 2 |
|
|
1 3n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
5 |
|
7n |
+ i |
3n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.24. n!1 |
|
n2 |
4n + 1 |
|
|
|
|
|
|
1 2n2 |
; |
|||||||||||||||||||
lim |
(n + 1)(3 2n) |
|
+ i |
7n + 10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.25. n!1 |
2n 1 + ip2n2 + 3n 5 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2n + 1 |
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.26. lim |
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n!1 |
1 n2 |
|
|
1 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.27. n!1 |
8n + 3 |
+ i5 |
5n2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
3n |
|
|
3n |
2n2 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.28. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
8n3 + 1 |
|
|
+ i |
|
|
|
n2 + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 3n n3 |
(1 2n)2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
7n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.29. nlim |
p |
|
2 |
5 |
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
!1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
7 12n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
2.30. lim |
4n + 1 |
+ i |
5n + 6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.1. nlim |
|
|
1 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||
3.2. nlim |
|
|
1 2n + 1 |
|
n+1 |
|
1 n |
|
n+2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3. nlim |
|
|
|
n |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
3 + 2n |
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.4. n!1 |
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
2n |
|
|
1 |
|
|
|
2n + i |
|
|
3n + 4 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.5. nlim |
|
|
n2 |
|
|
1 |
|
n |
i |
|
2n |
|
|
1 |
|
2 n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
5 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
||||||||||||
3.6. nlim |
|
|
1 + 3n + 5 |
|
2 n |
+ i |
|
1 2 |
5 |
3n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|||||||||||
!1 |
1 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||
3.7. nlim |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
1 + n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n 1 |
||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.8. nlim |
|
|
|
2n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
1 n + 2 |
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2n + 7 |
|
n+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.9. n!1 |
|
|
5n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + n |
|
|
|
!; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
6 |
|
|
5n |
|
|
|
2n |
|
|
i |
|
|
n + 1 |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||
3.10. nlim |
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3n+2 |
+ i |
|
1 5n |
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n 3 |
|||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.11. nlim |
|
|
|
|
5n + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3n |
!; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5n + 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
3.12. lim
n!1
3.13. lim
n!1
3.14. lim
n!1
3.15. lim
n!1
3.16. lim
n!1
3.17. lim
n!1
3.18. lim
n!1
3.19. lim
n!1
3.20. lim
n!1
3.21. lim
n!1
3.22. lim
n!1
3.23. lim
n!1
3.24. lim
n!1
1 + 2n |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
i |
|
2 + 3n |
|
!; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n+3 |
|
|
5 + 3n |
|
1+n |
|||||||||||||
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
n+1 |
+ i |
|
|
|
|
n n |
1 |
|
|
|
|
|
|
!; |
||||||||||||
4 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||
3 + 2n |
|
1 n |
+ i 1 |
2n + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5n+1 |
|||||||||||
2n + 4 |
|
|
|
|
|
4n + 1 |
|
!; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
2n 1 |
|
|
n + i |
4n |
1 |
|
|
|
|
2n |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|
|||||||||||
5 |
3n |
|
|
|
i |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 3n |
|
|
n |
|
|
3n + 4 |
|
2n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|||||||
3n + 2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3n 4 |
|
|
2n |
+ i |
n + 5 |
|
|
|
3n+4 |
|
|
|||||||||||||||||
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3n + 2 |
|
!; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ i 1 + |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2n |
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3n |
|||||||||
2n + 1 |
|
|
|
|
+ i 3n3+ 2 |
|
|
|
!; |
|
|||||||||||||||||||
|
2n + 5 |
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|||||||||
n + 1 |
|
|
|
|
+ i |
n + 1 |
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
2n 3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|||||||||
|
2n2n 5 |
|
|
5n |
+ i n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
1 2n |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||
2n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
3n + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2n |
|
|
3n 2 + i |
3n |
|
|
4 |
|
|
2n 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||
2n |
|
|
|
|
|
|
|
3n + 1 |
|||||||||||||||||||||
|
2n 4 |
|
|
1 4n + i |
3n |
|
|
7 |
|
|
4n |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
||||||||||||||||||
7 |
3n |
|
|
2n |
+ i |
4n + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 3n |
|
|
4n |
3 |
|
|
|
1 3n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64
3.25. nlim |
|
|
|
3 + 5n |
|
|
|
|
|
i |
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + 5n |
2n |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2n+3 |
||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
3n3n |
|
|
|
3 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||||||
3.26. nlim |
|
|
|
7 |
|
|
|
+ i |
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
5n |
|||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
!; |
||||||||||||||||||||||
3.27. nlim |
|
|
|
7n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 + 3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7n + 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+3 |
|||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
5n+2 |
+ i |
|
1 n |
|
|
|
|
|
3n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.28. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.29. nlim |
|
|
|
5n5+ 2 |
|
|
|
|
i 3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2n |
|
|
3n |
|
|
|
n+2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.30. nlim |
|
|
|
1 |
7n |
|
|
|
|
|
+ i |
|
3n + 8 |
|
|
|
|
|
!. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 7n |
n+1 |
|
|
|
|
|
3n + 7 |
|
|
|
2n+9 |
||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.1. lim |
|
n2 sin |
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
n + 5 |
|
|
n ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.2. n!1 |
|
|
1 cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+ in sin |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
n |
+ in sin 2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.3. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n2 + 3n + 1 |
|||||||||||||
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n sin n |
+ i |
|
|
|
|
|
n2 1 |
||||||||||||||||||||||||
4.4. n!1 |
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4.5. nlim |
|
n2 |
|
1 cos n |
|
|
+ i |
|
3n + 5 |
|
|
|
|
|
!; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
3n + 1 |
|
2n |
||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.6. n!1 2n |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
tg n2 + in3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
n sin |
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4.7. n!1 |
|
|
|
|
n n3 + 5n2 + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
4.8. nlim |
ctg 5n sin 7n + i |
|
n + 5 |
|
|
|
!; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
2n |
|
|
|||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.9. n!1 3n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ i |
(2n + 1)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
tg n |
|
sin n |
5n2 + 1 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.10. n!1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
n |
|
|
|
|
sin |
3 |
|
+ sin |
5 |
|
|
|
+ 5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i5n + 4 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4.11. n!1 |
(2n + 3) |
sin n + sin 5n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
||||||||
|
n2 sin2 |
n + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4.12. nlim |
|
n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.13. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
+ i |
n2 + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
tg n |
|
sin n |
|
5 3n2 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.14. n!1 |
3n |
2 |
tg |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5n2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2n + i |
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4.15. n!1 |
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
2n |
|
1 |
|
|
|
|
+ i ln |
5n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4.16. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n3 |
1 cos n2 + i ln 4n2 + 3 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
4.17. n!1 |
arctg pn2 |
+ 3n + 1 |
+ in sin 3n + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.18. n!1 |
|
n |
|
|
sin 3n3 |
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
p3n2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
1 cos n |
+ in tg 7n ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.19. n!1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3n2 + 2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
arctg |
|
|
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
+ in sin 2n ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.20. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
sin |
|
|
2 |
+ i ln |
n2 5n + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
4n2 + 3n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.21. n!1 |
4n arctg 7n + i |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n2 + 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4.22. nlim |
|
|
|
|
2n + 5 |
|
!; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 3 |
|
1 2n |
|
|
|||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
|
lim |
|
|
n2 |
|
|
tg |
|
9 |
|
|
+ i |
|
3n2 + 4n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4.23. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
p3 3 + 5n2 + 7n6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
(5n + 3) arcsin |
4 |
+ i |
|
|
|
1 5n3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4.24. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 4n3 + n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.25. nlim |
|
|
ctg |
|
2 |
|
|
|
sin |
1 |
|
+ i |
3n + 1 7+2n |
!; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3n |
|
7n |
3n + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.26. nlim |
|
|
n |
|
sin |
5 |
|
|
sin |
9 |
|
|
|
|
+ 5i |
n2 + 1 |
!; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
5 + 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
lim |
|
(9n |
|
|
1) |
|
|
|
sin |
|
4 |
|
|
|
+ sin |
|
|
3 |
|
|
+ i arctg |
100n + 11 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
11n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.27. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n2 + 3n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
5+7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
|
n sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4.28. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.29. n!1 |
arctg p15n5 + 3n3 + 5n + in sin 2n + 11 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n + 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
7n |
|
tg n sin n + i12n2 + 8n + 4 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.30. n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5.1. lim |
|
|
2z2 + 5iz 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7. lim |
eiz i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z! i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z! 2 |
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5.2. lim |
|
|
sin 3z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z2 + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limi |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z!0 z2 + 9iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e z + i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
2 |
|
3iz |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2z2 + (4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
! |
2i |
1)z |
2i |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.4. |
|
|
|
e2iz + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.9. z!i |
|
|
|
|
|
e z + 1 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.10. lim |
|
|
sin 3z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
e z + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
! |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z! eiz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.5. lim |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z!0 sh iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.11. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
i |
|
3z |
+ iz + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
5.6. lim |
z2 iz + 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z!3i |
|
z2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
5.12. |
lim |
|
|
|
|
|
|
3z2 iz + 2 |
|
; |
|
|
|
|
5.22. lim |
|
|
|
|
|
z2 + 9 |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6z2 + 7iz 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z! |
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z!3i z |
|
|
|
|
|
5iz + 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3iz + 4 |
|
|
||||||||||||||||
5.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 4 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
5.23. |
|
lim |
|
|
z |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z! 2i 2 3iz 4z |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2z2 + 5iz 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e z + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.24. lim |
|
|
|
|
e |
|
|
+ 1 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5.14. lim |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z! i |
|
|
|
|
z + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z!i z |
|
2 3iz 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
z |
|
|
|
4iz + 2i |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5.15. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.25. z |
! |
2i |
z |
2 |
|
|
|
|
|
3iz |
|
2 |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.26. z lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
sin |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
z + 3 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5.16. z!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 2 |
3z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 +(2i |
|
|
|
4)z+3 |
|
|
4i |
lim |
e |
|
|
|
1 3z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.17. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;5.27. z!0 |
|
|
sin(z2) |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3z |
+(2i 6)z+2i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z!2 i |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
3iz + 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 2z |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
5.28. z |
! |
i z |
2 |
|
|
|
|
|
4iz + 3; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5.18. z!1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
5.29. lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z+1 |
|
3; |
z |
! |
i |
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(3+4i)z+9i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.19. z!3+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(4+i)z+1 2i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.30. |
|
lim |
2z |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
iz + 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
! |
2+i |
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
2z |
|
2i+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.20. z!2i |
|
|
|
|
|
|
z2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5.21. |
lim |
|
|
|
z2 2(1 i)z 2i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z!1 i |
|
|
|
|
|
z2 z + 1 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Доказать, используя определение, что функция w = f(z) непрерывна в точке z0:
6.1.w = (3i 1)z + 5 2i, z0 = 1 i;
6.2.w = (5 + 2i)z i + 1, z0 = 3 2i;
6.3.w = (3 2i)z + 5 2i, z0 = 4 i;
6.4.w = (4 + 2i)z 7i + 1, z0 = 3 + 2i;
6.5.w = (7 3i)z + 5i, z0 = 4i 1;
6.6.w = 3i + 2 (2i + 1)z, z0 = 3i;
6.7.w = (3i + 2)z 2i, z0 = 1 + i;
6.8.w = (4 2i)z + 3i, z0 = 1 + 2i;
6.9.w = (4 + 2i)z i + 1, z0 = 3i 1;
68
3z
6.10. w = 2z + 1, z0 = i;
2i + z
6.11. w = iz 2, z0 = i;
6.12. w = 3z2 iz, z0 = i;
6.13. w = z2, z0 = 2 i;
6.14. w = 2z2 + 3, z0 = 2i;
6.15. w = z2 iz, z0 = 3 + i; 6.16. w = 2z2 + iz, z0 = 2 i;
1 + iz
6.17. w = i + z , z0 = 3i;
2i
6.18. w = z 3i, z0 = 5i;
1
6.19. w = z + z , z0 = i;
3i
6.20. w = iz + 1, z0 = 2i;
z i
6.22. w = 2z + 1, z0 = 1 i;
1
6.23. w = z z , z0 = 2i;
4z i
6.24. w = z 2i, z0 = i;
1 iz
6.25. w = 1 + iz , z0 = 1 i;
i 3z
6.26. w = 3i + z , z0 = i;
z i
6.27. w = iz + 3, z0 = i;
1 + 3z
6.28. w = 1 z , z0 = i;
6.29. w = iz2 3z+i, z0 = 2i;
1 3i
6.30. w = z + 3i, z0 = i.
6.21.w = 3z2 + iz, z0 = 1 + i;
7.Найти действительную и мнимую части функции:
7.1. w = 2i z + iz2; |
7.14. w = |
2z i |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.2. w = (3z i) |
|
|
|
7.15. w = iz |
2 |
+ (5z + 3) Im z; |
|||||||||||||||||||||||
7.3. w = 2z3 |
|
4z2 + 1; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.4. w = 3z2 Im z2 + ijzj; |
7.16. w = |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7.5. w = z |
|
Im z2 |
|
2z + i; |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.17. w = |
z |
|
|
|
i |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
7.6. w = (i 2)jzj + Im z3; |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7.7. w = z2 + 7z + 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7.8. w = z |
|
|
(3i + 1)z Re z; |
7.18. w = (3z + 2) Re z z |
|||||||||||||||||||||||||
z |
|
7.19. w = (2i |
|
1)z2 + 3z |
|
i; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.9. w = (5+3i)z2 (4 i)z+2i; |
7.20. w = z Im z + 2z2; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7.10. w = (2+i)z |
3z+5i Re z; |
|
w = |
2z + 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7.11. w = 3iz2 4z Re z + iz; |
7.21. |
|
i + z |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7.12. w = |
|
3 2z |
|
+ Im z; |
|
1 + z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z |
z |
7.22. w = |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7.13. w = z |
|
(3z 2) Im z; |
|
|
1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.23. w = 4i + iz z |
|
|
|
|
69
7.24. w = |
2i + z |
; |
|
7.28. w = z3 3iz2 z; |
|
|
|
|||||||
iz |
2 2 |
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
7.29. w = 2z |
|
z2 + i Im |
|
||||||||
|
2 |
; |
z |
z |
||||||||||
7.25. w = 3z |
+ 2z + z Re z |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
+ 2z. |
|||||
7.30. w = 3z |
z Im z |
7.26.w = z Re z3 2iz2;
7.27.w = 3z2 + iz Im z2;
|
|
|
|
|
|
Решение типового варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
3n 2 + 7i |
= |
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пример 1. |
Доказать, что n!1 |
|
in + i 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Воспользуемся определением предела последо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательности zn: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
nlim!1 zn = a , 8" > 0 |
9N" 2 N : 8n > N" ) jzn aj < ": |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оценим выражение jzn aj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3n 2 + 7i |
|
|
|
( 3i) = |
|
3n 2 + 7i + 3i2n + 3i2 6i |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
in + i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in + i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 + i |
|
|
|
|
|
|
|
откуда j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
= |
in+i 2 |
= |
jin+i 2j |
<"; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
, |
|
|
|
26 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
26 4"2 |
, |
|
|
|
26 4"2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
"2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
"2 |
|
|
||||||||||||||
|
(n+1)2 + 4 > |
|
|
|
|
|
(n+1)2 > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
" |
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
# 2 N |
|
8 |
|
|
|
" ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
" > 0 |
|
|
N = |
|
|
p26 4"2 |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
n > N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
3n 2 + 7i |
|
( |
|
3i) < "; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
in + i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
3n |
|
2 + 7i |
|
|
|
3i: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
значит, действительно n |
|
|
|
in + i |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
2 |
4n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 |
. |
|||||||||||||
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
3n |
|
|
+ i |
(n+2) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 3n 2n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислить n!1 |
|
|
|
|
|
4+7n2 |
|
70
Решение. Воспользуемся соотношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim zn = |
|
|
lim xn |
+ i |
lim yn; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где zn = xn + iyn. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n2 4n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2(3 n4 + |
3 |
) |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim xn = lim |
|
|
= lim |
|
n2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
n!1 10 3n 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n2(n2 |
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n4 + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= nlim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
3 |
2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
!1 n2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim yn |
= lim |
|
(n + 2) |
|
|
|
9 |
= lim |
|
|
|
+ 4n 5 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
n!1 |
|
4 + 7n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
4 + 7n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2(1 + n4 |
5 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + n4 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
n2 |
|
|
= lim |
|
|
n2 |
= |
: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
+ 7) |
|
|
|
|
|
4 |
|
+ 7 |
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n!1 |
|
n2( |
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значит nlim zn = nlim xn + i nlim yn = |
|
|
+ |
|
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5+2n |
!. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3+2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
+i |
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7+2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. Вычислить n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Воспользуемся вторым замечательным преде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
1 + |
|
|
|
|
= e: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
лом: n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
3 + 2n |
|
|
|
3n+1 |
+ i |
|
|
|
|
n2 2 |
|
|
|
5+2n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
7 + 2n |
|
|
|
|
|
|
n2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
3 + 2n |
|
|
3n+1 |
+ i lim |
n2 2 |
|
|
|
|
5+2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 7 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
3 + 2n |
|
3n+1 |
= lim |
|
1 + |
|
3 + 2n |
|
1 |
|
3n+1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 + 2n 7 2n |
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 + 2n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
7 + 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7+2n |
! |
4 (1 3n) |
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 + 2n |
|
|
|
|
|
7+2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12n 4 |
|
|
|
|||||||||
= lim |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
12 4=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim e 7+2n |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
12n 4 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= e6: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= en!1 |
7+2n |
= en!1 |
|
7=n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
n2 2 |
|
|
5+2n = lim |
|
1 + |
n2 2 |
|
|
|
1 |
|
|
5+2n = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
0 |
|
n2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
20 8n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= nlim |
|
1+ n2 +2 |
|
|
|
|
|
=nlim |
|
|
|
1+ n2 +2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5+2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
n +2 |
|
|
|
n2+2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
A |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
20 |
8n |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
20 8n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim e n +2 |
|
= en!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n!1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
20=n |
|
8=n |
|
|
= e0 = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= en!1 |
|
|
1+2=n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Значит, n!1 |
|
7 + 2n |
|
3n+1 |
|
|
|
|
+ 2 |
5+2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
3 + 2n |
|
|
+ i |
|
n2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
= e6 + i: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 4. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
n!1 arctg p2 + 3n2 + n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i(2n + 3) arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. Вычислим пределы действительной и мнимой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
части последовательности fzng. |
|
|
|
|
|
|
n2 + 2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
nlim Re(zn) = nlim arctg |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 + 3n |
2 |
+ n |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так как |
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 2n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
1 + 2 + |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 p2 + 3n2 + n3 |
|
|
|
n!1 n3=2 |
2 |
|
+ |
3 |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n1=2 |
|
1 + n2 + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
2 |
|
+ 3 + 1 |
|
|
|
1 |
|
|
и |
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
lim arctg n = |
: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim Im(zn) = |
|
|
lim (2n + 3) arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
Выполним |
|
|
замену 5n + 1 = |
1 |
; |
тогда |
n = |
1 |
t |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
5t |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 + 13t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2n + 3 = |
|
|
|
, |
|
t ! 0 |
|
при |
|
n ! 1 и воспользуемся экви- |
|||||||||||||||||||||
|
5t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
валентностями: arcsin t t при t ! 0, получим: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
nlim (2n + 3) arcsin |
3 |
|
|
|
lim |
arcsin 3t |
|
|
(2 + 13t) = |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5n + 1 = t |
! |
0 |
|
|
|
5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= lim |
|
3t(2 + 13t) |
|
= lim |
|
3 |
(2 + 13t) = |
6 |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5t |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
t!0 |
|
|
|
|
t!0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значит nlim fzng = |
|
+ |
|
|
i: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z2 5iz + 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 5. Вычислить lim |
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z!3i 3z2 14iz 15 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Подставляя z |
= 3i |
в выражение, стоящее под |
знаком предела, убедимся, что числитель и знаменатель обра-
щаются в нуль, т.е. имеем неопределенность вида |
0 |
: |
|
|||||||||||||||||||||||
жим числитель и знаменатель на множители: |
|
0 |
|
Разло- |
||||||||||||||||||||||
2z2 5iz + 3 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D = ( 5i)2 4 2 3 = 25 24 = 49; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z |
|
= |
5i 7i |
= |
|
0; 5i; z |
|
|
= |
5i + 7i |
= 3i; |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
значит, 2z2 5iz + 3 = 2(z + 0; 5i)(z 3i) = (2z + i)(z 3i): |
||||||||||||||||||||||||||
3z2 14iz 15 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D = ( 14i)2 4 3 ( 15) = 196 + 180 = 16; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z1 |
= |
14i 4i |
= |
5i |
; z2 = |
|
14i + 4i |
= 3i; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда 3z2 14iz 15 = (3z 5i)(z 3i): Получим: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
2z2 5iz + 3 |
= lim |
(2z + i)(z 3i) |
|
= |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3z2 14iz 15 |
(3z 5i)(z 3i) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
z!3i |
|
|
|
z!3i |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= lim |
2z + i |
|
= |
2 3i + i |
= |
7 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3z 5i |
3 3i 5i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z!3i |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример |
|
6. Доказать, |
|
используя |
определение, что |
w = (3 + 5i)z 2i непрерывная в точке z0 = 1 + 2i функция.
73
Решение. Если функция w = f(z) непрерывна в точке z0,
то существует lim f(z) = f(z0). Вычислим значение функции
z!z0
в точке z0 = 1 + 2i:
w( 1 + 2i) = (3 + 5i)( 1 + 2i) 2i = 13 i; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то есть достаточно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
lim |
|
((3 + 5i)z |
|
|
2i) = |
|
13 |
|
i: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
! |
1+2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оценим разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
j(3 + 5i)z 2i ( 13 i)j = j(3 + 5i)z + 13 ij = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 13 |
|
|
= p |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= 3 + 5i |
|
z |
|
|
34 |
z |
( 1 + 2i) |
< "; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
j |
|
|
|
j |
|
|
3 + 5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
: Таким образом, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
j |
z |
|
( |
1 + 2i) |
j |
< |
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
" > 0 (") = |
p" |
> 0; |
8 |
z : 0 < z |
|
( |
|
1 + 2i) |
< |
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
) j(3 + 5i)z 2i ( 13 i)j < ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
((3 + 5i)z |
|
2i) = |
|
13 |
i: |
|
|
|||||||||||||||||||
Значит, действительно z!1+2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 7. Отделить действительную и мнимую части для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции w = (4 + 3i)z2 (5 + 3i) |
|
+ ijzj2 Im(z2). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Запишем число |
|
z в |
|
алгебраической |
|
форме: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = x + iy, |
|
= x iy, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
w = (4+3i)(x+iy)2 (5+3i)(x iy)+i(x2 +y2) Im |
|
(x + iy)2 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= (4 + 3i)(x |
2 |
+ 2ixy |
|
2 |
) (5x + 3ix 5iy + 3y) |
+ i(x2 |
|
+ y2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Im(x2 + 2ixy y2) = 4x2 + 3x2i + 8xyi 6xy 4y2 3y2i 5x3xi + 5yi 3y x2i y2i 2xy = (4x2 8xy 4y2 5x 3y)+ +i(2x2 + 8xy 4y2 3x + 5y); значит,
u(x; y) = Re w(z) = 4x2 8xy 4y2 5x 3y,
v(x; y) = Im w(z) = 2x2 + 8xy 4y2 3x + 5y:
74