![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Дифференциальные уравнения(д.У.) первого порядка. Общее и частное решение д.У. Задача Коши.
- •2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения (д.У.) первого порядка.
- •2.Однородные ду
- •5.Ду высшихпорядков: постановка задачи Коши, теорема сущ-ния и един-ти решения задачи Коши.
- •8.Линейная зависимость,независимость ф-ий. Определитель вронского.
- •9.Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэф-тами. Характеристическое ур-е Зависимость общего решения от корней характер-го ук-я.
- •12Линейные однородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами
- •13.Линейные неоднородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы со специальной правой частью.
- •15 Устойчивость по Ляпунову
- •16 Устойчивость по первому приближению
- •19.Предел и непрерывность функций комплексной переменной.
- •22.Элеменарные функции комплексной переменной.
- •25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.
- •26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости
- •27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора
- •28. Нули аналитических функций. И их классификация.
- •29. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.
- •32. Вычет аналитических функций.
- •35.Классификац.Ур. Матфизики.
- •42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.
- •44. Формулы обращения преобразования Лапласа.
- •45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.
- •46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.
- •47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.
- •48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.
44. Формулы обращения преобразования Лапласа.
1.
Изображением ф-ции
f(t)
(по Лапласу) наз. ф-ия f(t)
комплексного переменного p=s+iδ,
определяемая равенством: F(p)
=
f(t)
dt
, которое ставит в соответствие оригиналу
f(t)
его изображение F(p)
и называется преобразованием Лапласа.
2.
Линейность.
Для любых комплексных постоянных α и β
имеет место αf(t)
+ βg(t)
αF(p)
+ βG(p),
т.е. линейной комбинации оригиналов
соответствует линейная такая же
комбинация изображений. 2.
Подобие.
Для любого α>0 имеет место f(αt)
F(
), т.е. умножение аргумента на положительное
числоα
приводит к делению изображения аргумента
на это число.
3. Дифференцирование оригинала.
Если f
’(t),
f
‘’(t),…,
t)
– оригиналы и f
(t),
f
‘(t),…,
t)
– непрерывны, то: f
’(t)
p∙F(p)-f(0);
f
‘’(t)
F(p)-pf(0)-f
’(0);
t)
F(p)
-
f(0)
-…-
0).
4.Дифференцирование
изображения.
Дифференцированию изображения
соответствует умножение его оригинала
на (–t),
т.е. F
’(p)
–t∙f(t);
(p)
=
∙
∙f(t).
5.
Интегрирование оригинала.
f(τ)dτ
,
т.е. интегрированию оригинала от 0 доt
соответствует деление его изображения
на p.
6.
Интегрирование изображения.
Если
F(z)dz
сходится, то
F(z)dz
, т.е. интегрированию изображения отp
до
соответствует деление его оригинала
наt.
7.
Запаздывание.
Для любого τ
>0 имеем f(t-τ)
F(p),
т.е. запаздывание оригинала на положительную
величину τ
приводит к умножению изображения без
запаздывания на
.
8.
Умножение изображений.
F(p)∙G(p)
f(τ)
g(t-
τ)dτ.
9.
Умножение оригиналов.
f(t)
∙ g(t)
F(z)
G(p-z)dz
, гдк путь интегрирования – вертикальная
прямая Re
z
=
.10.
Т1.
Если ф-я F(p)
в окрестности точки p=
может быть представлена в виде ряда
Лорана: F(p)=
=
+
+…, то ф-яf(t)=
∙
=
+
t
+…(t
> 0) является оригиналом, имеющим
изображение F(p),
т.е. F(p)=
∙
=f(t).
11.
Т2.
Если F(p)=А(р)/B(р)
– правильная рациональная дробь,
знаменатель которой В(р) имеет простые
корни
,
,
… ,
, то ф-ияf(t)
=
[(A(
)/B’(
))
∙exp(
)]
явл. Оригиналом, имеющим изображениеF(p),
а F(p)
= (А(р)/B(р))
Res[F(
)exp(
)]
=f(t).
45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.
Т1.
Если ф-я F(p)
в окрестности точки p=
может быть представлена в виде ряда
Лорана:
F(p)=
=
+
+…, то ф-яf(t)=
∙
=
+
t
+…(t
> 0) является оригиналом, имеющим
изображение F(p),
т.е. F(p)=
∙
=f(t).
Док-во:
Ряд
сходится в некоторой окрестности
бесконечно удалённой точки, т.е. существуетR,
что этот ряд сходится при |p|
> R.
Тогда ряд
∙
= Ψ(z)
сходится при |z|
< 1/R.
Пусть
< 1/R.
Ряд для Ψ(z)
сходится в замкнутом круге |z|
<
, сумма его непрерывна в этом круге и
поэтому ограничена: |Ψ(z)|
< M.
Используя оценки Коши коэффициентов
ряда Тейлора |
|
<M/
)
и предполагая, что 0 <t
<
,
получаем
∙
|
< (M/
)
∙
/
)
= (M/
)
∙exp(
).
Следовательно, ряд дляf(t)
сходится при 0 < t
<
и ф-ияf(t)
является оригиналом. Применяя
n!/
,
получимf(t)
=
∙
.
Т2.
Если F(p)=А(р)/B(р)
– правильная рациональная дробь,
знаменатель которой В(р) имеет простые
корни
,
,
… ,
, то ф-ияf(t)
=
[(A(
)/B’(
))
∙exp(
)]
явл. Оригиналом, имеющим изображениеF(p),
а F(p)
= (А(р)/B(р))
Res[F(
)exp(
)]
=f(t).