![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Принципы составления дифференциальных уравнений.
- •1.Принципы составления дифференциальных уравнений.
- •3 Теорема существования решения задачи Коши дифф ур первого порядка.
- •2.Уравнение первого порядка. Общие вопросы уравнения первого порядка.
- •4.Простейшие дифф уравнения 1-го порядка
- •5 .Уравнение с разделяющими переменными
- •5 .Уравнение с разделяющими переменными
- •2.Уравнение первого порядка. Общие вопросы уравнения первого порядка.
- •3 Теорема существования решения задачи Коши дифф ур первого порядка.
- •4.Простейшие дифф уравнения 1-го порядка
4.Простейшие дифф уравнения 1-го порядка
Общим
решением уравнения (1) в области Д
называется функция
,
зависящую от одной производной постоянной
С и удовл. Следующим условиям:
1)одна
удовл.уравнению (1) при
допустимых значениях постоянной С.
2)каковы
бы ни были нач данные (2) всегда найдётся
значение С0
постоянной
С такое, что решение
удовл.этим нач данным, т.е.
Всякое
решение
получаемое из общего решения
при конкретном значении с=с0
наз
частным
решением уравнения (1).
Неявное задание общего решения f(x,y,c)=0, где С произвольная const наз общим интегральным уравнением (1)
Соотношение, которое получ из общего интеграла на конкретном значении С наз частным интегралом уравнения (1)
5 .Уравнение с разделяющими переменными
Дифф
уравнения 1-го порядка вида
называется дифф уравнением с разделёнными
переменными.
Для его разрешения достаточно проинтегрировать неравенство (1)
Т.о. (2)есть общий интеграл уравнения (1).
Уравнение вида:
Называется уравнением с разделяющимися переменными. Для его разрешения разделим неравенство (3) на произведение.
получим:
Кот относится к классу уравнений с разделяющимися переменными, т.е. к классу уравнений вида (1), а значит выражение:
есть
общий интеграл уравнения (3).
Заметим,
что при делении уравнения на произведение
могут быть потеряны решения при кот
это произведение обращается в 0. Такие
решения если будут, то будут особыми.
Значит,
чтобы найти особые решения уравнения
(3) необходимо прировнять произведение
к 0, т.е.
и проверить является ли корни уравнения
решения для уравнения (3).
5 .Уравнение с разделяющими переменными
Дифф
уравнения 1-го порядка вида
называется дифф уравнением с разделёнными
переменными.
Для его разрешения достаточно проинтегрировать неравенство (1)
Т.о. (2)есть общий интеграл уравнения (1).
Уравнение вида:
Называется уравнением с разделяющимися переменными. Для его разрешения разделим неравенство (3) на произведение.
получим:
Кот относится к классу уравнений с разделяющимися переменными, т.е. к классу уравнений вида (1), а значит выражение:
есть
общий интеграл уравнения (3).
Заметим,
что при делении уравнения на произведение
могут быть потеряны решения при кот
это произведение обращается в 0. Такие
решения если будут, то будут особыми.
Значит,
чтобы найти особые решения уравнения
(3) необходимо прировнять произведение
к 0, т.е.
и проверить является ли корни уравнения
решения для уравнения (3).
2.Уравнение первого порядка. Общие вопросы уравнения первого порядка.
Дифф. уравнением наз. равенство, связывающее независимую переменную x и зависимую переменную y с её производной.
Порядок самой старшей производной входящей в задание этого уравнения наз.порядком этого уравнения.
Рассмотрим обыкновенные дифф.уравнения 1-го порядка вида (1):
где
F-заданная
функция аргументов, F
может определить не при всех значениях
своих аргументов. Поэтому будем говорить
об области определения функции F,
D
как область задания уравнения (1)’.
Иногда (1)’ удаётся выразить производную y’ через независимую переменную x и зависимую переменную y, то есть получим уравнение вида:
Это также уравнение первого порядка (обыкновенное) уравнение (1) называется уравнением относительно производной.
Уравнение (1)’ –уравнение не разрешено относительно системы производной.
Решением
уравнения (1)’ будем называть всякую
функцию y=y(x)
определена на числовом промежутке
которые при постановке в уравнении
(1)’ обращает его тождество на интервале
промежутка
.
Промежуток
наз.промежутком опред.решенияy(x).
Следует
отличить, что подстановка функции y
в (1)’ возможна в том случае, если, когда
y(x)
имеет первую производную на всем
интервале, а также при
.
Для
описания геометрического смысла решения
уравнения
разрешенной относительно производной
(1) рассмотрим координатную плоскостьOxy.
Функция f может быть определена не во всей плоскости Oxy, а только в некоторой её части – области D.
Относительно
D
будем считать, что это открытая область,
на которой сама функция f
и её частное
непрерывны тогда решениеy=y(x)
в области D
опред.некоторую кривую.
РИСУНОК!!!
Эта
кривая в каждой точке области D
имеет касательную
;tg
угла которой равен значению f
в этой точке, значит данная кривая
является гладкой.
Эта кривая целиком лежащая в области D называется кривой дифф.уравнения(1).
Другими словами интегральная кривая – это график решения; для выделения из всего множества уравнения (1) того решения, которое описывает наблюдаемый процесс, вводят дополнительные условие; требуют, чтобы функция в точке x0 принимала значение y0.
Дифф уравнение (1) опред значение производной y’ в любой точке с координат (x,y) в области Д, а значит опр знач условия координатной касательной к интегральной кривой, т.е. направление движения по интегральной прямой.
РИСУНОК
То есть уравнение (1) опред поле направления касательных.
Геометрически задача интегрирования уравнения (1) сводится к поиску интегральной кривой, направление касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля.
Изоклиной называют геометрическое место точек в области Д, в которых наклон касательных к решению один и тот же.
Уравнение
изоклины:
Естественно, что для некоторых дифф уравнений сущ решение, которое во всех своих точках нарушают условия единственности решения, т.е.в любой окрестности в любой точке этого решения сущ хотябы 2 интегральные прямые, проходящие через эту точку, такие решения будем называть особыми.
В частности особым решением будут огибающие семейства интегральных кривых, если следует отметить то, что особое решение не может получить из общего ни при каком возможном значении параметра С (в том числе С=±∞
Поскольку для особого решения нарушаются условия единственности, то можно предложить след этапы нахождения общего решения.
1)найти
множество точек, где частная производная
обращаются в ∞.
2)если это множество точек образуют одну или несколько интегральных кривых, проверить являются ли они интегральными дифф уравнениями (1).
3)если это интегральные кривые, то проверить нарушаются ли в каждой точке условия единственности решения, т.е. являются ли эти кривые огибающими.