![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Задача 6
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
и осью Ох.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой
.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами
и
.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом
, параболой
и осью Оу.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми
и
.
-
Вычислить длину дуги полукубической параболы
от точки A(2;0) до точки B (6;8)
-
Вычислить длину кардиоиды
.
-
Вычислить длину одной арки циклоиды
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
и
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и локоном Аньези
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной эллипсом
.
-
Вычислить длину кривой
между точками пересечения с осями координат.
-
Вычислить длину полукубической параболы
от точки O(0; 0) до точки M
.
-
Найти длину дуги полукубической параболы
, заключенной внутри окружности
.
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой
и осью Ох.
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами
и
.
-
Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды
, расположенной над осью Оx.
-
Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды
.
-
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом
и осями координат Ох и Оу
.
-
Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2м, радиус r = 0.3м.
-
Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3м и радиусом основания r = 1 м, на его стенки. Плотность бензина р.
-
В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d = 1.5м, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластинку.
-
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой
от
до
.
-
Найти длину дуги кривой
.
-
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой
и прямой
.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
и окружностью r = 4.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
и осью Ох.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной цепной линией
, осью Ох и прямыми х = ±1.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами у = х2 .
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной локоном Аньези
, прямой
и осью Оу.
-
Вычислить длину дуги полукубической параболы
от x = 0 до x = 3.
-
Вычислить длину астроиды
.
-
Вычислить длину кардиоиды
.
-
Найти координаты центра тяжести однородной дуги цепной линии
от точки (0, 1) до точки
.
-
Найти координаты центра тяжести дуги астроиды
, расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.
-
Деревянная прямоугольная балка, размеры поперечного сечения которой а = 0,4 м, b = 0,2 м, длина l = 4,5 м, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева у = 0,8 Г/см3. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды.
-
Растяжение (удлинение) пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кГ, удлиняет ее на 1 см.
-
Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса r = 2 м и высота h = 5 м.
-
Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента, высота которого h—12 м, а верхнее основание совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 30 м. Вычислить силу давления воды на плотину.
-
Вертикальная плотина имеет форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 50 м, нижнее основание b = 20 м, а высота h = 15 м. Вычислить силу давления воды на плотину.
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой косинусоиды
и отрезком оси Ох от х = 0 до
.
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды
и отрезком оси Ох от х = 0 до
.
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами
.
Вычислить
работу, которую необходимо затратить
на выкачивание воды из резервуара Р.
Удельный вес воды принять
равным 9,81кН/м ,
= 3,14. (Результат округлить до целого
числа.)
-
Р: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 5м.
-
Р: правильная четырехугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота — 6м.
-
Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5м и радиус 1м.
-
Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, дли на 5м.
-
Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1м, нижнего — 2м, высота — Зм.
-
Р: желоб, перпендикулярное сечение которого является параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.
-
Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания ко торой 1м, длина 5м.
-
Р: правильная треугольная пирамида с основанием 2м и высотой 5м.
-
Р: правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.
-
Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5м.
-
Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего — 1м, высота — 3м.
-
Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м.
-
Р: правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего — 4 м, высота— 2м.
-
Р: параболоид вращения, радиус основания которого 2м, глубина 4м.
-
Р: половина эллипсоида вращения, радиус основания которого 1м, глубина 2м.
-
Р: усеченная четырехугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 4 м, высота — 1м.
-
Р: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2м.
-
Р: правильная шестиугольная пирамида с вершиной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6м.
-
Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м.
-
Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м.
-
Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1м, длина желоба 10 м.
-
Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 1м, высота — 2м.
-
Р: полусфера радиусом 2м.
Вычислить
работу, затрачиваемую на преодоление
силы тяжести
при построении сооружения Q
из
некоторого материала,
удельный вес которого
-
(Результат округлить до целого числа.)
-
Q: правильная усеченная четырехугольная пирами да, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего 4м, высота 2м;
= 24кН/м3.
-
Q: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1м и высотой 2м;
— 24кН/ м3 .
-
Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 4м;
- 24кН/ м3.
-
Q: правильная шестиугольная усеченная пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего 2м, высота — 2м;
= 24кН/м3.
-
Q: правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 м и высотой 6м;
= 20кН/м3 .
-
Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м;
= 20 кН/м3.
-
Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м;
— 21 кН/ м3
Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.
-
Ф — треугольник, стороны которого лежат на прямых х + у = a, x = 0 и y = 0.
-
Ф ограничена эллипсом х2/а2 + у2/b2 = 1 и осями координат (х
0, у
0).
-
Ф ограничена первой аркой циклоиды
х — a(t — sin t), у = a(l — cost) и осью Ох.
-
Ф, ограничена кривыми у = х2,
.
-
Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрезком оси Ох (
).
-
Ф ограничена полуокружностью
и осью Ох.
-
Ф ограничена дугой параболы
(а > 0, b > 0), осью Ох и прямой х = b.
-
Ф ограничена дугой параболы
(а > 0, b > 0), осью Оy и прямой y = b.
-
Ф ограничена замкнутой линией у2 = ах3 - х4.
-
Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.
-
Ф — сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а.
-
Ф ограничена кардиоидой
= а(1 +cos
).
-
Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернулли
= a2cos2
.
-
Ф ограничена осями координат и параболой
.
-
Ф ограничена полукубической параболой ау2 = х3 и прямой х = а (а > 0).
-
-
-
-
r = 3 + sin2
между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
-
r = 2 — cos3
между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
Задача 7. Определить и изобразить область существования следующей функции:
7.1.
; 7.2.
;
7.3.
; 7.4.
;
7.5.; 7.6.
;
7.7.; 7.8.
;
7.9.; 7.10.
;
7.11.; 7.12.
;
7.13.; 7.14.
;
7.15.; 7.16.
;
7.17.; 7.18.
;
7.19.; 7.20.
;
7.21.; 7.22.
;
7.23.; 7.24.
;
7.25.; 7.26.
;
7.27.; 7.28.
;
7.29.; 7.30.
;
7.31.; 7.32.
;
7.33.; 7.34.
;
7.35.; 7.36.
;
7.37.; 7.38.
;
7.39.; 7.40.
;
7.41.; 7.42.
;
7.43.; 7.44.
;
7.45.; 7.46.
;
7.47.; 7.48.
;
7.49.; 7.50.
;
7.51.; 7.52.
;
7.53.; 7.54.
;
7.55.; 7.56.
;
7.57.; 7.58.
;
7.59.; 7.60.
;
7.61.; 7.62.
;
7.63.; 7.64.
;
7.65.; 7.66.
;
7.67.; 7.68.
;
7.69.; 7.70.
;
7.71.; 7.72.
;
7.73.; 7.74.
;
7.75.; 7.76.
;
7.77.; 7.78.
;
7.79.; 7.80.
;
7.81.; 7.82.
;
7.83.; 7.84.
7.85.; 7.86.
;
7.87.; 7.88.
;
7.89.; 7.90.
;
7.91.; 7.92.
;
7.93.; 7.94.
;
7.95.; 7.96.
;
7.97.; 7.98.
;
7.99.; 7.100.
.
Задача 8. Найти частные производные 1-го порядка следующей функции:
8.1.; 8.2.
;
8.3.; 8.4.
;
8.5.; 8.6.
;
8.7.; 8.8.
;
8.9.; 8.10.
;
8.11.; 8.12.
;
8.13.; 8.14.
;
8.15.; 8.16.
;
8.17.; 8.18.
;
8.19.; 8.20.
;
8.21.; 8.22.
;
8.23.; 8.24.
;
8.25.; 8.26.
;
8.27.; 8.28.
;
8.29.; 8.30.
;
8.31.; 8.32.
;
8.33.; 8.34.
;
8.35.; 8.36.
;
8.37.; 8.38.
;
8.39.; 8.40.
;
8.41.; 8.42.
;
8.43.; 8.44.
;
8.45.; 8.46.
;
8.47.; 8.48.
;
8.49.; 8.50.
;
8.51.; 8.52.
;
8.53.; 8.54.
;
8.55.; 8.56.
;
8.57.; 8.58.
;
8.59.; 8.60.
;
8.61.; 8.62.
;
8.63.; 8.64.
;
8.65.; 8.66.
;
8.67.; 8.68.
;
8.69.; 8.70.
;
8.71.; 8.72.
;
8.73.; 8.74.
;
8.75.; 8.76.
8.77.; 8.78.
;
8.79.; 8.80.
;
8.81.; 8.82.
;
8.83.; 8.84.
;
8.85.; 8.86.
;
8.87.; 8.88.
;
8.89.; 8.90.
;
8.91.; 8.92.
;
8.93.; 8.94.
;
8.95.; 8.96.
;
8.97.; 8.98.
;
8.99.; 8.100.
.
Задача
9..
Дано: функция z=f(x,y),
точка
,
вектор
.
Найти:
1) grad z в точке А;
2)
производную функции f(x,y)
в точке А в направлении
;
3)
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности z=f(x,y)
в точке
.
Добавить дифференциальные
операции поля
9.1.;
9.2.;
9.3.;
9.4.;
9.5.;
9.6.;
9.7.;
9.8.;
9.9.;
9.10.;
9.11.;
9.12.;
9.13.;
9.14.;
9.15.;
9.16.;
9.17.;
9.18.;
9.19.;
9.20.;
9.21.;
9.22.;
9.23.;
9.24.;
9.25.;
9.26.;
9.27.;
9.28.;
9.29.;
9.30.;
9.31.;
9.32.;
9.33.;
9.34.;
9.35.;
9.36.;
9.37.;
9.38.;
9.39.;
9.40.;
9.41.;
9.42.;
9.43.;
9.44.;
9.45.;
9.46.;
9.47.;
9.48.;
9.49.;
9.50.;
9.51.;
9.52.;
9.53.;
9.54.;
9.55.;
9.56.;
9.57.;
9.58.;
9.59.;
9.60.;
9.61.
;
9.62.
9.63.;
9.64.;
9.65.;
9.66.;
9.67.;
9.68.;
9.69.;
9.70.;
9.71.;
9.72.;
9.73.;
9.74.;
9.75.;
9.76.;
9.77.;
9.78.
;
9.79.;
9.80.;
9.81.;
9.82.;
9.83.;
9.84.;
9.85.;
9.86.
9.87.;
9.88.;
9.89.;
9.90.;
9.91.;
9.92.;
9.93.;
9.94.;
9.95.;
9.96.;
9.97.;
9.98.;
9.99.;
9.100..
Задача 10. Найти экстремумы функции:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задача 12. Вычислить повторные интегралы
00;
34; 68
|
01;
35; 69
|
02;
36; 70
|
03;
37; 71
|
04;38;72
|
05;
39; 73
|
06;40;74
|
07;
41; 75
|
08;
42; 76
|
09;
43; 77
|
10;
44; 78
|
11;45;79 |
12;46;80 |
13;
47; 81
|
14;48;82
|
15;
49; 83
|
16;
50; 84
|
17;51;
85
|
18;
52; 86
|
19;
53; 87
|
20;
54; 88
|
21;55;
89
|
22;
56; 90
|
23;57;
91 |
24;58;92 |
25;
59; 93
|
26;
60; 94
|
27;
61; 95
|
28;62;96
|
29;63;97
|
30;
64; 98
|
31;
65; 99
|
32;
66
|
33;
67
|
Задача 13. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
00;
36;
72
|
01;
37;
73
|
02;
38;
74
|
03;
39; 75
|
04;
40; 76
|
05;
41; 77
|
06;42;
78
|
07;
43; 79
|
08;
44; 80
|
09;
45; 81
|
10;
46; 82
|
11;
47; 83
|
12;48;84
|
13;
49;85 |
14;50;86
|
15;
51; 87
|
16;52;
88
|
17;
53; 89
|
18;
4;90 |
19;55;91
|
20;56;92 |
21;57;93 |
22;
58; 94
|
23;
59; 95
|
24;
60; 96
|
25;
61; 97
|
26;
62;98
|
27;63;99 |
28;
64
|
29;
65
|
30;
66
|
31;
67
|
32;
68
|
33;
69
|
34;
70
|
35;
71
|
Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл
по
контуру треугольника
,
где
00; 34; 68 |
|
|
|
01; 35; 69 |
|
|
|
02; 36; 70 |
|
|
|
03; 37; 71 |
|
|
|
04; 38; 72 |
|
|
B(4;1) |
05; 39; 73 |
|
А(1;5) |
B(5;1) |
06; 40; 74 |
|
A(1;6) |
B(6;1) |
07; 41; 75 |
|
A(1;7) |
B(7;1) |
08; 42; 76 |
|
A(1;8) |
B(8;1) |
09; 43; 77 |
|
A(1;9) |
B(9;1) |
10; 44; 78 |
|
A(2;0) |
B(0;2) |
11; 45; 79 |
|
A(2;1) |
B(0;2) |
12; 46; 80 |
|
A(5;1) |
B(3;4) |
13; 47; 81 |
|
A(4;2) |
B(5;5) |
14; 48; 82 |
|
A(5;1) |
B(3;6) |
15; 49; 83 |
|
A(7;2) |
B(2;4) |
16; 50; 84 |
|
A(4:1) |
B(-1;5) |
17; 51; 85 |
|
A(-1;5) |
B(-4;1) |
18; 52; 86 |
|
A(1;-6) |
B(4;-1) |
19; 53; 87 |
|
A(4;4) |
B(-2;2) |
20; 54; 88 |
|
A(1;0) |
B(-1;7) |
21; 55; 89 |
|
A(-2;-5) |
B(4;8) |
22; 56; 90 |
|
A(-2;6) |
B(4;2) |
23; 57; 91 |
|
A(7;7) |
B(0;4) |
24; 58; 92 |
|
A(1;-6) |
B(5;5) |
25; 59; 93 |
|
A(-1;6) |
B(-3;-3) |
26; 60; 94 |
|
A(5;1) |
B(-1;5) |
27; 61; 95 |
|
A(-7;2) |
B(1;4) |
28; 62; 96 |
|
A(6;1) |
B(-1;4) |
29; 63; 97 |
|
A(-5;-5) |
B(1;-2) |
30; 64; 98 |
|
A(-1;6) |
B(2;6) |
31; 65; 99 |
|
A(-2;-4) |
B(3;-4) |
32; 66 |
|
A(-3;-5) |
B(5;0) |
33; 67 |
|
A(1;-5) |
B(5;-2} |
Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл
,
пробегая
по часовой стрелке нижнюю дугу эллипса
,
,
если
№ варианта |
а |
b |
00; 31; 62; 93 |
1 |
2 |
01; 32; 63; 94 |
1 |
4 |
02; 33; 64; 95 |
1 |
3 |
03; 34; 65; 96 |
1 |
5 |
04; 35; 66; 97 |
1 |
6 |
05; 36; 67; 98 |
1 |
7 |
06; 37; 68; 99 |
1 |
7 |
07; 38; 69 |
1 |
9 |
08; 39; 70 |
3 |
1 |
09; 40; 71 |
3 |
9 |
10; 41; 72 |
3 |
7 |
11; 42; 73 |
3 |
5 |
12; 43; 74 |
3 |
6 |
13; 44; 75 |
3 |
8 |
14 45; 76 |
2 |
1 |
15; 46; 77 |
2 |
3 |
16; 47; 78 |
2 |
4 |
17; 48; 79 |
2 |
5 |
18; 49; 80 |
2 |
6 |
19; 50; 81 |
2 |
7 |
20; 51; 82 |
4 |
1 |
21; 52; 83 |
4 |
2 |
22; 53; 84 |
4 |
3 |
23; 54; 85 |
4 |
5 |
24; 55; 86 |
4 |
6 |
25; 56; 87 |
5 |
1 |
26; 57; 88 |
5 |
2 |
27; 58; 89 |
5 |
3 |
28; 59; 90 |
5 |
4 |
29; 60; 91 |
6 |
2 |
30; 61; 92 |
6 |
3 |