15. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного

интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F’(x) = f{х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

Функция F{x) называется первообразной функции f{x) на интервале (а; b), если для любого х (а; b) выполняется равенство

F’{x) = f(x) (или dF(x) = f(x) dx).

Например, первообразной функции является функция , так как

Очевидно, что первообразными будут также любые функции где С - постоянная, поскольку

Теорема 18.1. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (а; b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + С, где С — постоянное число.

Функция F(x) + С является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)’ = F’(x) = f(x).

Пусть Ф(x) некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции f(x), т.е. Ф’(х) = f(x). Тогда для любого имеем

(Ф(х) – F(x))’ = Ф’(х) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0.

А что означает, что

Ф(х) – F(x) – С,

где С - постоянное число. Следовательно, Ф(х) = F{x) +С.

Множество всех первообразных функций F(х) + С для f(х) называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается символом .

Таким образом, по определению

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, – знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у = F(x) + С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

y = F(x) + C2 y = F(x) + C3

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (a; b) функция имеет на этом промежутке первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл.

16. Метод непосредственного интегрирования. Метод интегрирования

подстановкой (заменой переменной). Метод интегрирования по частям.

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — дело гораздо более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. См. Таблица интегралов.

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где — многочлен -ой степени.