Раздел 3. Основы математического анализа

Раздел 4. Основы интегрального и дифференциального исчисления

1. Таблица производных элементарных функций

Функция	Производная
С (постоянная)	0
	1

2. Правила дифференцирования

; ;;.

3. Производная сложной функции (функции от функции)

Если ;;; то

Правила Лопиталя очень широко применяются для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность.

Теорема Лопиталя: Если:

1.   или  ;

2.  и дифференцируемы в окрестности;

3.   в окрестности ;

4. существует  , то существует.

Пределы также могут быть односторонними.

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Пример 1: Вычислить пределыфункции по правилу Лопиталя:

1.

2.

3.

Формула Тейлора

В определении функции не говорится о том, при помощи каких свойств находятся значения по значениям. В случаях, когда функция является формулой, в которой числа и переменные связаны с помощью арифметических действий, ее значение найти просто. А для того, чтобы вычислить значения функции, содержащей тригонометрические функции, логарифмы и т.п., ее заменяют многочленом, значения которого легко вычисляемы.

Пусть функция есть многочленстепени:.

Теорема: Если функция определена в некоторой окрестности точкии имеет в ней производные до-го порядка включительно, то для любогоиз этой окрестности найдется точкатакая, что справедлива формула :

, где - (1)

Формула Тейлора для функции

Формула (1) можно записать в виде , многочлен Тейлора, а - остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа.

- погрешность приближенного равенства

Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию многочленом

При получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:

, где

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа(включая данное число): Обозначается факториал восклицательным знаком «!», например,

3! = 1 · 2 · 3 = 6, 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

Пример 2:Разложить многочленпо степеням двучленапо формуле Тейлора.

Решение: Найдем значение функции в точке :

Найдем производные:

, ;

,

Таким образом,

Ответ:

4. Основные свойства неопределенного интеграла

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Если иU=U(x), гдеU(x)- непрерывно дифференцируемая функция, то

7. Если x=x(t) непрерывно дифференцируемая функция, то

.

5. Таблица простейших часто встречающихся интегралов

1.2.

3.4.

5.6.

7.8.

9.10.

11.12.

13.14.

15. 16.

17.18.

Интегрирование по частям

Пусть непрерывно дифференцируемые функции, тогда

–формула интегрирования по частям. (2)

Она дает возможность свести вычисление к вычислению, который может быть более простым.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и, а затем, после нахожденияи, используется формула (2).

Обычно в интегралах вида

1)запринимают, а за– все остальное (– многочлен,– число)

2)

за принимают, а за– все остальное.

Пример 3:

.

.

Рассмотрим получившийся интеграл

Тогда

Ответ:

Замечание

При интегрировании функций вида интегрирование по частям применяется 2 раза, что приводит к решению уравнения для получения конечного ответа.

Пример :

.

Пусть .

Тогда последнее равенство может быть переписано в виде

.

Получим уравнение

Отсюда .

Ответ:.