![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Определение первообразной.
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •6. Понятия о рациональных функциях
- •8. Интегрирование простейших дробей.
- •9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа
- •10. Интегрирование тригонометрических функций.
- •12. Интегрирование иррациональных функций.
- •13. Дробно-линейная подстановка
- •14. Тригонометрическая подстановка
- •15. Определенный интеграл
- •18. Формула Ньютона-Лейбница.
- •19. Несобственные интегралы первого рода
- •20. Несобственные интегралы второго рода
- •22. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •23. Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •24. Определение двойного интеграла
18. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть
функция y
= f(x) непрерывна
на отрезке [a;
b] и F(x) -
одна из первообразных функции на этом
отрезке, тогда справедлива формула
Ньютона-Лейбница: .
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если
функция y
= f(x) непрерывна
на отрезке [a;
b],
то для аргумента интеграл
вида
является
функцией верхнего предела. Обозначим
эту функцию
,
причем эта функция непрерывная и
справедливо равенство
.
Действительно,
запишем приращение функции ,
соответствующее приращению аргумента
и
воспользуемся пятымсвойством
определенного интегралаи следствием
из десятого свойства:
где
.
Перепишем
это равенство в виде .
Если вспомнитьопределение
производной функциии перейти к
пределу при
,
то получим
.
То есть,
-
это одна из первообразных функцииy
= f(x) на
отрезке [a;
b].
Таким образом, множество всех
первообразных F(x) можно
записать как
,
гдеС –
произвольная постоянная.
Вычислим F(a),
используя первое свойство определенного
интеграла: ,
следовательно,
.
Воспользуемся этим результатом при
вычисленииF(b):
,
то есть
.
Это равенство дает доказываемую формулу
Ньютона-Лейбница
.
Приращение
функции принято обозначать как .
Пользуясь этим обозначением, формула
Ньютона-Лейбница примет вид
.
Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразныхy=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрированияразобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.
Пример.
Вычислить
значение определенного интеграла по
формуле Ньютона-Лейбница.
Решение.
Для
начала отметим, что подынтегральная
функция непрерывна
на отрезке[1;3],
следовательно, интегрируема на нем. (Об
интегрируемых функциях мы говорили в
разделе функции,
для которых существует определенный
интеграл).
Из таблицы
неопределенных интеграловвидно,
что для функциимножество
первообразных для всех действительных
значений аргумента (следовательно, и
для
)
записывается как
.
Возьмем первообразную приC
= 0:
.
Теперь
осталось воспользоваться формулой
Ньютона-Лейбница для вычисления
определенного интеграла: .
Пример.
По
формуле Ньютона-Лейбница вычислите
определенный интеграл .
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1;2], поэтому, интегрируема на нем.
Найдем
неопределенный интеграл методом
подведения под знак дифференциала:
.
Так мы получили множество всех
первообразных функции
для
всех действительныхx,
следовательно, и для
.
Возьмем
первообразную при С=0 и
применим формулу Ньютона-Лейбница:
19. Несобственные интегралы первого рода
Определение 4.1
Предположим, что функция задана
на бесконечном промежутке вида
и
интегрируема на любом конечном отрезке
,
где
.
Таким образом, мы можем рассмотреть
функцию
Если
эта функция имеет предел то
число
называетсязначением
несобственного интеграла первого рода
а
сам интеграл называетсясходящимся (иными
словами, интеграл
сходится).
Если
же предела не
существует (например, если
при
),
то интеграл
называетсярасходящимся (то
есть расходится)
и не имеет никакого числового значения.
Геометрически,
в случае ,
величина несобственного интеграла
означает,
по определению, площадь бесконечно
длинной области
,
лежащей в координатной плоскости между
лучом
на
оси
,
графиком
и
вертикальным отрезком
(см. рис.).
Рис.4.1.
Сходящиеся
интегралы соответствуют таким областям ,
площадь которых конечна (хотя сама
область
неограничена),
а расходящиеся (в случае
) --
неограниченным областям с бесконечной
площадью. В случае, когда
при
,
часто пишут формально:
однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.
Само
определение значения интеграла через
предел интегралов по конечным, но
увеличивающимся отрезкам означает
исчерпание площади путем
учёта все большей её части
правый
вертикальный отрезок, проведённый
при
,
отодвигается всё дальше и дальше в
бесконечность; в пределе будет учтена
вся площадь под графиком
(см. рис.).
Рис.4.2.