3. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а_ij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а_ij. Обозначается М_ij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

, тогда согласно определению минора, минором М₁₂, соответствующим элементу а₁₂, будет определитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

, знак перед произведением равен (-1)ⁿ, где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А_ij. А_ij = (-1)^i+j × М_ij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Пример:

4. Обратная матрица и её вычисление.

Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

, где А_ij - алгебраическое дополнение элемента а_ij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы).

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие: А × А^-1 = А^-1 × А = Е , где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию: X × A = A × X = E , где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А^-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Для получения обратной матрицы используют формулу:

, где М_ji дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами матрицы. Например, для матрицы можно составить миноры второго порядкаи миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение.Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В приведенном примере ранг матрицы равен двум, так как, например, минор

Ранг матрицы удобно вычислять методом элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям относят следующие:

1)     перестановки строк (столбцов);

2)     умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)     прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В.

Теорема.Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица  называется ступенчатой если она имеет вид:

, где ,,.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор -го порядка, не равный нулю:

.

Пример.Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

.

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .