Контрольні питання

1. Що називають математичним маятником ?

2. Які коливання називають власними або гармонічними ?

3. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок.

4. Визначення амплітуди, періоду та частоти коливань.

5. Визначення циклічної частоти та фази коливань.

6. Залежність від часу швидкості та прискорення руху при гармонічних коливаннях.

7. Кінетична та потенціальна енергія гармонічних коливань.

Лабораторна робота № 41

Знаходження характеристик затухаючих коливань для фізичного маятника

Обладнання: фізичний маятник, прилад для вимірювання часу.

Мета роботи: ознайомитись з методикою визначення характеристик затухаючих коливань на прикладі фізичного маятника.

Теоретичні відомості

Фізичним маятником називають тверде тіло, довільної форми (див. рис. 1), підвішене в точці О, що знаходиться на відстані від центру мас тіла С, яке, під дією сили тяжіння виконує коливання у вертикальній площині.

Рис. 1.

При відхиленні тіла масою від положення рівноваги на кутвід вертикалі виникає момент сили тяжіння, який намагається повернути його в стан рівноваги. Згідно визначенню проекція моменту сили тяжіння на вісь обертання, яка перпендикулярна до площини рисунку і проходить через точку О, дорівнює:

, тобто, . (1)

Разом з моментом сили тяжіння на тіло буде діяти момент сили опору, модуль якого прямо пропорційний до кутової швидкості обертання. Проекція моменту сили опору на вісь обертання дорівнює:

, (2)

де: - коефіцієнт опору ;- проекція кутової швидкості.

Основний закон динаміки обертального руху для тіла буде мати вигляд:

, (3)

де: - момент інерції тіла;- проекція кутового прискорення.

Підставляючи вирази (1) і (2) в закон динаміки (3) отримаємо:

. (4)

Запровадимо такі позначення:

; (5)

величину називають коефіцієнтом затухання;

; (6)

величина це циклічна частота власних коливань фізичного маятника;

тоді рівність (4) буде мати вигляд:

. (7)

Рівняння (7) називають диференціальним рівнянням затухаючих коливань. Його розв’язком буде функція:

;

де: - циклічна частота затухаючих коливань, яка дорівнює:

;

- амплітуда затухаючих коливань в момент часу , яка дорівнює:

; (8)

- початкова амплітуда коливань; - початкова фаза коливань;

- початкова амплітуда коливань;

- залежність від часу кута відхилення тіла.

Позначимо через відрізок часу, за який амплітуда коливань зменшиться враз (- основа натурального логарифму), тоді із залежності амплітуди коливань від часу (8) випливає його зв’язок із коефіцієнтом затухання:

, (9)

або : . (10)

Відрізок часу в літературі зветься часом релаксації. Крім часу релаксації основними характеристиками затухаючих коливань є логарифмічний декремент затуханнята добротність коливальної системи.

Логарифмічний декремент затухання це логарифм натуральний від відношення амплітуд коливань - амплітуди в момент часута- амплітуди коливань в момент часу, де- період затухаючих коливань, що дорівнює:

;

Логарифмічний декремент затухання, згідно визначенню, дорівнює:

;

Використовуючи формулу (8) можна знайти зв’язок між логарифмічним коефіцієнтом затухання і періодом коливань:

, тобто: . (11)

Позначимо через - кількість повних коливань фізичного маятника за час релаксації, згідно визначенню вона дорівнює:

. (12)

Підставивши рівність (9) у (12) отримаємо ще один вираз для логарифмічного декременту затухання:

, тобто: . (13)

Добротність коливальної системи - безрозмірна фізична величина, яка характеризує відносне зменшення енергії коливань за один період. Згідно визначенню вона дорівнює:

, (14)

де: - повна енергія коливань в момент часу. Повна енергія коливань прямо пропорційна квадрату амплітуди коливань, тобто:

, (15)

де:- коефіцієнт пропорційності.

Енергія коливань в момент: буде дорівнювати:

, (16)

Підставляючи вирази (15) і (16) у визначення (14) отримаємо:

. (17)

Оскільки , то із виразу (17) випливає, що:. (18)

Якщо , то:. (19)

Підставивши наближену рівність (19) у вираз (18) одержимо:

, тобто: . (20)

Тілом фізичного маятника, в даній лабораторній роботі, буде диск, радіуса та масою, який підвішений в точці, що знаходиться на віддалівід його центру. Момент інерції дискувідносно осі, що перпендикулярна до його площини і проходить через точку кріплення, дорівнює:

. (21)

Використовуючи знайдене значення моменту інерції тіла можна обчислити власну циклічну частоту коливань фізичного маятника, згідно виразу (6) :

. (22)

В даній лабораторній роботі шляхом прямого вимірювання знаходиться час релаксації і відповідна йому кількість коливань. Тоді періодзатухаючих коливань буде дорівнювати їх відношенню:

.

Циклічну частоту затухаючих коливань можна знайти за її визначенням, як:

; тобто: . (23)