2. Проверка гипотез

Гипотеза — это утверждение о значениях параметров рас­пределения вероятностей. Допустим, мы полагаем, что средний выход продукта химического процесса составляет 94,5%. Такое утверждение можно представить в формализованном виде как

(1)

Утверждение Но:=94,5 называется нулевой гипотезой, а Но:94,5—альтернативной гипотезой, или альтернативой. Поскольку H₁ определяет значения , которые либо больше, либо меньше 94,5, она называется двусторонней альтернативой. Значение среднего, задаваемое нулевой гипотезой, определяется одним из трех способов. Оно может быть известно из результа­тов ранее проводившихся экспериментов; может вытекать из теории или модели исследуемого процесса или, наконец, зада­ваться техническими условиями на него.

Проверка гипотезы состоит в следующем. Берется случайная выборка, по которой находится значение некоторой статистики, и принимается решение, отклонить или принять нулевую гипо­тезу. Для этого необходимо знать распределение статистики, используемой для проверки, в предположении истинности нуле­вой гипотезы, а также множество значений статистики, которые приводят к отклонению гипотезы. Такое множество значений статистики называется критической областью, или областью от­клонения гипотезы.

При проверке гипотез встречаются ошибки двух родов. Если нулевая гипотеза отклоняется, когда она истинна, то совер­шается ошибка I рода. Если нулевая гипотеза не отклоняется, когда она ложна, то совершается ошибка II рода. Вероятностям этих ошибок присвоены специальные обозначения: =Р (совершить ошибку I рода)=Р (отклонить НоНо истинна); =Р (со­вершить ошибку II рода)=Р (не отклонить НоНо ложна).

Иногда удобнее пользоваться мощностью критерия, которая оп­ределяется как

Мощность = 1- =Р (отклонить НоНо ложна). При проверке гипотез в общем случае задается величина —вероятность ошибки I рода, которая часто называется уров­нем значимости критерия, и выбирается процедура проверки, обеспечивающая приемлемо малую величину ошибки II рода .

Рассмотрим вкратце несколько часто встречающихся задач на проверку гипотез:

1. Сравнение средних при известной дисперсии.

2. Сравнение средних при неизвестной дисперсии.

3. Сравнение дисперсий.

2.1. Проверка гипотез относительно средних

Предположим, что у — случайная переменная с неизвестным средним , и известной дисперсией ². Мы хотим проверить ги­потезы

(2)

где ₀— заданная постоянная. Для проверки нулевой гипотезы необходимо на основе выборки из п наблюдений у найти чис­ленное значение статистики

(3)

лежащей в основе критерия. Гипотеза Но отклоняется, если Zo|>Z_/2, где Z_/2—верхняя /2-процентная точка стандарти­зованного нормального распределения.

При решении некоторых задач может оказаться желатель­ным отклонять гипотезу Но только при условии, что истинное значение среднего  превосходит ₀ Таким образом формули­руется односторонняя альтернатива Н₁:>₀, и Но отклоняется при Zo>Z_. Если же необходимо отклонять Но только при (, меньшем ₀, то в качестве альтернативной гипотезы берется H₁:<₀ и Но отклоняется, если Zo<-Z_.

Предположим теперь, что для двух совокупностей с извест­ными дисперсиями ²₁ и ²₂ мы хотим проверить такую гипо­тезу: средние этих двух совокупностей, ₁ и ₂ отличаются на постоянную величину  или в формализованном виде

(4)

В этом случае для проверки гипотезы берется случайная вы­борка из n₁ наблюдений из первой совокупности и n₂ наблюде­ний из второй совокупности, после чего находится численное значение статистики

(5)

причем Но отклоняется, если |Zo|>Z_α/2. При односторонней альтернативе H₁: μ₁—μ₂>γ гипотеза Но отклоняется, если Zo>Z_α. При другой односторонней альтернативе H₁:μ₁—μ₂<γ нулевая гипотеза отклоняется, если Zo<-Z_α.