Глава 4. Замкнутость

Совокупность всех предельных точек произвольного множества Е договоримся обозначать символом Е1,а сумму, или объединение двух множеств А и В будем обозначать символом А+В или A[JB 2). Договоримся далее называть замыканием произвольного множества Е множество , обозначаемое символом Е и равное сумме Е+Е1.

Очевидно, что для любого замкнутого множества F справедливо равенство F=F.

Совокупность всех внутренних точек произвольного множества E будем обозачать символом int E 3)

1) В частности множество, не имеющее предельных точек, замкнуто (ибо пустое множество содержится в любом множестве)

2) Суммой или объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

3) Символом int образован от французского слова interieur (внутренняя часть)

Очевидно, что для любого открытого множества G справедливо равенство int G=G.

Для совершенно произвольного множества E множество int E является открытым, а множество Е|-замкнутым.

Остановимся на простейших свойствах открытых и замкнутых множеств.

(1.) Если множество F замкнуто,то его дополнение CF открыто.

Доказательство: Любая точка х множества CF  не принадлежит F и (в силу замкнутости F) не принадлежит множеству F' предельных точек F. Но это означает, что некоторая окрестность V(x)  точки х не принадлежит F  и поэтому принадлежит CF.

(2.) Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто.

Доказательство: Любая предельная точка x множества CG заведомо принадлежит этому множеству, ибо в противном случае x принадлежала бы G, а поскольку G -открытое множество, то и некоторая окрестность V(x) точки x принадлежала бы G и не принадлежала бы CG, т.е. точка х не являлась бы предельной точкой CG.

(3.) Сумма любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство: Пусть множество Е представляет собой сумму какого угодно числа открытых множеств Ga, ( индекс a вообще говоря, не является номером), и пусть х - произвольная точка Е. Тогда (по определению суммы множеств) x принадлежит хотя бы одному из множеств Ga, и поскольку каждон множество G, является открытым, то найдется некоторая окрестность V(x) точки х также принадлежащая указанному  множеству Ga, а стало быть, и множеству Е.

(4.) Пересечение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство: Пусть множество E является пересечением открытых множеств Gi, Gz. . ., Gn, и пусть x -любая точка Е. Тогда для любого к (к =  1,2, ...,в) точка x принадлежит Gk, и поэтому найдется некоторая окрестность Vk (x) = (x-еk, x+еk), Ek>0, точки х, также принадлежащая Gk. если е = min {e1,e2, ...,en}, то окрестность V(x)=(x-e,x+e) точки х принадлежит всем Gk и вследствие этого принадлежит Е. 

(5.) Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство: Пусть множество Е представляет собой пересечение какого угодно числа замкнутых множеств Fa ( индекс a, вообще говоря, не является номером). Заметим, что дополнение СЕ представляет собой сумму всех дополнений CFa, каждое из которых, согласно (1), представляет собой открытое множество.

Согласно (3.) множество СЕ  является открытым, а поэтому на основании (2.) множество Е является замкнутым.

(6.) Сумма конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Доказательство: Пусть Е представляет  собой сумму замкнутых множеств F1, F2, ...,Fn. Тогда СЕ представляет собой пересечение множеств CF1,CF2,...,CFn, каждое из которых в силу (1.) является открытым. Согласно (4.) множество СЕ является открытым, а поэтому на основании (2.) множество Е является замкнутым.

(7.) Если множество F замкнуто, а множество G открыто, то множество  F\G замкнуто, а множество G\F открыто.

Доказательство. Достаточно заметить, что множество F\G является пересечением замкнутых множеств F и CG, а множество G\F является пересечением открытых множеств G и CF.