3 Последовательность расчета токов методом узловых потенциалов

Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа У=N_у-1, где N_у – количество узлов. Если узлы соединяются ветвями, содержащими только источники напряжения (их сопротивления равны нулю), то число уравнений уменьшится до У=N_у-N_н – 1, где N_y – число ветвей, содержащих только источники напряжения.

При расчете методом узловых потенциалов в качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов _i. При этом необходимо составить и решить столько уравнений, сколько их составляется по первому закону Кирхгофа.

Последовательность расчета:

1. Обозначить узлы в схеме, потенциал одного из узлов принять равным нулю.

2. Для оставшихся Y-1 узлов записать следующую систему уравнений:

,

(4)

где G_pp – суммарная проводимость ветвей, присоединенных к узлу р или собственная узловая проводимость;

G_ip=G_pi – проводимости ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы i и р, называется общей узловой проводимостью этих узлов;

–узловой ток, состоит из произведения E_iG_i ветвей с источниками ЭДС, присоединенных к узлу. Алгебраическое суммирование выполняется с учетом знаков. Произведение E_iG_i записывается с положительным знаком, если ЭДС направлена к узлу, и с отрицательным – если от узла. Произведение E_iG_i составляется только для ветвей, в которых есть ЭДС.

3. Решить систему уравнений (4) относительно потенциалов узлов.

4. Рассчитать токи в ветвях, пользуясь законом Ома для участка цепи:

,

(5)

где _i – потенциал узла, от которого течет ток I_i;

–потенциал узла, к которому подтекает I_i;

E_i - величина источника ЭДС i-й ветви (берется со знаком «+», если направление ЭДС Е_i совпадает с током I_i и «–» если противоположно);

R_i – сопротивление i-й ветви.

4 Составление энергетического баланса в электрической схеме

Энергетический баланс в электрической схеме составляется на основании закона сохранения энергии: количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в сопротивлении схемы, должно равняться энергии, доставляемой за тоже время источниками питания. Тогда баланс активной мощности определяется как:

,

(6)

где – алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС; слагаемое положительно, если направления действия ЭДСЕ_k и соответствующего тока I_k совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно;

–алгебраическая сумма источников тока; положительны те слагаемые, для которых напряжение на источнике тока U_k и его ток J_k совпадают по направлению;

–арифметическая сумма всех сопротивлений на квадрат токов, по ним протекающим.

5 Построение потенциальной диаграммы

Потенциальная диаграмма является иллюстрацией второго закона Кирхгофа для замкнутого контура и графически отображает распределение потенциала в цепи. Она строится следующим образом: одну из точек контура соединяют с землей (т.е. ее потенциал принимают равным нулю). На диаграмме эту точку помещают в начало координат, тогда положение остальных точек на диаграмме определяется параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей.

Потенциалы остальных точек контура схемы вычисляются по формуле

,

(7)

или при наличии на участке цепи источника ЭДС:

(8)

Необходимо помнить, что ток течет от большего потенциала к меньшему потенциалу.

По оси абсцисс на диаграмме откладываются величины сопротивлений цепи в порядке следования друг за другом в контуре, а по оси ординат – вычисленные потенциалы соответствующих точек цепи.