terver

10. Системы случайных величин. На практике случайные явления чаще всего можно характеризовать не одной случ величиной, а совокупностью случ величин. Как и отдельная случ величина, свойство системы случ величин определяется характеристиками – такими как законы распределения системы случ величин и числовые характеристики. Бывают системы как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Закон распределения системы двух случайных величин можно задать в виде таблицы:

Где – возможные значения случайных величин ХиY, которые могут быть приняты в результате опыта; – число возможных значений соответственно случайных величин Х, Y; Р_ij– вероятность того, что случайная величина Х примет значение x_i, а Y – y_i. Закон распределения системы случ величин является её полной характеристикой. Зная этот закон можно определить законы распределения отдельных случ величин, входящих в систему, а также числовые характеристики этих случайных величин. Так как случайная величина Х может принять значение x_i при одном из несовместных событий, а именно при Y примет значение y_1, Y примет значение y₂, то вероятность этого равна:Аналогично для случ величины Y определяется по формуле: . Характеристики каждой из случайных величин определяются по формуле: , . Аналогичным образом и для Y: , . Важной характеристикой системы случ величин является корреляционный момент между случайными величинами, входящими в систему. Эта характеристика отражает силу связи между случайными величинами и рассеивание случайных величин относительно мат ожиданий. Эта характеристика задаётся выражением: . То есть корреляционный момент равен мат ожиданию произведения центрированных случайных величин. Для дискретной случайной величины эта характеристика определяется по формуле: .Корреляционный момент может быть вычислен: . Для того, чтобы определить только силу связи между случ величинами, вводится такая характеристика как коэффициент корреляции между случайными величинами, который задаётся выражением:. Где - СКО (среднее квадратичное отклонение) случ величин Х и Y. . Если , то между случайными величинами существует линейная связь. Это значит, что по значению одной из случ величин можно судить однозначно о значении другой случайной величины. Если , то корреляционной связи между случайными величинами не существует. В качестве основных характеристик систему двух непрерывных случайных величин рассматриваются функция распределения системы случайных величин и плотность распределения. Функция распределения системы двух непрерывных случайных величин определяется: F(x, y) = P(X<x, Y<y). То есть функция распределения равна вероятности того, что случайная точка попадёт в квадрат с вершинами (x, y).

11. (безусловные)Условные законы распр-ния случ величин, входящих в систему. Зная закон распределения системы, можно определить безусловные законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Чтобы в полной мере охарактеризовать систему случайных величин, ещё нужно знать зависимость между ними. Эта зависимость определяется так называемыми "условными законами распределения". Рассмотрим задачу определения вероятности попадания случайной точки в элементарный прямоугольник R.

Если известна плотность распределения системы f(x,y), то вероятность того,что случ точка (X,Y) окажется в прямоугольнике R, равняется:Р((X, Y)R) = f(x, y)xy (1). Если известна плотность распределения относительной величины, входящей в систему, то эта вероятность на основании о вероятности произведения двух событий м.б. определена по формуле: Р((X, Y)R) = f(x)x f(y/x)y (2). f(x)x – вероятность того, что точка окажется в отрезке (х, х+х); f(y)y – вероятность того, что точка окажется в отрезке (y, y+y); f(y/x)y – вероятность того, что точка окажется в отрезке (х, х+х) при х произошедшем. f(x) – безусловная плотность распределения случайной величины Х. f(y/x) – безусловная плотность распределения случайной величины Y. Если приравнять выражения (1) и (2) друг другу, то плотность распределения системы будет, соответственно, равна: f(x, y) = f(x)f(y/x) = f(y)f(x/y) (3). Формула (3) называется формулой умножения законов распределения случ величин. Из формулы (3) следует, что условная плотность распределения одной случайной величины равна частному плотности распределения системы к плотности распределения другой случайной величины: (4). Если известна плотность распределения системы, то условная плотность распределения может быть определена по формуле: ,(5). Если случ величины независимы, то условные и безусловные плотности распределения равны друг другу. Соответственно, плотность распределения системы может быть выражена как произведение безусловных плотностей распределения каждой из величин, входящих в систему. Зависимость или независимость случ величин, входящих в систему, можно определить по виду плотности распределения системы. Если выражение, представляющее плотность распределения системы, м.б. выражено как произведение двух функций, одна из которых зависит только от величины y, а вторая – только от величины х, то случ величины, входящие в систему, являются независимыми. Не всегда некоррелированные случ величины являются независимыми. То есть может быть так, что коэффициент корелляции между случайными величинами = 0, а условные и безусловные плотности распределения не равны друг другу, то есть случ величины – зависимые. Если же коэффициент корелляции отличен от 0, то случайные величины обязательно зависимы, то есть условные и безусловные законы распределения не равны друг другу.

12.Основные характеристики системы случайных величин. Под случ величиной понимается переменная, которая в результате испытаний в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений ( какое именно не известно). Примеры случайных величин: 1)число родившихся детей в течение суток в г. Москва, 2)количество бракованных изделий в данной партии. 3) число произведенных выстрелов до первого попадания и т.д. Случ величина наз-ся дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное (множество называется «счетным», если его элементы можно перенумеровать натуральными числами). Под непрерывной случ величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси. 1-3 – дискретные случайные величины, 1-2 – с конечными множествами значений, 3- бесконечными , но счетными. Случайной величиной Х называется функция, заданная на множестве элементарных исходов т.е. Х = , где ω – элементарный исход . Законом распределения случ величины наз-тся всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случ величины и соответствующими им вероятностями. Мат ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:  М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п . Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непрерывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некото-ром роде аналогом понятия вероятности. Определение. Мат ожиданием непрерывной случайной величины называется        

13.Нормальный закон на плоскости. Уравнение линии регрессии. В общем случае нормальный закон на плоскости задаётся плотностью распределения системы двух случайных величин формулой вида:

(1)Где – мат ожидания случ величин, входящих в систему; – СКО случайных величин Х и Y; – коэффициент корелляции между случ величинами. Док-ся, что безусловная плотность распределения случ величин Х и Y распределены по нормальному закону.(2),(3). Условные плотности распределения случайных величин Х и Y определяются по формулам:(4). Если сделать некоторые алгебраические преобразования над степенью экспоненты ("exp"), то выражение (4) можно представить в виде:(5).Можно заметить, что условная плотность распределения также имеет нормальный закон распределения с характеристиками

/\ (6) x– фиксированная постоянная (конкретная)величина. Выражение (6) называется ур-ем линии регрессии. Оно хар-ет, как изменяется мат ожидание случ величины Y при принятом значении случ величины Х. Аналогичное ур-ие можно получить и для случайной величины Х. На плоскости xOy данные характеристики можно проиллюстрировать таким образом: Пусть случайная точка может оказаться только на некоторой области.

СКО:

Х	х1	х2	....	хn
Y	Р1	Р2	....	Рn

_{14.Функции от случайных аргументов. Определение числовых характеристик функции случайных аргументов. Часто возникает необходимость определить не характеристики случайных величин или их законы распределения, а характеристики функции от случайных аргументов. Любая функция от случайных аргументов является также случайной величиной, свойства которой определяются характеристиками случайных величин – такими как закон распределения, мат ожидание, дисперсия и др начальные и центральные моменты. Для определения числовых характеристик функции от случайных аргументов достаточно знать законы распределения этих случайных аргументов. Пусть задана функция Y = φ(X), при этом Х – случайная величина с известным законом распределения. Пусть х является дискретной случайной величиной с заданным рядом распределения.}

_{Рассмотрим ряд вида:}

Y	φ(х1)	φ(х2)	...	φ(хn)
Pi	P1	P2	...	Pn

_{В общем случае этот ряд не является рядом распределения величины Y, так как в нём могут повторяться значения функции φ(хi). Однако с помощью этого ряда можно определить числовые характеристики величины Y: , Если случайная величина непрерывна, то соответствующие характеристики определяются по формулам: /\ где f(x) – плотность распределения случ величины Х. Если функция зависит от совокупности аргументов, т.е. , где - система случайных величин, то мат ожидание и дисперсия этой функции будет определяться по формулам: ,}

_{, где - плотность распределения системы. В тех случаях, когда функция y является линейной функцией от случайных аргументов, то её числовые характеристики могут быть определены по числовым характеристикам случайных аргументов. Числовые характеристики линейных функций от случайных аргументов определяются по теоремам о числовых характеристиках функции от случайных аргументов.}

_{15.Основные теоремы о числовых характеристиках функций случайных аргументов. Т1-Пусть У = С (с – const). Тогда мат ожидание случайной величины У равняется этой константе, то есть справедлива формула:,Т2-Дисперсия постоянной величины =0: .Т3- Пусть функция - это произведение неслучайной величины на случайную. Тогда мат ожидание произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению неслучайной величины на матем ожидание случайной величины, т.е.: Док-во: Рассмотрим случай дискретной случайной величины: . Согласно свойствам суммы, постоянную можно вынести за знак суммы: . Т4- Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению квадрата неслучайной величины на дисперсию случайной величины, т.е.: . Доказательство: Дисперсию произведения можно представить в виде: . Согласно теореме о матем ожидании произведения неслучайной величины на случайную, данное выражение можно записать в виде: Т5- Пусть дана функция , равная сумме двух случайных величин. Тогда матем ожидание суммы двух случайных величин равняется сумме их мат ожиданий, т.е.:. Док-во: Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин с известным законом распределения. Тогда матем ожидание суммы двух случайных величин можно представить в виде: , где - это вероятность того, что сумма (X+Y) примет значения i и j. На основании свойств суммы данное выражение можно записать в виде: . Если учесть, что , а , то мат ожидание суммы можно заменить выражением вида: чтд. Т6- Пусть дана функция . Тогда дисперсия суммы двух случайных величин будет равна сумме дисперсий этих случайных величин плюс удвоенное произведение корреляционного момента между этими случайными величинами, т.е.: . Док-во: Представим центрированную случайную величину в виде: . Согласно определению дисперсии случ величины, дисперсию случ величин можно представить как мат ожидание квадрата центрированной случайной величины : или: , а так как , а , то: . Представим правую часть данного выражения в виде: . На основании теоремы о мат ожидании суммы случайных величин можно записать, что дисперсия суммы равняется: , чтд. Т7- Мат ожидание произведения двух случайных величин равняется произведению их матем ожиданий плюс корреляционный момент между ними. . Док-во: Известно, что корреляционный момент между двумя случайными величинами равен матем ожиданию произведения центрированных случайных величин:. Запишем данное выражение в виде: На основании теоремы о мат ожидании суммы: Следовательно, и ,чтд. Очевидно, если случ величины некоррелированы, то мат ожидание произведения этих случ величин равняется произведению их матем ожиданий: .}

_{16.Закон распределения функции от случайного аргумента общего вида. Пусть задана случайная величина Х и известна её плотность распределения f(x), задана функция от этой случайной величины: .При этом во всей области возможных значений х имеется обратная функция: , а функция Y – это функция общего вида, т.е. в области возможных значений изменения х есть интервалы возрастания и убывания функции Y, т.е. её можно представить в виде:}

_{Здесь рассматривается вероятность двух несовместных событий, т.е. вероятностей того, что Х попадёт в интервал (а, ψ1(y)), потом вероятность того, что Х(ψ2(y), ψ2(y)), далее Х(ψ4(y), ψn-1(y)) и т.д. Или: Функция распределения случайной величины Х равна вероятности того, что Х попадёт в один из интервалов: (1)}

_{Выражение (1) также можно записать в виде: (2).}

_{Формула (2) – это способ распределения случ величины Y. Для определения плотности распределения случ величины Y необходимо взять производную от выражения (2) по правилу дифференцирования интеграла по двум переменным предела, производная от интеграла по двум переменным предела (по верхнему – убывающая часть графика – и нижнему) равна производной по верхнему пределу интеграла минус производную по нижнему пределу: С учётом этого положения плотность распределения случайной величины Y (произвольной функции от случайного аргумента) будет определяться формулой: (3) Где - это число пересечений функции линией, соответствующее значению y:}

_{17.Законы распределения функции от произвольного числа случайных аргументов Пусть задана система случ величин Х, Y с известной плотностью распределения , также задана некоторая функция от случ аргументов: .Требуется определить функцию распределения случайной величины и плотность её распределения и . Представим функцию в виде некоторой поверхности:}

_{Если сделать сечение этой поверхности плоскостью, параллельной плоскости xOy, на некоторой высоте , то область D будет ограничена линией уровня, которая представляет собой линию сечения поверхности данной плоскостью. При известной плотности распределения системы функцию распределения величины можно представить в виде: (1) Т.е. функцию распределения величины равняется вероятности того, что случайная точка (x, y) попадёт в область D.}

_{18.Предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Эти закономерности отражают устойчивость массовых случайных явлений. В широком смысле под устойчивостью понимается то, что при очень большом числе случайных явлений средний результат перестаёт быть случайным. В узком смысле под устойчивостью понимается ряд, в каждом из которых устанавливается факт приближения степени результатов опыта к некоторым определённым постоянным. Другая группа теорем устанавливает условия, при которых наступает определённый закон распределения случайной величины. Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева утверждает: каково бы ни было положительное число , вероятность того, что случайная величина Х отклонится от мат ожидания на величину, большую или равную этому числу (числу ), ограничена сверху величиной , т.е. справедливо неравенство: (1) , где - мат ожидание случайной величины; - дисперсия. Док-во: Приведём доказательство этого неравенства для дискретной случ величины (оно здесь более наглядно). Представим дискретную случайную величину в виде точек на числовой оси:На этой оси отложим точку, соответствующую матем ожиданию, относительно которой отложим отрезки - и . Известно, что дисперсия дискретной случайной величины:(2). Наряду с выражением (2) рассмотрим две суммы: (3) /\ (4). - это точки лежащие правее/левее отрезков - и .. Из выражений (2), (3) и (4) можно записать систему неравенств: (5). Выражение (4) можно представить в виде: (6). Тогда можно записать неравенство в виде: (7) Отсюда следует: . Аналогичным образом это неравенство можно доказать и для непрерывной случайной величины.}

_{19.Частная и общая теоремы Чебышева устанавливает связь между среднеарифметическим результатом наблюдений за случайной величиной и её мат ожиданием. Пусть имеется некоторая случайная величина Х, над которой проводятся результаты наблюдений (опыт):Х1,Х2,Хn. При этом каждый из n опытов независим, а результат опыта рассматривается как случайная величина с характеристиками, соответствующими характеристикам исследуемой случайной величины, т.е. можно записать: (1), (2), Где и - соответственно мат ожидание и дисперсия случайной величины Х. Известно, что среднеарифметическое результатов наблюдения определяется по формуле: (3). Т.е. среднеарифметическое результатов наблюдений представляет собой произведение неслучайной величины на сумму случайных величин с одинаковыми характеристиками.}

_{Определим характеристики среднеарифметического результатов наблюдений. Матем ожидание будет равно: (4). На основании теоремы о мат ожидании произведения неслуч величины на случайную и теоремы о мат ожидании суммы случайных величин выражение (4) можно записать в виде: (5). С учётом равенства (1) данное выражение также можно представить: (6). Таким образом, матем ожидание среднеарифметического результатов наблюдений равняется мат ожиданию случ величины. С учётом того, что случайные величины Х1,Х2,..Хn независимы, и дисперсии этих случайных величин равны между собой, то на основании теоремы о дисперсии произведения неслуч величины на случ и теоремы о дисперсии суммы независимых случ величин дисперсию среднеарифметического значения можно записать в виде: (7). Таким образом, дисперсия среднеарифметического значения в n раз меньше дисперсии исследуемой случ величины. На основании выражений (6) и (7) Чебышевым была сформулирована теорема. "Т" При достаточно большом числе независимых испытаний над случайной величиной Х среднеарифметическое результатов наблюдений сходится по вероятности к мат ожиданию случайной величины Х. Эта теорема в аналитическом виде задаётся выражением: (8) где и (дэльта)– сколь угодно малые, но конечные величины. Док-во: На основании неравенства Чебышева с учётом выражения (6) и (7) можно записать: (9). Если от неравенства (9) на основании понятия о противоположном событии перейти к неравенству вида: (10), то можно заметить, что для любого числа (дэльта) можно подобрать такой объём выборки n, что будет выполняться условие: (11). С учётом неравенства (11) неравенство (10) можно записать в виде: (12), чтд. Общая теорема Чебышева формулируется следующим образом: "Т" Если случ величины независимы с мат ожиданиями , в общем случае неравными друг другу, и дисперсиями , также неравными друг другу, то максимальное значение дисперсии ограничено сверху некоторой величиной , тогда справедлива теорема: Среднеарифметическое результатов наблюдений над данной системой случ величин сходится по вероятности к среднеарифметическому их мат ожиданий при неограниченном увеличении числа опытов над данной системой. Данная теорема записывается в виде: (13) где и (дэльта) – сколь угодно малые величины.}

_{20.Теорема Бернулли и Пуассона Частным случаем теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона. Известно, что если проводится серия опытов, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью Р, то статист вероятностью данного события будет являться выражение: - (1), где n – число опытов, m – число опытов, в которых появилось событие. Теорема Бернулли утверждает: При неограниченном увеличении числа опытов, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью Р, статистич частота этого события сходится по вероятности к вероятности появления события в отдельном испытании. Данную теорему можно записать в виде: - (2)где и (дельта) – сколь угодно малые, но конечные величины. Док-во: статист вероятность события можно представить в виде суммы случ величин, делённой на число испытаний: -(3). При этом каждая из случайных величин независима от других (тк опыты независимы). Эти случ величины имеют одно и то же распределение вида: /\ (). Соответственно, характеристики каждой из случайных величин таковы: /\ На основании теорем о числовых характеристиках можем записать, что мат ожидание статистич вероятности равняется: -(4) То есть мат ожидание статист вероятности равняется вероятности появления события в отдельном испытании. На основании теоремы о дисперсии функции от случ величин дисперсия статистич вероятности будет определяться выражением: -(5) С учётом характеристик статистич вероятности неравенство Чебышева можно записать в виде: -(6). Данное неравенство, выраженное через противоположное событие, будет иметь вид: -(7) Для любого можно подобрать такое число наблюдений , что будет выполнено условие: , какое бы ни было; -(8) тогда можно перейти к неравенству вида: -(9). Если проводится испытаний и в каждом испытании вероятности появления события различны, то в этом случае справедлива теорема Пуассона, утверждающая: Если проводится испытаний и в i-том испытании вероятность появления события равна , то при неограниченном увеличении числа опытов статист вероятность сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей появления событий. (Это частный случай общей теоремы Бернулли). Записывается эта теорема в виде: - (10)}

_{21. центральная предельная теорема. Все рассмотренные формы предельных теорем утверждают одно:сходимость по вероятности тех или иных случайных величин (матем ожидания, вероятности появления события) к определённым постоянным. Ни в одной из этих теорем не рассматривается вид закона распределения различных композиций случ величин. Предельные законы распределения составляют предмет другой группы предельных теорем. Все формы этих теорем посвящены обоснованию условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Так как эти условия часто выполняются на практике, то нормальный закон распределения является наиболее часто встречающимся законом распределения случайной величины. "Т" Если случайные величины Х1,Х2,..Хn имеют одинаковые законы распределения с равными друг другу матем ожиданиями и равными дисперсиями , то их сумма при неограниченном увеличении числа суммируемых случайных величин стремится (сходится) к нормальному закону распределения, соответственно, с характеристиками: На практике если суммируется порядка 5 и более случ величин, удовлетворяющих условию теоремы, то их сумма приближённо имеет нормальное распределение. Существует ряд других предельных теорем, связанных с обоснованием того, что сумма случайных величин, имеющих различное распределение, но характеристики которых имеют один и тот же порядок при неограниченном числе суммируемых случайных величин, (эта сумма) также стремится к нормальному закону распределения. На основании центральной предельной теоремы сформулированы частная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Частная теорема: "Т" Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие появляется с вероятностью Р и число испытаний неограниченно увеличивается, то биномиальное распределение может быть заменено нормальным, то есть:}