![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •7.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Таким образом или , (7)
- •Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то Динамика твердого тела
- •2) Плоское движение тердого тела.
- •3) Вращение твердого тела вокруг свободных осей.
- •4) Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
- •10 Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •1. Система движется поступательно по отношению к системе.
- •2. Система вращается с угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе.
- •3. Система вращается с угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью и ускорением по отношению к системе.
- •Основное уравнение динамики в нисо.
- •Силы инерции.
- •3.3. Отклонение падающих тел. Маятник Фуко.
2) Плоское движение тердого тела.
Перейдем
к рассмотрению плоского движения
твердого тела. При плоском движении
центр масс С твердого тела движется в
определенной плоскости, неподвижной в
данной К-системе отсчета, а вектор его
угловой скорости все
время остается перпендикулярным этой
плоскости. Последнее означает, что в
С-системе твердое тело совершает чисто
вращательное движение вокруг неподвижной
в этой системе оси, проходящей через
центр инерции тела. Вращательное же
движение твердого тела определяется
уравнением (6.30), которое, как было
отмечено, справедливо в любой системе
отсчета.
Таким образом, мы имеем следующие два уравнения, описывающие плоское движение твердого тела:
|
(6.34) |
где
т - масса тела, -
результирующая всех внешних сил,
и
-
момент инерции и суммарный момент всех
внешних сил относительно оси, проходящей
через центр инерции тела.
При
этом следует помнить, что момент включает
в себя только внешние силы взаимодействия,
несмотря на то что С-система в общем
случае является неинерциальной. Это
связано с тем, что суммарный момент сил
инерции равен нулю как относительно
центра масс, так и относительно любой
оси, проходящей через эту точку. Поэтому
его можно просто не учитывать .
Заметим
также, что угловое ускорение ,
а следовательно,
и
одинаковы
в обеих системах отсчета, так как
C-система движется поступательноотносительно
инерциальной K-системы
отсчета.
Интегрируя
уравнения (6.34) с учетом начальных условий,
можно найти зависимости и
и,
определяющие положение твердого тела
в любой момент t.
При решении задачи о движении несвободноготвердого тела необходимо использовать еще одно, дополнительное, условие, определяющее ограничения движения имеющимися связями. Оно дает кинематическую связь между линейным и угловым ускорениями.
Пример.
Однородный цилиндр массы m и радиуса r
скатывается без скольжения по наклонной
плоскости, составляющей угол с
(рис.6.18). Найти уравнения движения
цилиндра.
Стандартный подход к решению подобной задачи состоит в следующем. Сперва определяют силы, действующие на тело, и точки их
|
Рис. 6.18. Скатывание цилиндра с наклонной плоскости |
приложения.
В данном случае это -
сила тяжести,
-
нормальная составляющая силы реакции
со стороны наклонной плоскости и
-
сила трения покоя. Затем выберем
положительные направления оси х и угла
поворота
.
Эти направления лучше всего взять сразу
согласованными, так чтобы знаки
ускорений
и
были
одинаковы, например, как показано па
рис.6.18, справа. После этого записывают
сами уравнения движения, в проекциях
па выбранные таким образом положительные
направления
и
:
Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет еще кинематическую связь между ускорениями:
Совместное
решение этих трех уравнений дает
возможность найти ускоренияи
также
силу
.
Выведем
уравнение для кинетической энергии
твердого тела при плоском движении.
Пусть тело совершает плоское движение
в некоторой инерциальной K-системе
отсчета. Чтобы найти его кинетическую
энергию Т в этой системе, воспользуемся
формулой (5.12). Входящая в эту формулу
величина в
данном случае представляет собой
кинетическую энергию вращения тела в
С-системе вокруг оси, проходящей через
центр масс тела. Согласно (6.31)
поэтому
сразу можно записать
|
(6.35) |
где -
момент инерции тела относительно оси
вращения, проходящей через его центр
масс,
-угловая
скорость тела, т - его масса,
-
скорость центра инерции тела в K-системе
отсчета
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в С-системе и энергии, связанной с движением центра масс.