Матан. М.В.Ишханян
.pdfТочки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, какое условие непрерывности нарушено:
(1) |
lim |
f ( x) = lim f ( x) = A , но |
f ( x0 ) ¹ A |
либо |
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
|
|
f ( x0 ) |
не определено. В этом случае говорят, что |
x0 – |
|
|
точка устранимого разрыва; |
|
|
|
(2) |
f ( x0 - 0) , f ( x0 + 0) – конечные, |
но не равные между |
собой пределы. Такая точка называется точкой неустранимого разрыва первого рода или точкой разрыва с ко-
нечным скачком функции (говорят, что f ( x) терпит в
точке x0 скачок);
(3)Если в точке x0 функция f ( x) имеет бесконечный предел справа или слева или один из этих пределов не существует, то точка x0 называется точка разрыва второ-
го рода.
Пример 1 Исследовать на непрерывность функцию
|
|
x £ -1, |
-x, |
|
|
f ( x) = x2 , |
|
-1 < x £ 2, |
|
π x |
|
|
||
sin |
4 |
, x > 2 |
и построить её график. |
и sin π x , входящие в опре- |
|
Решение Так как функции − x , x2 |
||
|
|
4 |
деление f ( x) , являются непрерывными элементарными функ-
циями, то функция f ( x) непрерывна всюду кроме, может быть,
точек «склейки» x1 = -1 и x2 = 2 . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:
а) Рассмотрим точку x1 = -1 .
80
f (−1− 0) = |
lim |
(−x) = − (−1) = 1; |
f (−1+ 0) = |
x→−1−0 |
x2 = (−1)2 = 1; |
lim |
||
|
x→−1+0 |
|
f (-1) = -(-1) =1.
Так как f (-1- 0) = f (-1+ 0) = f (-1) =1 , то функция непре-
рывна в точке x1 = −1 . |
= 2 . |
б) Рассмотрим точку x2 |
|
f (2 − 0) = lim x2 = 22 |
= 4 ; |
x→2−0 |
|
f (2 + 0) = lim sin π x = sin π ×2 = sin π =1; |
|||
x→2+0 |
4 |
4 |
2 |
f (2) = 22 = 4 . |
|
|
|
Так как f (2 - 0) = f (2) = 4 ¹ f (2 + 0) =1, то f ( x) в точке x2 = 2 терпит разрыв первого рода. Сделаем чертёж (рис.4.1).
Пример 2 Исследовать |
Рис. 4.1. |
|
|
на |
непрерывность |
функцию |
1
f ( x) = 2x2 (x2 −1) . Сделать эскиз графика.
Решение Функция является элементарной, поэтому непрерывна во всех точках, кроме точек x1 = -1 , x2 = 0 , x3 = 1 , в которых она не определена. Найдём характер разрыва в этих точках.
81
а) Рассмотрим точку x1 = −1 .
|
|
1 |
|
1 |
|
||
f (−1− 0) = |
|
|
x2 (x2 −1) |
= |
= +∞ ; |
||
|
|
lim 2 |
|
||||
lim |
2 |
x2 ( x−1)( x+1) |
|||||
|
x→−1−0 |
|
|
|
x→−1−0 |
||
f (−1+ 0) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
lim |
2 |
x2 ( x−1)( x+1) |
= +0 |
||||
|
x→−1+0 |
|
|
|
|
|
|
(+0 означает, что f ( x) стремится к 0, оставаясь больше 0). |
|||||||
Так как f (−1− 0) = +∞ , |
f (−1+ 0) = 0 , то f ( x) в точке |
x1 = −1 терпит разрыв второго рода. б) Рассмотрим точку x2 = 0 .
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
f (−0) = lim 2 |
|
|
= +0 , f |
(+0) = lim 2 |
|
|
= +0 |
||||
x2 ( x−1)( x+1) |
x2 ( x−1)( x+1) |
||||||||||
x→−0 |
|
|
|
|
|
x→+0 |
|||||
Таким образом, |
|
f |
(−0) = f (+0) = 0 , но f (0) не определена, |
||||||||
следовательно, |
x2 |
= 0 является точкой устранимого разрыва. |
|||||||||
в) Рассмотрим точку x3 = 1 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
f (1− 0) = lim 2 |
|
= +0 ; |
f (1+ 0) = lim 2 |
|
= +∞ |
||||||
x2 ( x−1)( x+1) |
x2 ( x−1)( x+1) |
||||||||||
x→1−0 |
|
|
|
|
|
x→1+0 |
Так как f (1− 0) = +0 , f (1+ 0) = +∞ , то x3 = 1 является точкой разрыва второго рода.
Для построения эскиза графика исследуем поведение функции при x → +∞ и x → −∞ :
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
f (−∞) = lim 2 |
x2 (x2 −1) |
= 2(−∞) |
((−∞) −1) |
= 2 |
|
= 2 |
|
= |
|
|||
(+∞)(+∞) |
= 1+ 0 |
|||||||||||
+∞ |
||||||||||||
x→−∞ |
|
|
= 1+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 2+0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
82
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
f (+∞) = lim 2 |
x2 (x2 −1) |
= 2(+∞) |
((+∞) −1) = 2 |
|
= 2 |
|
= |
|
||||
(+∞)(+∞) |
= 1+ 0 |
|||||||||||
+∞ |
||||||||||||
x→+∞ |
|
|
= 1+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 2+0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(выражение (1+0) означает, что f ( x) |
стремится к 1, оставаясь |
больше 1).
Опираясь на полученные данные, сделаем эскиз графика (рис. 4.2).
Рис. 4.2.
4.4.Свойства функций, непрерывных на отрезке
Первая теорема Больцано – Коши (о нуле непрерывной функции). Если функция f ( x) непрерывна на отрезке
на концах его имеет значения, противоположные по знаку, то f ( x) обращается в нуль по крайней мере в одной точке интер-
вала(a;b).
Вторая теорема Больцано – Коши (о промежуточных зна-
чениях непрерывной функции). Пусть функция f ( x) непрерыв-
на на отрезке [a;b] , причем f (a) = A , f (b) = B . Тогда, каким бы ни было число C , заключенное между числами A и B , на
83
отрезке [a;b] найдется по крайней мере одна точка c , такая, что f (c) = C.
Эти теоремы устанавливают, что, переходя от одного своего значения к другому, функция хотя бы одни раз принимает каждое свое промежуточное значение между ее значениями на концах отрезка.
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непре-
рывной на отрезке функции). Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [a;b] , то она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.
существуют такие числаm и M , что для всех x [a;b] спра-
ведливо неравенство m ≤ f ( x) ≤ M .
Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на отрезке функции своих верхней и нижней граней). Если
функция f ( x) непрерывна на отрезке [a;b] , то она достигает на этом отрезке свои наименьшее и наибольшее значения.
Задачи
Найти и классифицировать точки разрыва:
107. |
y = − |
6 |
. |
|
|
|
|
110. |
y = |
x3 − x2 |
. |
|||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
2 |
x −1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
108. |
y = 2 − |
|
|
|
|
. |
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
111. |
y = |
4 − x2 |
. |
|||||||||
109. |
y = |
1 |
|
|
|
|
112. |
y = 1− 21/ x . |
||||||||||||
1+ 21/ x . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Задание 14
84
Найти и классифицировать точки разрыва:
1
14.1. y = ex−7
14.2. y = 3x + 4 −1 2x2 − 5x − 7
14.3.y = ln ( x − 8)
x− 4
14.4.y =
x2 + x − 20
|
y = 5 |
1 |
|
|
|
|
|
||
14.5. |
11−x |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
14.6. |
y = arctg |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x + 9 |
|
|||
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
||
14.7. |
y = |
|
|
21+ x |
|
||||
|
|
x2 |
−16 |
|
|||||
|
|
|
|
|
14.8.y = x + x + 3
x+ 3
14.9. y = arctg |
|
1 |
|
− x |
|
3 |
14.10.y = ex+5
=20 + x − 5
14.11.y
x2 − 25
14.12.y = ln ( x + 7)
=2 − 2x
14.13.y
x3 − x4
14.14.y = x + x + 2
x+ 21
1
14.15. y = ex+1
14.16. y = |
|
|
|
x2 |
|
|
|||
|
|
x |
− 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
14.17. y = |
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
||
14.18. y = |
|
|
|
|
|
7 + x |
|||
|
|
|
|
|
|
x2 |
− 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
14.19. y = arctg 1 x − 2
14.20.y = 4x
x+ 3 x +1
14.21.y =
x2 + x3
14.22. y = |
|
x |
|
|
|
|
|
||
x − x3 |
||||
|
14.23. y = |
|
|
x −1 |
|||||
|
2x2 − x −1 |
|||||||
|
|
|||||||
14.24. y = arctg |
1 |
|
||||||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
14.25. y = |
|
1 |
|
|
. |
|||
|
|
|||||||
|
1 |
|||||||
1 |
+ e |
x−1 |
|
14.26.y = ln (1+ 2x)
14.27.y = x + x − 5
x− 5
14.28. y = arctg 1 x − 6
1
14.29. y = 31−x
85
14.30. y = |
|
3 |
|
x2 |
− 2x |
||
|
Задание 15
Дана кусочно-заданной функции y = f ( x) . Найти:1) точки раз-
рыва функции, если они существуют;2) скачок функции в каждой точке разрыва. Сделать схематический чертеж графика функции в окрестности каждой точки разрыва.
|
x + 4, |
x < -1, |
||
15.1. |
|
2 |
+ 2, |
-1 £ x <1, |
y = x |
|
|||
|
|
|
|
x ³1. |
|
2x, |
|||
|
cos x, |
x < 0, |
||
15.2. |
|
- x, |
0 £ x £ 2, |
|
y = 1 |
||||
|
|
2 |
, |
x > 2. |
|
x |
|
||
|
-x, |
x £ 0, |
||
15.3. |
y = -( x -1)2 , 0 < x < 2, |
|||
|
|
- 3, |
x ³ 2. |
|
|
x |
|||
|
sin x, |
x < 0, |
||
15.4. |
|
2 |
, |
0 £ x £ 2, |
y = x |
|
|||
|
|
|
|
x > 2. |
|
0, |
|
||
|
x + 2, |
x £ -1, |
||
15.5. |
|
2 |
+1, |
-1 < x £1, |
y = x |
|
|||
|
|
|
|
x >1. |
|
-x + 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
-x |
|
, |
x £ 0, |
π |
|||
15.6. |
|
|
|
|
|
0 < x £ |
||
y = tgx, |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
4 |
|
|
|
|
|
|
x > |
|
|
|
2, |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x +1, |
x £ 0, |
|
|||||
15.7. |
y = ( x +1)2 , 0 < x £ 2, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|
-x + 4, |
|
||||||
|
x, |
|
|
|
x < 0, |
|
||
15.8. |
|
2 |
|
+1, |
0 £ x <1, |
|||
y = x |
|
|
||||||
|
|
- x, |
x ³1. |
|
||||
|
3 |
|
||||||
|
-sin x, |
x < 0, |
||||||
15.9. |
|
2 |
, |
|
0 £ x <1, |
|||
y = x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x ³1. |
|
|
|
2x, |
|
|
|||||
|
x -1, |
x < -1, |
|
|||||
15.10. |
|
|
|
|
|
-1 £ x < 0, |
||
y = -2, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x ³ 0. |
|
|
|
cos x, |
|
|
86
|
x +1, |
|
x < -2, |
|
|
||||||
15.11. |
|
|
|
2 |
+ 2, |
|
− 2 ≤ x < 1, |
||||
y = −x |
|
|
|||||||||
|
|
+ x, |
|
|
x ³1. |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
2x, |
|
|
|
|
x £1, |
|
||||
15.12. |
y = ( x -1)2 , |
|
1 < x < 3, |
||||||||
|
|
- 2x, |
|
|
|
x ³ 3. |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x £ - |
π |
|
|
|||
|
-x, |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
4 |
π |
|
15.13. |
|
|
|
|
- |
< x £ |
|||||
y = tgx, |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
π |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
x > |
|
|
|||
|
x, |
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x - 4, |
|
x < -1, |
|
|
||||||
15.14. |
|
2 |
, |
|
-1 £ x <1, |
|
|||||
y = x |
|
|
|
||||||||
|
|
+ 4, |
|
x ³1. |
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|||||||
|
sin x, |
|
|
x < -π , |
|||||||
15.15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = cos x, - π £ x < π , |
|||||||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
x ³ π . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-x -1, |
|
|
|
x < 0, |
|
|||||
15.16. |
y = ( x + 5)2 , |
|
0 £ x < 3, |
||||||||
|
|
- x, |
|
|
|
x ³ 3. |
|||||
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
4, |
|
|
|
|
x < -π , |
|
|
|||
15.17. |
|
|
|
|
|
|
- π £ x < 0, |
||||
y = cos x, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x ³ 0. |
|
|
|||
|
0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
-x + 3, |
|
x < -2, |
|
|||||||
15.18. |
|
2 |
|
-1, |
|
- 2 £ x <1, |
|||||
y = x |
|
|
|
||||||||
|
|
- 4x, |
|
x ³1. |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ - |
π |
|
|
|||
|
-1, |
|
x |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
4 |
π |
||
15.19. |
|
|
|
|
|
- |
< x £ |
||||||
y = tgx, |
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
||
|
|
2 |
, |
|
x |
> |
π |
|
|
||||
|
x |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
-4x, |
|
|
|
|
x < -1, |
|
||||||
15.20. |
y = -( x -1)2 , -1 £ x <1, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ³1. |
|
|
|
4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 + x, |
|
|
x < -1, |
|
|
|||||||
15.21. |
|
2 |
|
, |
|
-1 £ x < 0, |
|
||||||
y = x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 0. |
|
|
|||
|
sin x, |
|
|
|
|
||||||||
|
2x + 4, |
|
|
x <1, |
|
|
|||||||
15.22. |
|
|
|
2 |
, |
|
|
1 £ x < 3, |
|
||||
y = 3x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
- 2, |
|
|
|
|
x ³ 3. |
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x + 3, |
|
|
|
|
x < -π , |
|||||||
15.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- π £ x < 0, |
|||
y = sin x, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 0. |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x - 3, |
|
|
|
|
x < 0, |
|
|
|||||
15.24. |
|
2 |
|
-1, |
|
|
|
0 £ x <1, |
|||||
y = x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ 6, |
|
|
|
|
|
x ³1. |
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos x, |
|
x < 0, |
|
|
||||||||
15.25. |
|
-1, |
|
0 £ x < 2, |
|
||||||||
y = x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 2. |
|
|
||||
|
2, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 - x, |
|
|
|
|
|
x £ 0, |
|
|
||||
15.26. |
y = ( x + 3)2 , |
|
|
0 < x < 2, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ³ 2. |
|
|
|
2x, |
|
|
|
|
|
|
|
87
|
|
- x, |
x £ - |
π |
|
x < - |
π |
|||||
|
2 |
, |
0, |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
4 |
|
|
π |
2 |
15.27. |
|
|
|
|
- |
< x £ 0, |
|
- |
£ x < π , |
|||
y = tgx, |
|
4 |
15.29. y = cos x, |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0, |
|
|
x > 0. |
|
2, |
x ³ π . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x -1 |
|
x < -1, |
|
|
|
|
|||||
15.28. |
|
2 |
+ 3 |
-1 £ x <1, |
|
|
|
|
||||
y = x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x ³1. |
|
|
|
|
||
|
-2x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x + 2, |
|
x < 0, |
|
|
|
|
|||||
15.30. |
|
|
2 |
+1, |
0 £ x £1, |
|
|
|
|
|||
y = -x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+ 5, |
|
x >1. |
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
Задание 16
Исследуйте на непрерывность функцию f ( x) , сделайте эскиз графика:
1
16.1. f (x) = 2( x−2)2 ( x2 +5 x+4)
1
16.2. f (x) = 4( x−1)2 ( x2 −5 x+6)
1
16.3. f (x) = 3x2 ( x2 −4 x+3)
1
16.4. f (x) = −4( x+1)2 ( x2 −3x+2)
1
16.5. f (x) = −4( x+2)2 ( x2 −6 x+2)
3
16.6. f (x) = 2( x−1)2 (4− x2 )
3
16.7. f (x) = e( x−3)2 ( x2 −4 x)
1
16.8. f (x) = 4( x−2)2 ( x2 −2 x−3)
−2
16.9. f (x) = 5( x+1)2 ( x2 +5 x−6)
−2
16.10. f (x) = −5( x+4)2 ( x2 +5 x)
1
16.11. f (x) = −2( x−3)2 ( x2 −2 x)
2
16.12. f (x) = 2 x( x+2)
88
1
16.13. f (x) = 5( x+3)2 ( x2 +2 x )
5
16.14. f (x) = 2( x−1)( x+2 x)
1
16.15. f (x) = 5( x−2)2 ( x2 −1)
4
16.16. f (x) = −3( x−2)2 ( x2 + x−2)
1
16.17. f (x) = 8( x+4)2 ( x2 +11x+30)
1
16.18. f (x) = e( x+3)2 ( x2 +9 x+20)
1
16.19. f (x) = 3( x+5)2 ( x2 −4 x+3)
−2
16.20. f (x) = 4( x−5)2 ( x2 −8 x+12)
1
16.21. f (x) = −5( x−4)2 ( x2 −13x+42)
1
16.22. f (x) = π ( x+2)2 ( x2 +4 x+3)
89
1
16.23. f (x) = e( x−4)2 ( x2 −4 x−5)
1
16.24. f (x) = −3x2 ( x2 +6 x+8)
1
= 1 ( x+2)2 ( x2 +2 x−3)
16.25. f (x)
2
1 16.26. f (x) = 2( x+3)2 ( x2 +3 x−4)
−2
16.27. f (x) = π ( x−1)2 ( x2 +8 x+12)
|
1 |
||
|
3 |
|
|
( x−5)2 ( x2 − x−2) |
|||
16.28. f (x) = |
|
|
|
|
|||
|
2 |
1
16.29. f (x) = 3( x−3)2 ( x2 −4 x)
−2
16.30. f (x) = 2( x−4)2 ( x2 − x)