Матан. М.В.Ишханян
.pdf245.y = x + 6 - наклонная асимптота, x = 9 - вертикальная
асимптота, y′ = |
x2 −18x + 45 |
, |
y′′ = |
72 |
, |
x =15 |
, |
|
(x − 9)2 |
( x − 9)3 |
|||||||
|
|
|
|
min |
|
xmax = 3.
246.y = x − 3 - наклонная асимптота, x = −1 - вертикальная
асимптота, y′ = |
x3 (x + 4) |
, y′′ = |
12x2 |
, |
x |
= 0 , |
x = −4 . |
|
(x + 1)4 |
(x + 1)5 |
|||||||
|
|
|
min |
|
max |
247.y = x − 3 - наклонная асимптота, x = −1 - вертикальная
асимптота, |
y′ = |
x(x2 + 3x − 2) |
, |
y′′ = |
10x − 2 |
, |
x |
= |
−3 + |
17 |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
(x + 1)3 |
|
|
(x + 1)4 |
|
min |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
−3 − |
|
|
, точка перегиба: x = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
x |
= 0, x |
|
17 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
max |
max |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
248.y = x + 5 - наклонная асимптота, x = 1 - вертикальная
асимптота, y′ = |
(x + 1)2 (x − 5) |
, |
y′′ = |
24(x + 1) |
, |
|
|
x |
= 5, |
||||||||||||||||||||
(x −1)3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)4 |
|
|
min |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x = −1 - точка перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 3 |
|
||||||||||||||
249. |
x = ±1 |
|
- |
|
|
вертикальные |
|
асимптоты, |
y′ = |
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 (x2 − |
1)4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y′′ = |
2x(9 − x2 ) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= − |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
, xmin |
3 , |
xmax |
3 |
точки |
перегиба: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
33 (x2 −1)7 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x = 0; ±3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
250. |
y = 0 |
- |
горизонтальная |
|
асимптота, |
y′ = 2(1− x)e2 x−x2 |
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x =1, точки перегиба: x = |
2 ± |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y′′ = 2(2x2 − 4x +1)e2 x− x2 |
, |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
251. |
- |
горизонтальная |
|
асимптота |
при |
|
x → +∞ , |
||||||||||||||||||||||
|
y′ = (1 − x )e− x , |
y′′ = (x − 2)e− x , |
xmax =1, точка перегиба: x = 2 . |
170
252.y = 0 - горизонтальная асимптота при x → −∞ , x = −1 -
вертикальная асимптота, |
y′ = |
x ex |
, |
y′′ = |
(x2 + 1)ex |
, |
|
(x + 1)2 |
(x + 1)3 |
||||||
|
|
|
|
|
xmin = 0 .
253.y = x + 2 - наклонная асимптота, x = 0 - вертикальная
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , y′ |
|
x2 − x −1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x + 1 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
асимптота при x → 0 + |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
, y′′ |
= |
|
|
|
e x |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
5 |
, |
x |
|
|
|
5 |
, точка перегиба: |
|
x = − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
min |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
254. |
y = x + 7 |
- |
|
наклонная асимптота, x = 0 |
|
|
- вертикальная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0 + 0 , |
|
|
|
|
y′ = |
x2 |
− 9x +18 |
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
асимптота |
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
45x −144 |
9 |
|
|
|
xmin = 6 , |
|
|
|
xmax = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y′′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
, |
|
|
|
|
|
точка |
перегиба: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = 3, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
255. |
x = 0 |
|
|
|
|
- |
|
|
вертикальная |
|
|
асимптота |
|
при x → 0 + 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
y′′ = |
2x2 − 2x +1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y′ = (2x − 1)e x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x , |
xmin = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
256. |
y = 0 |
|
|
|
|
- |
|
|
горизонтальная |
асимптота, |
|
y′ = (1− 2x2 )e− x2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′′ = (4x3 − 6x2 )e− x2 |
, |
|
x |
|
= − |
1 |
, |
x |
|
= |
1 |
|
|
, |
точки перегиба: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
max |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = 0; ± |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
257. |
y = 0 |
|
|
|
|
- |
|
|
горизонтальная |
асимптота, |
|
y′ = 2(x − x3 )e− x2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′′ = 2(2x4 − 5x2 +1)e− x2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = 0 |
, x |
|
= ±1, точки перегиба: |
x = ± |
|
|
17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
min |
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
258. |
y′ = ln x +1, |
y′′ = |
1 |
, |
xmin |
= |
1 |
. |
|
|
|
||||
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|||
|
′ |
= x(2ln x +1) |
, y |
′′ |
= 2ln x + 3 |
− |
1 |
|
|||||||
259. |
2 |
, точка перегиба: |
|||||||||||||
y |
|
|
, xmin = e |
|
−3
x= e 2 .
260.y = 0 - горизонтальная асимптота при x → +∞ , x = 0 -
вертикальная асимптота при x → 0 + 0 , |
y′ = |
1 − ln x |
, x |
= e , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
max |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точка перегиба: |
x = e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
261. |
y′ = |
5x − 2 |
, |
y′′ = |
10x + 2 |
, |
xmin = |
2 |
, |
xmax = 0 , |
точка пере- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 3 x |
|
|
|
|
9 3 |
|
x4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
гиба: |
x = − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
262. |
y = x + π |
|
|
- наклонная асимптота при x → +∞ , y = x − π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||
- |
наклонная |
асимптота |
при x → −∞ , |
y′ = |
x2 + 2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
||
y′′ = − |
|
|
2x |
|
|
, |
точка перегиба: x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
263. |
y = x − π |
- наклонная асимптота при x → +∞ , y = x + π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||
- |
наклонная |
|
|
|
асимптота |
при x → −∞ , |
y′ = |
4x2 −1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 + 1 |
||||
y′′ = |
|
|
16x |
, |
x |
= |
1 |
|
, x |
= − |
1 |
, точка перегиба: |
x = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
(4x2 + 1)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
min |
2 |
|
max |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172
Литература
[1]Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа // СПб.: «Профессия», 2007 г.
[2]Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу.Часть 1. // М.: Дрофа, 2001 г.
[3]Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике
//СПб.: «Лань», 2005 г.
[4]Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций // М.: «Эксмо», 2005 г.
[5]Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике // М.: Издательство Физико-математической литературы, 2009 г.
[6]Сборник задач по высшей математике для экономистов под редакцией В.И. Ермакова// М.: ИНФА-М, 2003с
[7]Шипачев В.С. Высшая математика // М.: «Высшая шко-
ла», 1990 г.
173
Оглавление
Глава 1. |
Функция........................................................................ |
|
3 |
|
1.1. |
Понятие множества .............................................................. |
3 |
||
1.2. |
Определение функции.......................................................... |
7 |
||
1.3. |
Способы задания функции................................................... |
8 |
||
1.4. |
Формы задания функции ..................................................... |
9 |
||
1.5. |
Основные характеристики функции................................... |
9 |
||
1.6. |
Обратная функция |
.............................................................. |
11 |
|
1.7. Основные элементарные функции и их графики ............ |
11 |
|||
1.8. Элементарные преобразования графиков функций........ |
26 |
|||
1.9. |
Построение |
графиков функций с помощью |
||
элементарных преобразований...................................................... |
31 |
|||
1.10. |
|
График дробно-линейной функции .............................. |
35 |
|
Глава 2. |
Числовые последовательности.................................. |
43 |
||
2.1. |
Понятие числовой последовательности ........................... |
43 |
||
2.2. |
Предел последовательности .............................................. |
45 |
||
Глава 3. |
Предел функции.......................................................... |
51 |
||
3.1. |
Понятие предела функции................................................. |
51 |
||
3.2. |
Свойства предела функции................................................ |
53 |
||
3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции....... |
55 |
|||
3.4. |
Сравнение бесконечно малых ........................................... |
56 |
||
3.5. Вычисление пределов в случае неопределенности......... |
59 |
|||
Глава 4. |
Непрерывность функции ........................................... |
78 |
||
4.1. |
Определение непрерывности функции............................. |
78 |
||
4.2. |
Свойства непрерывных функций...................................... |
78 |
||
|
|
|
174 |
|
4.3.Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
……………………………………………………………...79
4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке .................. |
83 |
Глава 5. Производная и дифференциал функции.................. |
90 |
5.1.Понятие производной функции. Правила вычисления
производной.................................................................................... |
90 |
5.2.Производные основных элементарных функций (таблица
производных) .................................................................................. |
94 |
|
5.3. |
Производная степенно-показательной функции ........... |
100 |
5.4. |
Производные высших порядков...................................... |
113 |
5.5. |
Производная функции, заданной параметрически........ |
115 |
5.6. |
Производная функции, заданной неявно........................ |
119 |
5.7.Дифференциал функции. Правила вычисления
дифференциала ............................................................................. |
121 |
5.8.Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора124
5.9. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя......131
Глава 6. Исследование функции. |
Построение графика |
функции……. ............................................... |
.................................139 |
6.1.Возрастание и убывание функции. Точки экстремума.139
6.2. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба ....... |
145 |
|
6.3. |
Асимптоты ........................................................................ |
147 |
6.4. |
Полное исследование функции и построение |
ее |
графика…. ................................................ .....................................152 |
||
Ответы ....................................................................................... |
163 |
|
Литература…………………… ……………………………….173 |
|
175
Св. план 2012г, поз.158
Ишханян Маргарита Владимировна
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть I.
Учебное пособие для направления 080100.62 «Экономика»
Подписано в печать |
Формат 60 Х 84 / 16 |
Заказ № |
Усл. - печ. л. - |
Тираж -150 экз. |
|