- •М.Ю. ДУХОН
- •Часть 2
- •МОСКВА – 2005
- •СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства пределов числовых последовательностей
- •Примеры
- •Свойства бесконечно малых последовательностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства предела функции
- •Примеры решения задач
- •Раскрытие неопределенностей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Рекомендованная литература
- •Задачи для индивидуального выполнения
- •Правила дифференцирования
- •Производные основных элементарных функций
- •Логарифмическая функция
- •Показательная функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Связь между монотонностью функции и ее производной
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод интегрирования по частям
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ДУХОН Михаил Юльевич
- •Часть 2
Пример 2.1.2. Найти производную функции f (x)= sin x.
Решение. По определению производной |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|||
|
sin(x + |
x)− sin x |
|
|
2 cos x + |
2 |
sin |
2 |
|
||
(sin x)′ = lim |
= |
lim |
|
|
|
|
= |
||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
cos x |
||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
sin |
2 |
|
||
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
sin |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
lim cos x + |
|
|
lim |
|
|
|
= cos x, |
|||
2 |
|
x |
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении производной мы воспользовались первым
замечательным пределом: lim sinα = 1.
α→0 α
Производные основных элементарных функций |
|
1) Степенная функция: |
|
(xn )′ = nxn−1 . |
(2.1.10) |
Пример 2.1.3. Найти производную функции f (x)= x4 .
Решение. (x4 )′ = 4 x4−1 = 4 x3 .
Пример 2.1.4. Найти производную функции f (x)= x13 .
1 ′ |
−3 |
|
′ |
|
−3−1 |
|
−4 |
|
3 |
|
|||||
Решение. |
|
|
|
= (x |
|
) |
|
= −3x |
|
= −3x |
|
= − |
|
|
. |
x |
3 |
|
|
|
|
x |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
|
|
|
Пример 2.1.5. Найти производную функции |
f (x)= 3 |
x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение. (3 x )′ |
= x |
|
|
|
= |
1 |
|
x |
|
−1 |
= |
1 |
x− |
|
|
= |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 x2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
Пример 2.1.6. Найти производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= 3x4 −5 x3 + 2 x2 + |
|
|
1 |
|
x + x + 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
4 |
|
|
′ |
|
|
|
|
3 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
2 |
|
′ |
|
|
|
1 |
|
′ |
|
′ |
|
|||||||
|
3x |
|
−5 x |
|
+ 2 x |
|
+ |
|
|
|
x + x + 3 = |
|
(3x |
|
) |
|
−(5 x |
|
) |
|
|
+( |
2x |
|
) |
|
+ |
|
|
|
|
x +( x ) |
|
+(3)′ = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
= 3(x4 )′ −5 (x3 )′ + 2 (x2 )′ + |
1 |
(x)′ |
+ x |
1 |
′ +(3)′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 3 4 x3 −5 3x2 + |
2 |
2 x + |
1 |
+ |
1 |
x− |
|
+0 |
= 12 x3 −15 x2 + 4 x + |
1 |
+ |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2) Тригонометрические функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x)′ = cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.11.) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos x)′ = − sin x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.12.) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(tgx)′ = |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.13.) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ctgx)′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.14.) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.1.7. Найти производную функции f (x)= 3 sin x − 2 cos x.
Решение.
(3 sin x − 2 cos x)′ = (3 sin x)′ −(2 cos x)′ = 3 (sin x)′ − 2 (cos x)′ = = 3 cos x + 2 sin x.
Вычисляя производную, мы воспользовались теоремами2.2-2.4.
66
Пример 2.1.8. Найти производную функции f (x)= x2 sin x.
Решение.
(x2 sin x)′ = (x2 )′ sin x + x2 (sin x)′ = 2 x sin x + x2 cos x.
Пример 2.1.9. Найти производную функции
|
|
|
|
f (x)= |
1 + cos x . |
||||
|
|
Решение. |
|
|
|
sin x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
+ cos x ′ |
(1 + cos x)′ sin x −(1 |
+ cos x) |
(sin x)′ |
||||
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
= |
|
sin x |
sin |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
= |
(− sin x) sin x −(1 + cos x) cos x |
|
= |
− sin2 |
x −cos x −cos2 x |
||||
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
sin2 x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Логарифмическая функция
= − 1 + cos x sin2 x .
(loga x)′ = |
|
1 |
|
. |
(2.1.15) |
||
x ln a |
|||||||
|
|
|
|||||
′ |
|
1 |
|
|
|
||
(ln x) |
= |
|
|
. |
|
(2.1.16) |
|
|
x |
|
Пример 2.1.10. Найти производную функции f (x)= x ln x.
Решение.
(x ln x)′ = (x)′ ln x + x (ln x)′ = ln x + x 1x = ln x + 1.
Показательная функция
(ax )′ = ax ln x. |
(2.1.17) |
(ex )′ = ex . |
(2.1.18) |
67
Пример 2.1.11. Найти производную функции f (x)= x3ex .
Решение.
(x3ex )′ = (x3 )′ ex + x3 (ex )′ = 3x2ex + x3ex .
Обратные тригонометрические функции |
1 |
|
|
|
|
||||
(arcsin x)′ = |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
− x2 |
||||||||
(arccos x)′ = − |
|
1 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
||||||
1 |
1 − x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
(arc tgx)′ = |
|
|
. |
|
|||||
1 + x2 |
|||||||||
(arc ctgx)′ = − |
|
|
1 |
. |
|||||
1 + x2 |
Пример 2.1.12. Найти производную функции f (x)= x2 arcsin x.
Решение.
(x2 arcsin x)′ = (x2 )′ arcsin x + x2 (arcsin x)′ = 2 x arcsin x +
Пример 2.1.13. Найти производную функции f (x)= x arctgx.
Решение.
(2.1.19)
(2.1.20)
(2.1.21)
(2.1.22)
x2 . 1 − x2
(x arctgx)′ = (x)′ arctgx + x (arctgx)′ = arctgx + |
x |
|
|
. |
|
1 + x2 |
||
Пример 2.1.14. Найти производную функции |
|
|
F (x)= esin x . |
|
|
68
Решение. Функция F (x) – сложная функция.
F (x)= f (g (x)), где внутренняя функция g (x)= sin x; внешняя функция – f (t )= et ,(t = sin x). Найдем их производные.
g′(x)= (sin x)′ = cos x. f ′(t )= (et )′ = et .
f ′(g (x))= esin x .
Воспользуемся формулой (2.1.9)
F′ (x)= (esin x )′ = esin x cos x.
Пример 2.1.15. Найти производную функции
F (x)= (x2 + 1)4 .
Решение. Функция F (x) |
– сложная, то есть |
F (x)= f (g (x)), где g (x)= x2 + 1 и |
f (t )= t4 , где t = x2 + 1. |
g′ (x)= (x2 + 1)′ = 2 x. f ′ (t )= (t4 )′ = 4t3 ,
откуда
f ′ (g (x))= 4 (x2 + 1)3 .
Воспользуемся формулой (2.1.9):
F′ (x)= 4 (x2 + 1)3 2 x = 8 x (x2 + 1)3 .
Пример 2.1.16. Найти производную функции
F (x)= arctg2 x.
69
Решение. Внутренняя функция g (x)= arctgx, внешняя функция – f (t )= t2 , где t = arctgx.
g′ (x)= (arctgx)′ = |
|
1 |
; |
|
1 |
+ x2 |
|
||
|
|
|
||
f ′ (t )= (t2 )′ = 2t , |
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
f ′ (g (x))= 2arctgx. |
|
|
||
Воспользуемся формулой (2.1.9): |
|
|
|
|
F′ (x)= 2arctgx . |
|
|
||
1 + x2 |
|
|
|
|
Пример 2.1.17. Найти производную функции |
|
|||
F (x)= sin x3 . |
|
|
|
|
Решение. Внутренняя функция g (x)= x3 , внешняя функция |
||||
– f (t )= sin t ,где t = x3 . |
|
|
|
|
g′ (x)= (x3 )′ = 3x2 ; |
|
|
||
f ′ (t )= (sin t )′ = cos t , |
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
f ′ (g (x))= cos x3 . |
|
|
||
Воспользуемся формулой (2.1.9): |
|
|
|
|
F′ (x)= 3x2 cos x3 . |
|
|
||
Производная обратной функции. |
|
|
|
|
Теорема 2.8. Пусть дана функция |
y = f (x), |
имеющая об- |
||
ратную функцию x = g (y), и пусть функция |
f (x) |
дифференци- |
70