![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •10. Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.
- •11. Уравнение прямой, с угловым коэффициентом.
- •13. Взаимное расположение двух прямых.
- •17. Уравнение плоскости заданной точкой и двумя параллельными ей векторами.
- •18. Уравнение плоскости заданной тремя точками.
- •19. Уравнение плоскости, заданной точкой Мо и вектором нормали. Определение. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.
- •20. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •23. Уравнение прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей.
- •25. Исследование формы эллипса по его уравнению
- •26. . Исследование формы гиперболы по её уравнению
13. Взаимное расположение двух прямых.
Теорема:
Пусть
в некоторой аффинной системе координат
даны две прямые
ℓ1:
А1
х+В1
у+С1
=0 и ℓ2:
А2
х+В2
у+С2
=0. Тогда:1)
ℓ1
=
ℓ2
<= > А1,
В1,
С1
и А2
, В2
, С2
- пропорциональны, то есть:
,
2)
ℓ1
‖ ℓ2
<= >
3) ℓ1 ∩ ℓ2 ≠ Ø <= > А1, В1, С1 и А2 , В2 , С2 - не пропорциональны.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть
для прямых ℓ1
и ℓ2
выполнено условие
=λ
илиА1
=
λ
А2
;
В1
=
λ
В2
;
С1=
λС2
.
Это
означает, что уравнение прямой
ℓ1
можно записать в виде: λ(А2
х+В2у+С2)
=0
<=> любая точка прямой ℓ1
принадлежит прямой ℓ1
то есть эти прямые совпадают.
Достаточность.
Пусть ℓ1 = ℓ2 = > векторы нормали прямых ℓ1 и ℓ2 коллинеарны, то есть А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 . Это означает, что уравнение прямой ℓ1 можно записать в виде: λ(А2 х+В2 )+С1 =0. = > С1 = - λ(А2 х+В2 у) = λС2 = > А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λС2 .
2) Необходимость.
Пусть
для прямых ℓ1и
ℓ2
выполнено условие
.
В этом случае векторы нормалей прямыхℓ1и
ℓ2
коллинеарны, а значит прямые ℓ1
и ℓ2
параллельны, но не совпадают, так как
для совпадения прямых ℓ1и
ℓ2
необходимо и достаточно, что бы
.
Достаточность.
Пусть
ℓ1
‖ ℓ2
.
=
>
что векторы нормалей
и
коллинеарны, а это значит, что А1
= λ А2
;
В1
=
λ
В2
;
но С1≠
λС2
так
ℓ1
≠ ℓ2.
3) Необходимость.
Пусть
ℓ1
∩ ℓ2
≠ Ø.
=
> что
векторы нормали
не коллинеарны, а это значит, что
А1,
В1
и А2
, В2
- не пропорциональны.
Достаточность.
Пусть
А1,
В1
и А2
, В2
- не пропорциональны.
=
>
что векторы нормалей
не
коллинеарны,
а это значит, что прямые
ℓ1
и
ℓ2
не
совпадают и не коллинеарны => прямые
ℓ1
и
ℓ2
пересекаются
.
14. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали.
Определение. Вектор перпендикулярный плоскости α называется вектором нормали плоскости α.
Очевидно, что существует множество векторов нормали для конкретной прямой, все они коллинеарны между собой.
Задача составления уравнения прямой, заданной точкой и вектором нормали, является метрической задачей. Метрические задачи обычно рассматриваются в прямоугольной системе координат.
Введём
на плоскости прямоугольную систему
координат R(O,).
В которой зададим точку М0,
вектор
и
рассмотрим прямую, проходящую через
точку М0
перпендикулярно вектору
.
Очевидно,
что произвольная точка М принадлежит
прямой ℓ тогда и только тогда когда
.
Условием перпендикулярности векторов
является равенство нулю их скалярного
произведения. Учитывая то, что
получаем:
Уравнение
называется уравнением плоскости,
заданной точкой Мо(хо,уо)
и вектором нормали
.
15. Расстояние от точки до прямой.
Определение.
Расстоянием
от точки М до прямой
ℓ
является длина перпендикуляра, опущенного
из точки М на l прямую ℓ.
Теорема
IV.
Расстояние
от точки
М0(
x0
;
y0
)
прямой
ℓ,
заданной уравнением общего вида : ℓ:
Ах+Ву+С=0, вычисляется по
формуле
:
.
Доказательство.
Пусть
в прямоугольной системе координат
задана прямая ℓ: Ах+Ву+С=0 и т. М0(x0;
y0),
не
лежащая на этой прямой . Вычислим
расстояние от точки Мо
до прямой ℓ. Заметим ,что
=>
||
,
где точка Н – основание перпендикуляра,
опущенного из точки М0
на прямую ℓ, координаты которой Н( xH;
yH
).(Рис.).Тогда
Откуда
следует, что ρ(М0,ℓ)
= ǀНМǀ=ǀ(,
)ǀ/ǀ
ǀ.
Учитывая, что (
,
)=
А(xH-x0)
+B(yH-y0);
и так как точка Н лежит на прямой ℓ, то
есть АхН
+ ВуН
+ С=0, получаем:
.
16. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С.
Теорема
III.
Если
в аффинной системе координат дана
прямаяℓ: Ах+Ву+С=0, и точка М1(x1;y1),координаты
которой удовлетворяют неравенству Ах1+
Ву1+
С > 0, то точка М1
лежит
по одну сторону от прямой ℓ с концом
вектора
,
если его начало приложить к некоторой
точке прямойℓ. Если координаты и точки
М1(x1;y1)
удовлетворяют неравенству Ах1+
Ву1+
С< 0, то точка М1
с концом вектора
лежат
по разные стороны от прямойℓ, если
начало вектора приложить к некоторой
точке прямой ℓ.
Доказательство.
Прежде,
чем привести доказательство сформулированной
теоремы, заметим, что вектор
не параллелен плоскостиα.
Для того чтобы убедиться в этом проверим
условие параллельности вектора
плоскости
α : А2
+
В2
+ С2
≠
0.
Пусть
в пространстве введена аффинная система
координат R=(О)
и дан многочленАх+
Ву+ Сz+D.
Если в этот многочлен подставит координаты
точки М1,
то значением этого многочлена буде
некоторое число
δ.
Возможны следующие случаи:
.
В случае б) точка М1 принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М1 в двух остальных случаях.
Проведём
через точку М1
прямую М1Н
параллельно вектору
,
Тогда так как
,
то
=λ·
=> хН
-
х1
=
λА; уН
-
у1
=
λВ; . => х1
=
λА + хН
;
у1
=
λВ + уН
(10)
Подставив выражения для x1; y1 и z1 в многочлен Ax + By + C , получаем: δ = Ax1 + By1 + C = λ(А2 + В2 ) + AxH + ByH + C.
Так
как точка Н принадлежит прямой ℓ, то
сумма подчёркнутых слагаемых равна 0.
Таким образом δ = λ(А2
+ В2
). Отсюда получаем, что знак δ зависит
от знака
λ.=>
Если λ > 0 , то вектор
и
вектор
сонаправлены и их концы расположены по
одну сторону отпрямой
ℓ.
Если λ < 0 , то вектор
и
вектор
противоположно направлены и их концы
расположены по разные стороны отпрямой
ℓ.
Теорема доказана.