- •Элементы математической логики Лекция 2. Истинностные функции логики высказываний
- •Формулы логики высказываний
- •Истинностные значения и истинностные таблицы формул логики высказываний
- •Отношение равносильности формул
- •Истинностные функции
- •Совершенные нормальные формы истинностных функций
- •Полные системы истинностных функций
- •Виды формул алгебры высказываний
- •Контрольные вопросы
Элементы математической логики Лекция 2. Истинностные функции логики высказываний
Истинностные значения и истинностные таблицы формул логики высказываний
Отношение равносильности формул
Истинностные функции
Совершенные нормальные формы истинностных функций
Полные системы истинностных функций
Классификация формул логики высказываний
Формулы логики высказываний
Аналогично тому, как с помощью арифметических операций образуются сложные алгебраические выражения, так с помощью логических операций образуются составные высказывания.
Для конструирования составных высказываний используется язык логики высказываний, более бедный, чем любой из разговорных языков, но с правилами, не допускающими исключений и неоднозначного толкования.
Основные символы языка логики высказываний:
Пропозициональные переменные А, В, С,...,А1, В1,..., С5,... – буквы латинского алфавита (атомы), которые используются для простых высказываний.
Логические связки , , , , .
Круглые скобки ( ).
Логические переменные называют пропозициональными. Сокращенная запись формулы, при которой часть формулы обозначается другой буквой, называется пропоциональной формулой.
Определение формулы логики высказываний (пропозициональной формулы )
Любая пропозициональная переменная является пропозициональной формулой .
Если А - пропозициональная формула, то (АВ), (АВ), (АВ), (АВ), (¬А) также является пропозициональной формулой.
Других формул, кроме как полученных из п.1-2, нет.
Пример: САВ - пропозициональная формула; АВ - не является пропозициональной формулой.
Пример. Возьмем выражение (АВ) (СА). Покажем, что оно является формулой алгебры высказываний.
Доказательство: А,В,С – логические переменные, которые являются формулами алгебры высказываний (из 1 пункта определения); (АВ) и (СА) тоже являются формулами по 2 пункту определения.
(АВ) (СА) тоже является формулами алгебры высказываний по 2 пункту определения. Обозначим АВ =, СА = получим которая является пропозициональной формулой.
Примеры формализации высказываний естественного языка с помощью формул алгебры высказываний.
Если число 96 делится на 6, то оно делится на 3.
Обозначим через А высказывание: «96делится на 6», а через В – «96 делится на 3».
Тогда сложное высказывание запишем так: А В.
Число 25 делится на 5, но не делится на 3. Обозначим через А высказывание:
«25 делится на 5», а через В – «25 делится на 3». Тогда запишем так: А¬В.
Истинностные значения и истинностные таблицы формул логики высказываний
Пусть формула А содержит п атомов P1, ..., Рп. Так как каждый атом может принимать одно из двух возможных истинностных значений И или Л, то различных возможных наборов значений п атомов P1, ..., Рп имеется 2n.
Определение. Назовем интерпретацией формулы А логики высказываний всякий набор истинностных значений атомов, входящих в формулу А.
Данная формула в конкретной интерпретации сама принимает одно из истинностных значений И или JI, которое определяется при выполнении в требуемом порядке всех предписываемых формулой логических операций. Пусть, например, необходимо вычислить истинностное значение формулы (¬PQR)SQ при наборе {Р, Q, R, S}= {И, И, Л, И}. Вычисления можно оформить так, что результат выполнения операции подписывается под соответствующим оператором:
( |
¬ |
P |
|
Q |
|
R |
) |
|
S |
|
Q |
|
|
И |
|
И |
|
Л |
|
|
И |
|
И |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
Чтобы найти истинностные значения формулы во всех возможных интерпретациях, строят таблицы истинности. Для примера рассмотрим формулу ¬PQ R (PR).
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
Р |
Q |
R |
¬Р |
¬PQ |
¬PQ R |
Р R |
¬PQ R (PR) |
1 |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
2 |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
3 |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
4 |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
5 |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
6 |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
7 |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
8 |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
Чтобы безошибочно выписать все интерпретации формулы, поступаем следующим образом: определяем различные атомы, входящие в формулу. Пусть число этих атомов п. Тогда существует 2п различных интерпретаций.
В таблицу для первого атома выписываем по строкам сначала 2п /2=2п-1 И, затем 2п-1 Л, для второго— чередуем 2п-1/2 = 2п-2 значений И и Л и т.д., для п-гo атома чередуем И и Л по одному.
Определение. Таблица, содержащая всевозможные интерпретации формулы и соответствующие этим интерпретациям значения формулы, называется истинностной таблицей формулы.
Например, совокупность столбцов 1, 2, 3, 8 есть истинностная таблица формулы ¬PQ R (PR), а совокупность столбцов 1, 2, 3, 6 — истинностная таблица формулы ¬PQ R.
Всякая формула характеризуется своей истинностной таблицей. Одна и та же таблица может отвечать различным формулам.