2.5 Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости).

Предположим, что удельная прибыль от производственной изменяется от 1 до 1 + ₁ , где ₁ может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид : F = (1 + ₁) x₁ + x₂ . Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить все вычисления, необходимые для получения заключительной симплекс-таблицы, то последняя строка будет выглядеть следующим образом :

Базис	B	x1	x2		x3		x4		x5
F(X4)	31/2 +31	0		0		1/4		¼+1		0

Коэффициенты при переменных x₁, x₂, x₅ остаются равными нулю. Это уравнение отличается от уравнения до введения ₁ только наличием членов, содержащих ₁. Коэффициенты при ₁ равны коэффициентам при соответствующих переменных в Р₁-строке в таблице для полученного ранее решения

Мы рассматриваем строку для x₁, т.к. коэффициент именно при этой переменной в выражении для целевой функции изменился на ₁.

Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при значениях ₁, удовлетворяющих условию неотрицательности всех коэффициентов при небазисных переменных в F-уравнении. Т.о. должны выполняться следующие неравенства :

¼+₁ ≥ 0→ ₁ ≥ -¼

Т.о., при уменьшении коэффициента целевой функции при переменной x₁ до значения, равного -¼ + 1 = 0,75 , или при его увеличении оптимальные значения переменных остаются неизменными. Однако оптимальное значение F будет изменяться.

3. Анализ модели на чувствительность.

   Изменение ограничений может привести к недопустимости или неоптимальности предыдущего решения. Рассмотрим этот вопрос более подробно. С этой целью приведём формулировки прямой и двойственной задач, а также симплекс-таблицу для (текущего) оптимального решения исходной задачи.

   Прямая задача Двойственная задача

F = 4x₁ + 6x₂ → max Z = 2y₁ + 3y₂ + 7y₃ +3y₄ → min

x₁ - 2x₂ ≤ 2 y₁ + 2y₂ + y₃≤4

2x₁ + x₂ ≥ 3 - 2y₁ + y₂ + y₃ + y₄≤6

x₁ + x₂ ≤ 7 y₁, y₄, y₃ ≥ 0

x₂ ≤ 3

x₁,x₂≥ 0

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	4	0	0	1	0	-1	3	0
x2	3	0	1	0	0	0	1	0
x1	4	1	0	0	0	1	-1	0
x4	8	0	0	0	1	2	-1	-1
F(X5)	34	0	0	0	0	4	2	M

3.1 Изменение правых частей ограничений

Предположим, что в ограничении x₁ - 2x₂ ≤ 2 правая часть изменилась с 2 на 3. Как это отразится на текущем решении?

Из соотношений двойственности следует, что изменение правых частей ограничений может повлиять только на допустимость решения. Поэтому определим новое решение задачи (обратная матрица в симплекс-таблице для оптимального решения заштрихована). Оно имеет следующий вид :

Р₃ 1 0 -1 3 3 5 новый

Р₂ = 0 0 0 1 * 3 = 3 = столбец Р₀

Р1 0 0 1 -1 7 4 таблицы

Р4 0 1 2 -1 3 14

С Т.к. элементы правой части таблицы остались неотрицательным, состав текущих базисных переменных не изменился. Они приняли только новые значения x₁ = 4; x₂ = 3;

x₃ =5; x₄ =14; x₅, x₆ = 0. Новое значение F =4*4 + 6*3=34.

Рассмотрим случай, когда значения текущих базисных переменных становятся недопустимыми. Предположим, что правые части ограничений (2) и (3) изменились следующим образом : x₁ - 2x₂ ≤ 3, x₁ + x₂ ≤ 1 . Столбец Р₀ вычисляется следующим образом :

Р₃ 1 0 -1 3 3 11 новый

Р₂ = 0 0 0 1 * 3 = 3 = столбец Р₀

Р1 0 0 1 -1 1 -2 таблицы

Р4 0 1 2 -1 3 2

Текущее решение будет недопустимым, т.к. переменная x₁ стала отрицательной.