Оценки экспертной комиссии группы С

Пример 2. Найдите все значения a , при каждом из которых функция f (x)=x2 −| x −a2 | −7x имеет более двух точек экстремума.

(См. критерии задачи 1.)

Комментарий.

Модули раскрыты верно, имеются верные эскизы графиков во всех трех случаях и указаны необходимые свойства функции, ответ верен.

Оценка эксперта: 4 балла.

51

Пример 3.

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

(x −6)2 +(y −12)2 = 4,

(x +1)2 + y2 = a2

имеет единственное решение. (См. критерии задачи 2.)

Комментарий. Подход, как говорят, «в принципе» верен. Одно нужное значение параметра найдено верно и обоснованно (хорошо, что в ответе есть исправление). Так что по критериям менее 2 баллов - не поставить. Нельзя поставить и более 2 баллов, так как не «…получены оба верных значения параметра…»

Оценка эксперта: 2 балла.

52

Пример 4.

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

(x −6)2 +(y −12)2 = 4,

(x +1)2 + y2 = a2

имеет единственное решение. (См. критерии задачи 2.)

Комментарий. Грубо говоря, что-то есть, но не то. Имеется классическая ученическая ошибка с «отбрасыванием» модуля. В итоге, хотя одно значение параметра, при котором происходит касание, и найдено верно, но это – именно то значение, которое не является верным из-за пропущенной второй окружности с центром (-6; 12).

Оценка эксперта: 0 баллов.

53

Пример 5. Условие, см. текст решения. Критерии, см. выше, задача 3

Комментарий. Удивительно, как при абсолютно ясном геометрическом понимании ситуации автор ошибся и при раскрытии модуля, и при приведении подобных, и включил в ответ отрицательные значения параметра.

Оценка эксперта: 1 балл.

54

Пример 6. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение

Комментарий.

Автор верно нашел два «крайних» значения параметра, но явно сэкономил на обоснованиях. Более того, неверно, что изменение числа точек пересечения напрямую связано с изменением знака дискриминанта: при 0 < a < 5 / 4 всегда D > 0 , а число точек пересечения – различное.

Оценка эксперта: 1 балл.

55

Комментарий. Перечислим недочеты. Во-первых, нигде не сказано, почемуa > 0 , хотя это дважды использовано. Во-вторых, нет проверки того,

других корня не меньше 65 аккуратно проведена. Скорее всего, поэтому и левый конец ошибочно включен в ответ.

Оценка эксперта: 2 балла.

56

§6. Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности С6. Критерии проверки и оценки решений.

Содержательно, задание С6 проверяет в первую очередь не уровень математической (школьной) образованности, а уровень математической культуры. Вопрос формирования соответствующей культуры – вещь деликатная и, в целом, формируемая на протяжении нескольких лет.

Вто же время, изменения в формате ЕГЭ связаны, в частности, с тем, что задание С6 по своему тематическому содержанию стало элементарнее,

адля его решения, формально, достаточно простейших сведений типа «сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетна». По этой причине, например, в ЕГЭ-2012 более 12% участников приступали теперь к решению задания С6: оно перестало отпугивать накрученностью своей формулировки. Грубо говоря, не очень подготовленный по синусам, логарифмам или технике дифференцирования ученик, обладающий нормальным здравым взглядом на вещи, достаточно спокойно может получить за С6 и 1 балл, и 2 балла.

Всвязи этим, хотелось бы подчеркнуть, что никаких фактов из теории чисел типа теоремы Вильсона, чисел Мерсенна, малой теоремы Ферма, теории сравнений и т.п. для решения заданий С6 не требуется. Тот, кто эти факты знает, разумеется, может их использовать, но, подчеркиваем, при решении всегда можно обойтись и без них.

В2010 году критерии оценивания выполнения задания С6, в самых общих чертах, были приближены к традиционно сложившейся системе оценивания олимпиадных задач. Конкретная трактовка описанного соответствия зависела от конкретной задачи.

Задача 1 (ЕГЭ-2010).

Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение.

1. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна

2. Так как сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней – нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.

58

3.Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков

упроизведений, которая получится при раскрытии следующих скобок:

(−2 +3 −4 +5 +6 −7)(−13 −14 −15 −16 +17 −18 +19 +20 +21) =1 1 =1.

Ответ: 1 и 4131.

Условия С6 в 2011 и 2012 гг. разбиты на пп. а), б) или а) - в). По существу, задача разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справится с ситуацией в целом. Как правило, решение п.а) весьма несложно и использует умение сконструировать некоторый конкретный пример. В соответствии с таким делением условий, критерии в 2011 и 2012 гг. стали структурно более формализованными. Их текст практически никак не использует тематическую или содержательную фабулу конкретной задачи. Такие изменения были предприняты для большей согласованности и унификации выставляемых экспертами оценок.

Задача 2 (ЕГЭ-2011).

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.

а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.

б) Последовательность может состоять из трёх членов: 252, 2520, 252. в (пример) Приведём пример последовательности из 549 членов:

59

10, 1, 10, 1, 10, …, 1, 10. Сумма её членов равна 10 +11 274 =3024 .

274

в(оценка) Допустим, что в последовательности более чем 549 членов. Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т.д. Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов последовательности не меньше, чем 275 11 =3025 >3024 .

Противоречие.

Ответ: а) нет, б) да, в) 549.

Задача 3 (ЕГЭ-2011).

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18 .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе,

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому k +l + m — количество целых чисел — делится на 9. По условию 27 < k +l + m < 45 , поэтому k +l + m =36 . Таким образом, написано 36 чисел.

б) Приведём равенство 9k −18l = −5(k +l +m) к виду 13l =14k +5m . Так как m ≥ 0 , получаем, что 13l ≥14k , откуда l > k . Следовательно, отрицательных

60