Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы оптимизации.pdf

Скачиваний:

127

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

710.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

0 .	0 .	0 .	0 .
3 .	5 .	4 .	3 .
I n f	9 .	6 .	I n f
x_min	=
1 .	1 .	1 .	1 .
x_max	=
2 .	3 .	3 .	2 .

** * * * * * * *

Ответ

** * * * * * * *

f _ o p t	= 12
x _ o p t	=
2 .	1 .	3 .	2 .
2 .	2 .	2 .	1 .

>d i a r y ( 0 )

4. Задача о загрузке(о рюкзаке или о ранце)

Задача 2 (о рюкзаке) Самолет загружается предметами n различных типов. Каждый предмет типа j дает доход cj тысяч рублей и весит aj тонн. Грузоподъемность самолета – b тонн.

Выбрать предметы, погрузка которых позволит получить максимальный доход без превышения грузоподъемности самолета.

Сначала рассмотрим задачу в общей постановке.

	n∑
	n
max	{j=1	c		x	;
f1(y1) = x1;:::;xn	{j=1	j			j }
	j=1 aj xj y1;
	x∑	0	– целые,			j	2	1 : n	,
	j		– целые,				2		,

y1 = b.

Легко вывести рекуррентные уравнения Беллмана для процедуры обратной прогонки.

max	fcnxng ;
fn(yn) = xn=0;1;:::;[b=an]	fcnxng ;
max	fcj xj + fj+1(yj aj xj )g ;
fj (yj ) = xj=0;1;:::;[b=aj]	fcj xj + fj+1(yj aj xj )g ;
	j = n 1; : : : ; 2; 1

Здесь квадратные скобки в выражении [b=aj ] используются для обозначения целой части числа b=aj , стоящего в этих скобках.

Другие обозначения:

cj – доход, получаемый от перевозки одного предмета типа j;

aj – вес этого предмета,

xj – количество предметов j-го типа (управление),

yj – часть грузоподъемности самолета, выделенная для предметов j; j + 1; : : : ; n (состояние),

fj (yj ) – максимальный доход от погрузки предметов j; j + 1; : : : ; n; если в самолете выделено yj тонн под эти предметы.

Решим следующую конкретную задачу с помощью этого рекуррент-

ного уравнения.
max	f	65x		+ 80x		+ 30x	3g	;
f1(y1) = x1;x2;x3	f		1		2		3g

2x1 + 3x2 + 1x3 y1, xj – целые, y1 = 5:

В таблицах 13 – 15 выполнены все вычисления, необходимые для получения оптимального решения.

При заданном y1 = 5 оптимальным решением является x = (2; 0; 1); а суммарная стоимость груза равна 160.

Этап 3. Предметы 3 типа.
				max		f	30x		; max x			= [5=1] = 5
			f3(y3) = x3			f		3g			3
														Оптимальное
					30x3									решение
	y3	x3=0	x3=1	x3=2				x3=3		x3=4			x3=5	f3(y3)	x3
	0	0	–	–				–		–			–	0		0
	1	0	30	–				–		–			–	30		1
	2	0	30	60				–		–			–	60		2
	3	0	30	60				90		–			–	90		3
	4	0	30	60				90		120			–	120		4
	5	0	30	60				90		120			150	150		5

Таблица 13: Задача о рюкзаке, этап 3

Этап 2. Предметы 2 и 3 типа.

f2(y2) =

max

80x + f

) ; max x

= [5=3] = 1

x2 f

80x2 + f3(y2 3x2)

Оптимальное

решение

x2 = 0

x2 = 1

f2(y2)

0+ 0= 0

–

0+ 30=30

–

0+ 60=60

–

0+ 90=90

80+0 = 80

0+120=120

80+30=110

120

0+150=150

80+60=140

150

Таблица 14: Задача о рюкзаке, этап 2

Этап 1. Предметы 1, 2 и 3 типа.

f1(y1) =

max

65x + f

) ; max x

= [5=2] = 2

x1 f

65x1 + f2(y1 2x1)

Оптимальное

решение

x1 = 0

x1 = 1

x1 = 2

f1(y1)

0+ 0= 0

–

0+ 30= 30

–

0+ 60= 60

65+ 0= 65

–

0+ 90= 90

65+30= 95

–

0+120=120

65+60=125

130+ 0=130

130

0+150=150

65+90=155

130+30=160

160

Таблица 15: Задача о рюкзаке, этап 1

Заметим, что на этапе 1 достаточно построить только одну строку таблицы для значения y1 = 5: Однако, располагая полной таблицей, можно провести анализ чувствительности решения, то есть посмотреть уменьшение целевой функции при уменьшении грузоподъемности самолета. Вычислительная схема динамического программирования автоматически обеспечивает проведение анализа модели на чувствительность.

Легко решить задачу о рюкзаке и графически. Ничего нового здесь нет, поэтому предлагается сделать это самостоятельно.

4.1. Задача о рюкзаке на компьютере.

Для решения задачи о рюкзаке можно пойти по лёгкому пути, а именно, можно свести задачу к задаче о распределении инвестиций. С точки зрения

математика, задача о рюкзаке — это частный случай задачи об инвестициях с линейной целевой функцией и линейным ограничением. Другими словами, надо построить матрицы C и R, которые фигурировали в предыдущей задаче. В программе это сделано даже двумя способами. Первый из них простой, правда, медленный и громоздкий, а второй, в стиле SciLab – очень быстрый и компактный.

/ /

f u n c t i o n RiukDiCR ( c ,

a ,

b )

/ /

Решение задачи о загрузке самолета методом ДП .

/ /

==== 30 марта 2011

года Визгунов===== НП..======

c l c ,

c l e a r ,

mode ( 0 ) ,

l i n e s ( 0 )

[

] ;

/ /

доход от

перевозки предмета

[

] ;

/ /

вес

этого предмета

5 ;

b ;

/ /

грузоподъемность самолета

= l e n g t h ( a ) ;

/ /

s 9 Кол .

s 9

1 ;

состояний

f l o o r ( b

/ min ( a ) ) ;

/ /

Кол .

управлений

/ /

1 )

Очевидный способ

вычисления

С и

= %inf * o n e s ( u9 ,

n ) ;

R = C ;

/ /

( u 1)

f o r

это количество предметов

f o r

: n

/ /

j номер

temp

= a ( j )

* ( u

1);

предмета

i f

temp <= b

/ /

если предметы помещаются в самолет

C ( u , j ) = temp ;

R ( u , j ) = c ( j ) * ( u 1);

end

C ;

R ;

/ /

2 ) Вычисления С и R

духе

S c i L a b

C = ( 0 : u9 1) ’ * a

I = f i n d ( C > y1 )

C ( I )

= %inf

R = ( 0 : u9 1) ’ * c ;

R ( I )

= %inf

/ /

Теперь почти задача о распределении инвестиций

= %inf * o n e s ( s9 ,

n + 1 ) ;

= X ;

F ( : , n + 1 ) = z e r o s ( s9 , 1 ) ;

f o r j = n : 1 : 1

Fsu

= %inf *

o n e s ( s9 ,

u9 ) ;

f o r s = 1 : s 9

/ / Y j = s 1

f o r u = 1 : u9

/ / X j = u

s s = s C ( u , j ) ;

i f 1 <= s s & s s <= s 9

end

Fsu ( s , u ) = R ( u , j ) + F ( s s , j + 1 ) ;

end

[ f s ,

i n d e x ] =

max ( Fsu ,

’ c ’ ) ;

F ( : , j )

f s ;

X ( : , j ) = i n d e x 1 ;

/ /

Печать

шапки

и таблицы

/ /

======================

	u7 =	1 +	f l o o r ( b /		min ( a ( j ) ) ) ;
	l i n e 5 0 = p a r t ( ’ ’ , o n e s ( 1 , 2 2 ) ) + ’ \| ’ + . . .
	p a r t ( ’ ’ , o n e s ( 1 , 3 + 6 * u7 ) ) ;
	/ / l i n e 5 0 = c o d e 2 s t r ( s t r 2 c o d e ( ’ ’ ) * o n e s ( 1 , 5 8 ) ) ;
	w r i t e ( 6 , ’ ’ )
	w r i t e ( 6 ,		’Этап ’ +		s t r i n g ( j ) )
	w r i t e ( 6 ,		l i n e 5 0 )		/ /	напечатать	50 минусов
	w r i t e ( 6 ,		’ Yj F j ( Yj ) Xj * \| Fsu ’ ) ;
	w r i t e ( 6 , l i n e 5 0 )
	Temp	= [ ( 0	: y1 ) ’ ,		f s ,	( i n d e x	1 ) ,	Fsu ] ;
	d i s p ( Temp ( : , 1			: 3 + u7 ) )
	w r i t e ( 6 , l i n e 5 0 )
end
/ /	Вычислить		и напечать		ответ
/ /	==========================
x _ o p t = z e r o s ( 1 , n ) ;
s = s 9 ;
f o r	j =	1 :	n
	x _ o p t ( j ) = X( s , j ) ;
	s = s a ( j ) * x _ o p t ( j ) ;
end
c ,	a , x _ o p t
w r i t e ( 6 , ’ f _ o p t = ’ + s t r i n g ( F ( s9 , 1 ) ) + . . .
		’ y1 = ’		+ s t r i n g ( y1 ) )
e x e c ( ’ RiukDiCR . s c e ’ ,					0 )
C	=
	0 .		0 .	0 .
	2 .		3 .	1 .
	4 .		6 .	2 .
	6 .		9 .	3 .
	8 .	1 2 .		4 .
	1 0 .	1 5 .		5 .
I	=
	4 .		5 .	6 .	9 .	1 0 .	1 1 .	1 2 .
C	=
	0 .		0 .	0 .
	2 .		3 .	1 .
	4 . I n f			2 .
	I n f	I n f		3 .
	I n f	I n f		4 .
	I n f	I n f		5 .
R	=
	0 .		0 .	0 .
	6 5 .		8 0 .	3 0 .
	1 3 0 . I n f			6 0 .
	I n f	I n f		9 0 .
	I n f	I n f		1 2 0 .
	I n f	I n f		1 5 0 .

Этап 3

Yj F j ( Yj ) Xj * | Fsu

0 .	0 .	0 .	I n f	I n f	I n f	I n f	I n f
1 .	3 0 .	1 .	3 0 .	I n f	I n f	I n f	I n f
2 .	6 0 .	2 .	3 0 .	6 0 . I n f		I n f	I n f
3 .	9 0 .	3 .	3 0 .	6 0 .	9 0 . I n f		I n f
4 .	1 2 0 .	4 .	3 0 .	6 0 .	9 0 .	1 2 0 . I n f

5 . 1 5 0 . 5 . 0 . 3 0 . 6 0 . 9 0 . 1 2 0 . 1 5 0 .

Этап	2
\|
Yj	F j ( Yj )	Xj * \|	Fsu
\|
0 .	0 .	0 .	0 .	I n f
1 .	3 0 .	0 .	3 0 .	I n f
2 .	6 0 .	0 .	6 0 .	I n f
3 .	9 0 .	0 .	9 0 .	8 0 .
4 .	1 2 0 .	0 .	1 2 0 .	1 1 0 .
5 .	1 5 0 .	0 .	1 5 0 .	1 4 0 .

Этап 1

Yj F j ( Yj ) Xj * | Fsu

0 .	0 .	0 .	0 .	I n f	I n f
1 .	3 0 .	0 .	3 0 .	I n f	I n f
2 .	6 5 .	1 .	6 0 .	6 5 .	I n f
3 .	9 5 .	1 .	9 0 .	9 5 .	I n f
4 .	1 3 0 .	2 .	1 2 0 .	1 2 5 .	1 3 0 .
5 .	1 6 0 .	2 .	1 5 0 .	1 5 5 .	1 6 0 .

c	=
	6 5 .	8 0 .	3 0 .
a	=
	2 .	3 .	1 .
x _ o p t		=
	2 .	0 .	1 .

f _ o p t = 160 y1 = 5

Но лучше все-таки обойтись без вычисления матриц C и R, это позволяет сделать программу динамического программирования более простой и компактной, к тому же такая программа позволит решать задачи большего размера.

/ / f u n c t i o n R i u k D i ( c , a , b )

/ /	Программа	R i u k D i . s c e . Нет вычислений С	и R ! ! !
/ /	Решение задачи о загрузке самолета методом ДП .
/ /	===== 30	марта 2011 года ===== Визгунов	НП .

c l c ,

c l e a r ,

l i n e s ( 0 ,

1 0 0 ) ,

mode ( 0 )

/ / доходы =

= [

] ;

/ / вес

предметов =

= [

] ;

/ / грузоподъемность

самолета =

= 5 ;

b ;

= l e n g t h ( a ) ;

/ /

s 9

Кол .

s 9

1 ;

состояний

f l o o r ( b

/ min ( a ) ) ;

/ /

Кол .

управлений

= %inf

o n e s ( s9 ,

n + 1 ) ;

= X ;

F ( : , n + 1 ) = z e r o s ( s9 , 1 ) ;

f o r j = n : 1 : 1

Fsu

= %inf *

o n e s ( s9 ,

u9 ) ;

/ / Y j = s 1

f o r s = 1 : s 9

f o r u = 1 : u9

/ / X j = u

s s

= s a ( j ) *

( u

1);

/ /

C ( u , j ) было

i f 1 <= s s & s s <= s 9

Fsu ( s , u ) = c ( j ) * ( u 1 ) + F ( s s , j + 1 ) ;

			end
	end	end
	end
	[ f s ,		i n d e x ] =		max ( Fsu ,			’ c ’ ) ;
	F ( : , j ) =			f s ;
	X ( : , j ) = i n d e x 1 ;
	/ /	Печать		шапки и		таблицы
	/ /	======================
	u7	=	1 +	f l o o r ( b		/	min ( a ( j ) ) ) ;
	l i n e 5 0 = p a r t ( ’ ’ , o n e s ( 1 , 2 2 ) ) + ’ \| ’ + . . .
	p a r t ( ’ ’ , o n e s ( 1 , 3 + 6 * u7 ) ) ;
	/ / l i n e 5 0 = c o d e 2 s t r ( s t r 2 c o d e ( ’ ’ ) * o n e s ( 1 , 5 8 ) ) ;
	w r i t e ( 6 , ’ ’ )
	w r i t e ( 6 ,			’Этап ’		+	s t r i n g ( j ) )
	w r i t e ( 6 ,			l i n e 5 0 )			/ /	напечатать 50	минусов
	w r i t e ( 6 ,			’ Yj F j ( Yj ) Xj * \| Fsu ’ ) ;
	w r i t e ( 6 , l i n e 5 0 )
	Temp		= [ ( 0	: y1 ) ’ ,			f s ,	i n d e x 1 ,	Fsu ] ;
	d i s p ( Temp ( : ,				1 :	3+	u7 ) )
end	w r i t e ( 6 , l i n e 5 0 )
end
/ /	Вычислить			и напечать			ответ
/ /	==========================
x _ o p t = z e r o s ( 1 , n ) ;
s = s 9 ;
f o r	j	=	1 :	n
	x _ o p t ( j ) = X( s , j ) ;
end	s = s a ( j ) * x _ o p t ( j ) ;
end
c ,	a ,	x _ o p t
w r i t e ( 6 , ’ f _ o p t = ’ + s t r i n g ( F ( s9 , 1 ) ) + . . .
			’ y1= ’			+ s t r i n g ( y1 ) )
/ / e n d f u n c t i o n
e x e c ( ’ R i u k D i . s c e ’ , 0 )
Этап		3

Yj F j ( Yj ) Xj * | Fsu

0 .	0 .	0 .	I n f	I n f	I n f	I n f	I n f
1 .	3 0 .	1 .	3 0 .	I n f	I n f	I n f	I n f
2 .	6 0 .	2 .	3 0 .	6 0 .	I n f	I n f	I n f
3 .	9 0 .	3 .	3 0 .	6 0 .	9 0 .	I n f	I n f
4 .	1 2 0 .	4 .	3 0 .	6 0 .	9 0 .	1 2 0 . I n f
5 .	1 5 0 .	5 .	3 0 .	6 0 .	9 0 .	1 2 0 .	1 5 0 .

Этап 2

Yj F j ( Yj ) Xj * | s u

0 .	0 .	0 .	I n f
1 .	3 0 .	3 0 .	I n f
2 .	6 0 .	6 0 .	I n f
3 .	9 0 .	9 0 .	8 0 .
4 .	1 2 0 .	1 2 0 .	1 1 0 .
5 .	1 5 0 .	1 5 0 .	1 4 0 .

Этап 1

F j ( Yj ) Xj * |

Fsu

0 .	0 .	0 .	0 .	I n f	I n f
1 .	3 0 .	0 .	3 0 .	I n f	I n f
2 .	6 5 .	1 .	6 0 .	6 5 .	I n f
3 .	9 5 .	1 .	9 0 .	9 5 .	I n f
4 .	1 3 0 .	2 .	1 2 0 .	1 2 5 .	1 3 0 .
5 .	1 6 0 .	2 .	1 5 0 .	1 5 5 .	1 6 0 .

c	=
	6 5 .	8 0 .	3 0 .
a	=
	2 .	3 .	1 .
x _ o p t		=
	2 .	0 .	1 .

f _ o p t = 160 y1 = 5

В распечатке представлена также программа полного перебора. Эта программа решает всё ту же задачу. Убеждаемся, что она имеет одно оптимальное решение. Все промежуточные шаги поиска этого решения распечатаны, чтобы алгоритм был более прозрачен.

>w r i t e ( 6 , m g e t l ( ’ R i u k P e . s c e ’ ) )

/ / f u n c t i o n R i u k P e ( c , a , b )

/ /		программа			R j u k P e . s c e			Лабораторная номер 3
/ /		30	марта		2011		года ===== Визгунов НП .
c l c ,			c l e a r ,			l i n e s ( 0 ) ,		mode ( 0 )
c	=	[	65	80		30	]
a	=	[	2		3	1	]
b	=	5 ,		y1	=	b ;

n= l e n g t h ( a ) ;

s 9 = y1 + 1 ;

/ /

s 9

Кол .

состояний

= 1

f l o o r ( b

min ( a ) ) ;

/ /

f l o o r ( max ( b

. /

a ) ) ;

x_min = z e r o s ( 1 , n ) ;

/ /

[ 0

0 ]

x = x_min ;

/ /

[ 2

]

x_max

f l o o r ( b

. /

a ) ;

f _ o p t

= %inf ;

= n ;

w h i l e

i f

x ( j )

<= x_max ( j )

i f

x ’

/ / если

предметы

войдут в самолет

c *

x ’ ;

i f

f _ o p t

d i s p ( ’ f _ o p t < f <<<<<<<<<<<<< ’ )

f _ o p t

x _ o p t

/ / d i s p ( ’

’ )

e l s e i f

f == f _ o p t

d i s p ( ’ f _ o p t == f ============= ’ )

f _ o p t

end

x _ o p t = [ x _ o p t ; x ]

end

n ;

e l s e

/ / x ( j )

x_max ( j )

x ( j ) = x_min ( j ) ;

j	=	j 1 ;
/ /		закончить бесконечный цикл
i f		j <= 1 e 5
end		break
end
end	/ /	i f
x ( j ) = x ( j ) + 1 ;
end / /	w h i l e %t

w r i t e ( 6	, ’ ===== ’ )
w r i t e ( 6	, ’ ответ ’ )
w r i t e ( 6	, ’ ===== ’ )

x _ o p t , f _ o p t

/ / e n d f u n c t i o n

>e x e c ( ’ R i u k P e . s c e ’ , 0 )

c	=
	6 5 .			8 0 .	3 0 .
a	=
	2 .			3 .	1 .
b	=
	5 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	0 .
x _ o p t			=
	0 .			0 .	0 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	3 0 .
x _ o p t			=
	0 .			0 .	1 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	6 0 .
x _ o p t			=
	0 .			0 .	2 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	9 0 .
x _ o p t			=
	0 .			0 .	3 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	1 2 0 .
x _ o p t			=
	0 .			0 .	4 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	1 5 0 .
x _ o p t			=
	0 .			0 .	5 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	1 5 5 .
x _ o p t			=
	1 .			0 .	3 .
f _ o p t		<	f	<<<<<<<<<<<<<
f _ o p t			=
	1 6 0 .
x _ o p t			=
	2 .			0 .	1 .
=====
ответ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015239.62 Кб88методичка по методам оптимальных решений.doc
#
19.11.20194.4 Mб11методичка_2005.doc
#
10.11.201810.9 Mб39Методичка_ММИО в экономике.doc
#
14.04.201910.92 Mб18Методичка_ММИО_2006.doc
#
05.06.20151.29 Mб212Методы оптимизации учебник.pdf
#
05.06.2015710.9 Кб127Методы оптимизации.pdf
#
05.06.201516.59 Кб25МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА.docx
#
06.11.2018191.93 Кб17Методы принятия решения.docx
#
05.06.201597.15 Кб24Методы принятия управленческих решений.docx
#
05.06.201527.45 Кб16методы принятия чел рес Word (2).docx
#
19.11.201920.12 Кб11Методы решения систем линейных уравнений.docx