Исследование операций и методы оптимизации

Таблица 12

L=9×1+1×2+2×4+3×8+5×1+4×2+1×2=58.

3.3. Оптимизация плана ТЗ, распределительный метод

Если в плане есть свободные клетки, для которых стоимость меньше, чем в базисных клетках, то можно передвинуть какую – либо перевозку в эту свободную клетку, но чтобы баланс не нарушался, нужно из строки или столбца, где будет новая базисная клетка, убрать такое же количество груза. Будем ставить (+) там, где перевозка увеличивается и (-) там, где уменьшается.

Пример:

Т.е. необходим перенос по циклу. Назовем циклом замкнутый маршрут, который показывает перенос груза по некоторым клеткам таблицы. В цикле всегда четное число вершин.

Назовем ценой цикла алгебраическую сумму стоимостей перевозок cij, стоящих в вершинах цикла с соответствующими знаками. Цена показывает, насколько увеличится стоимость перевозок в плане, если по данному циклу переносится единица груза. Если γ<0, то стоимость уменьшается. При переносе по циклу величины груза k стоимость уменьшается на L=k γ.

Будем рассматривать только правильные циклы: одна вершина в свободной клетке, а все остальные в базисных. В свободной клетке, знак всегда «+», в остальных вершинах цикла знаки чередуются.

38

Теорема о потенциальном плане ТЗ.

Пусть в базисных клетках стоимость перевозок равна псевдостоимости перевозок cij = c%ij , xij ≥0, а в свободных клетках c%ij ≤ cij , xij = ≥0. Тогда такой план является оптимальным и улучшен быть не может.

Т.е. необходимо показать, что стоимость плана X* является нижней границей и определяется только исходными данными задачи.

Перейдем к другому произвольному плану

m n

{xij*} →{xij′}: L′ = ∑∑cij xij′ . i=1 j=1

В этом плане перевозка из базисной клетки попала в свободную, где

Т.е. любое изменение плана от {xij* } приводит к увеличению стоимости,

следовательно план {x*ij} является оптимальным.

Идея метода потенциалов основывается на этой теореме и заключается в следующем:

1)Составим любой опорный план и, если это необходимо, то дополним до невырожденного.

2)Потребуем в базисной клетке cij = c%ij . Запишем в левом верхнем углу

базисной клетки величины псевдостоимостей, равные стоимостям, стоящим

вправом верхнем углу. Таких клеток m + n – 1.

3)Находим неизвестные нам платежи αi и βj из условий, что их сумма известна для каждой базисной клетки.

41

Необходимо ввести фиктивный пункт отправления (Аф), в котором якобы есть недостающий запас aô = ∑bj −ai , при этом сфj=0, j =1,n . После этого

задача решается обычным способом.

Заметим, что при таком подходе в итоговом оптимальном плане не все заявки будут выполнены.

вычислить коэффициент дефицита:

m

∑ai

k = in=1 .

∑bj

j=1

После этого каждую заявку можно скорректировать:

bj′ = bj k,

∑bj′ = ∑ai .

При этом можно решать задачу с учетом приоритетов на заявку. Величина приоритетов j-го пункта назначения (dj) может быть от 0 до 1 (0≤dj≤1).

n

∑d j =1.

j=1

Чем меньше dj, тем выше приоритет.

=∑bj − ∑ai ,

–величина дефицита.

bj′ = bj − d j .

Пример:

Рассмотрим ТЗ с избытком запасов (58<68), поэтому введем фиктивный столбец, находим опорный план методом минимального элемента, а далее находим цикл с отрицательной ценой (2,1).

Таблица 24

44

{xij} критерий T может не меняться. Критерии такого рода называют гарантирующими или максиминными (минимаксными). Они требуют оптимизации по так называемому «узкому месту». В этом смысле рассмотренный в предыдущих параграфах критерий общей суммарной стоимости перевозок является интегральным критерием.

Т.к. целевая функция T (xij ) имеет нелинейный вид, то для решения ТЗ

по критерию времени нельзя применить теорию линейного программирования. Для ее решения можно построить последовательность нескольких задач линейного программирования. Мы рассмотрим более простой эвристический алгоритм.

Эвристическими алгоритмами называют такие алгоритмы, которые обеспечивают разумность поиска оптимального решения, но не основываются на строгой математической теории и в связи с этим не вполне гарантируют результат (не доказана сходимость к оптимальному решению, не изучена точность и т.п.). Тем не менее, эвристические процедуры чрезвычайно распространены, например, при игре в шахматы, при составлении компьютерных программ и т.д.

Метод запрещенных клеток

1.Находим любой опорный план (необязательно невырожденный).

2.Вычисляем величину критерия для полученного плана T1 = max tij .

{x1ij }

3.Запрещаем все маршруты в свободных клетках, у которых время

tij ≥ T1 .

4. Зафиксируем в плане занятую клетку с максимальным tij (узкое

место).

5. Ищем цикл, при помощи которого можно «разгрузить» эту клетку и переносим по этому циклу перевозку величиной k. Циклы не обязательно должны быть правильными. Причем может быть, что освободить такую клетку можно только за несколько циклов .

6. Получаем план с новым значением T2 = max tij . Запрещаем свободные

{xij2 }

клетки, для которых tij ≥T2 и переходим к п.4.

Повторяем до тех пор, пока будет невозможно составить ни одного цикла, разгружающего занятую клетку с максимальным временем.

46