Исследование операций и методы оптимизации

тать, что X ≥ 0 и λ ≥ 0 ). В седловой точке максимум функции Лагранжа по λ совпадает с минимумом по X .

Необходимыми и достаточными условиями существования седловой точки функции двух векторных переменных являются соотношения

Эти соотношения связаны с фундаментальной теоремой нелинейного программирования Куна-Таккера о том, что решение задачи НЛП находится в седловой точке функции Лагранжа.

Соотношения (6.9) являются не только необходимыми, но и достаточными, если кроме условий (6.9) выполняются условия регулярности Слейтера: в области допустимых решений существует такая точка X, в которой все ограничения не активны, т.е. ϕi(X)<0 для всех i=1,m (в области есть «внутренние» точки).

Теорема Куна-Таккера. Если в задаче НЛП

i=1

все функции выпуклы, а множество допустимых решений, определяемое ограничениями, удовлетворяет условиям регулярности Слейтера, то для оптимальности точки X* необходимо и достаточно выполнение условий (6.9).

Если все ограничения линейные, то условия Слейтера в теореме не обязательны.

6.8. Квадратичное программирование

Задачей квадратичного программирования (КП) называется такая задача НЛП, когда целевая функция представляет собой сумму линейной и квадратичной формы (переменные не старше второй степени), а все ограничения линейные. Для решения таких задач используется симплекс-метод.

Теорема Куна-Таккера позволяет записать условие Куна-Таккера для задачи КП и найти седловую точку. Рассмотрим задачу КП в виде

109

Переход из точки X(k) в X(k+1) осуществляют по такому направлению S(k), чтобы прилуч принадлежал D.

Обозначим g0(X) и gi(X) градиенты функций F(X) и φi(X) в точке X соответственно. Обозначим I(X) множество индексов I таких, что φi(X)=0; I(X) указывает номера ограничений, выполняющихся в точке X точно (I(X) - активные ограничения).

Пусть S- некоторый вектор, S≠0, такой, что для всех выполняется неравенство .

Знак (•)’ обозначает транспортированный вектор (матрицу).

Тогда можно определить λ>0, чтобы . Для этого сначала определим, где di - корень уравнения (если нет решения, то). Затем определим, где Ci –

корень уравнения (,S)=0 (если нет решения, то Ci=). Таким

образом, λ’ выбирается из условия невыхода из области D, а λ’’ из условия попадания в точку экстремума. Тогда, если , то .

Направление S, удовлетворяющее условию (6.15), и называют возможным (допустимым) в точке x0. То из возможных направлений, для которого, кроме этого, выполняется условие , называется подходящим, так как

при движении в этом направлении значения целевой функции улучшаются, не выходя из D (для задачи на минимум ).

Далее находится направление S из подходящих направлений, которое обеспечивает максимально возможное увеличение целевой функции, т.е. на каждом шаге решается вспомогательная задача

Для нормализации длины вектора S используют следующие условия:

,

.

115

Видно, что условие (6.17) уже содержится в N5. Точка X*, является решением, как только . Метод Зой-

тендейка можно применять для любых выпуклых функций F(x) и φi(x), но он может не дать решения за конечное число шагов. Для задачи квадратичного программирования можно с использованием принципа сопряженности обеспечить сходимость за конечное

, где C - положительно полуопределенная матрица квадратичной формы для задачи квадратичного программирования:

Если для определения S(k-1) такое условие уже использовалось, то оно остается, так что все условия сопряженности имеют вид

.

Сопряженность последующего направления предыдущему и обеспечивает конечность шагов при поиске решения для задачи квадратичного программирования. Это условие позволяет совместить траекторию движения с осями поверхности целевой функции.

Рассмотрим пример с нормирующими условиями N5 для задачи квадратичного программирования (6.18), (6.19). Для нее:

.

Длина очередного шага определяется из соотношения:

116

Величина λ′′ определяется из условия попадания в экстремум, т.е.

Подставим выражение градиента, получим

.

Отсюда получаем

Величина λ′ для N5 всегда равна 1.

На рис.42 изображена иллюстрация поиска решения для примера

Для решения неквадратичных задач НЛП принцип сопряженности уже неприменим и для построения алгоритма, сходящегося к решению, приходится применять процедуру изменения длины шага. Рассмотрим такой алгоритм по методу возможных направлений Зойтендейка. При выборе подходящего направления будем принимать во внимание не только те ограничения, которые в данной точке выполняются точно, но и те, которые выполняются «почти точно». В противном случае λ может измельчаться вдали от точки минимума. Дляиоп-

ределим теперь – активное индексное множество. Это те i, для которых , а также i=0, т.е. целевая функция F(x). Для выбора λ и S в точке

для получения следующей точки в соответствии с

методом Зойтендейка необходимо выполнитьусловия невыхода изD, нормировки длины вектора λS и условия большего возрастания (убывания для задачи на минимум) целевой функции. В алгоритме, излагаемом ниже, последнее требование заменятся требованием выбора направления, имеющего наибольший угол к касательным с ограничениями вблизи точки x(k), что дает возможность двигаться с большим шагом, не выходя за пределы D, а длина этого шага выбирается из условия наибольшего увеличения (уменьшения) F(x). В качестве нормировки выберем

117