tvims

и окончательно

24,127 ≤ µ ≤ 25,873 (ц/га).

2.4.2. Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пусть из генеральной совокупности X, распределенной по нормальному закону N(µ;σ), взята случайная выборка объемом n и вычислена выборочная дисперсия S2 . Требуется определить с надежностью γ интервальные оценки для генеральной дисперсии σ2 и среднего квадратического отклонения σ.

Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии

распределение Пирсона с ν = n-1 степенями свободы.

Подробно рассмотрим построение доверительного интервала для второго случая, так как он наиболее часто встречается на практике.

Для выбранной доверительной вероятности γ = 1-α, учитывая, что

Далее по таблице χ2 - распределения нужно выбрать такие два значения χ12 и χ22 , чтобы площадь, заключенная под дифференциальной

функцией распределения χ2 между χ12 и χ22 , была равна γ = 1-α. Обычно χ12 и χ22 выбирают так, чтобы

т.е. площади, заштрихованные на рис. 2.1 были равны между собой.

61

Формула (2.25) используется при решении обратной задачи - нахождении доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии.

Причем P(χ12 ) = P(χ2 > χ12 ) = 1− α2 ;

Преобразуем двойное неравенство в (2.23):

окончательно получим

Это и есть доверительный интервал для генеральной дисперсии, когда неизвестно значение генеральной средней и по выборке объемом n вычисляется выборочная дисперсия S2.

62

Ширина доверительного интервала для генеральной дисперсии

равна

Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения σ при n ≤ 30 равен

При достаточно больших объемах выборки (n > 30) доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения определяется по формуле

где t - нормированное значение нормальной случайной величины, соответствующее заданной надежности γ и определяемое по таблице функции Лапласа Ф(t).

Пример 2.3. По результатам контроля n = 9 деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение S = 5 мм. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена нормально, определить с надежностью γ = 0,95 доверительный интервал для параметра σ.

Решение. Так как n < 30, то используется χ2 распределение. Согласно (2.26)

=n - 1 = 8 и найденных вероятностей 0,975 и 0,025 определяем, что

χ12 = 2,180 и χ22 = 17,535.

Вычисляем χ1 = 218, = 1,47 и χ1 = 17,535 = 419,.

Доверительный интервал (2.30) равен

63

и окончательно

3,58 ≤ σ ≤ 10,2 (мм).

2.4.3. Интервальные оценки для генеральной доли

Пусть в n независимых испытаниях некоторое событие A, вероятность появления которого в каждом испытании равна p, имело место m раз, где 0 ≤ m ≤ n, тогда границы доверительного интервала для генеральной доли определяются из уравнений

Эти уравнения решаются приближенно. Для различных значений m, n и надежности γ могут быть найдены p1 и p2. Могут быть составлены специальные таблицы.

При достаточно больших n (n > 30) можно считать, что частость ω = mn имеет приближенно нормальное распределение с параметрами

p определяется соотношением

где tγ определяется по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t):

64

Пример 2. При испытании зерна на всхожесть из n = 400 зерен проросло m = 384. С надежностью γ = 0,98 определить доверительный интервал для генеральной доли p.

Решение. По таблице интегральной функции Лапласа из условия

γ = Ф(tγ) = 0,98 определяем tγ = 3,06.

Учитывая, что mn = 384400 = 0,96 , определим точность оценки

Доверительный интервал равен

0,96 - 0,03 ≤ p ≤ 0,96 + 0,03

и окончательно

0,93 ≤ p ≤ 0,99

В заключении приведем табл. 2.1, в которой укажем формулы, используемые при интервальном оценивании основных параметров распределений.

Таблица 2.1

Основные формулы, используемые при интервальном оценивании параметров распределений

65

Основные формулы, используемые при интервальном оценивании параметров распределений

66

Пояснения к табл. 2.1.

1.Стрелка вправо (→) означает порядок решения "прямой" задачи, т.е. определения доверительного интервала по заданной доверительной вероятности.

2.Стрелка вправо (←) означает порядок решения "обратной" задачи, т.е. определения доверительной вероятности γ по заданному доверительному интервалу.

3.Ф(t), S(t) и χ2 - соответствующие таблицы законов распределения: нормального, Стьюдента, Пирсона.

4.∆ - точность оценки соответствующих параметров.

5.h = 2∆ - ширина доверительного интервала параметров µ или p.

Тест

1. Какая статистика является несмещенной оценкой математического ожидания:

2. Какая статистика является несмещенной оценкой генеральной дисперсии:

n

∑(xi − x)2

1. S2 = i=1

n

67

3.Какая оценка параметра является несмещенной:

1.Если дисперсия оценки является минимальной.

2.Если математическое ожидание оценки равно значению оцениваемого параметра

3.Если математическое ожидание оценки меньше значения оцениваемого параметра

4.Если расстояние между оценкой и параметром не превышает 3σ

4.Для расчета интервальной оценки математического ожидания µ по выборке объема n, при известной дисперсии, точность оценки определяется по формуле:

1

1. ∆ = t γ n − 3

1

4. ∆ = t γ n − 4

5. Для расчета нижней границы доверительного интервала математического ожидания µ, при неизвестной дисперсии, используют формулу:

68