41_4_Econometrics_Polyansky__Part_4

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Решение.

Для исследования статистической однородности двух выборок разра-

ботаны несколько подходов. Например можно:

1)

построить и сравнить интервальные оценки параметров регрессии

для каждой выборки отдельно. Если доверительные интервалы пересекают-

ся,

значит можно строить единую модель.

2)

использовать различные критерии однородности выборок, напри-

мер, критерий Г.Чоу.

Последний критерий наиболее употребим и распространен из-за своей

простоты и надежности. В целом его суть состоит в следующем.

Пусть 1-я выборка имеет объем n1 =20 , 2-я -

n2 =10 . Объединенная

выборка имеет объем n =n1

+n2

=30 .

а)

Для каждой выборки строится своя регрессионная модель:

yi

=b0( 1 ) + ∑p

b(j

1 ) xij

+ε i( 1 ) ,

i =1,2 ,...,n1 ;

j =1

yi

=b0( 2 ) +∑p

b(j

2 ) xij

+ε i( 2 ) ,

i = 1,2 ,...,n2 ;

+∑p

j=1

y =b0

b j x j

+ε ,

i = 1,2 ,...,n .

j=1

б) Выдвигается гипотеза о равенстве векторов коэффициентов регрес-

сии и дисперсий возмущений

(статистической однородности) 1-й и

2-й мо-

делей:

H 0

:

b( 1 ) = b( 2 ) ,

D( ε ( 1 )

) = D( ε ( 2 )

) =σ 2 .

в)

H 0

отвергается на заданном уровне значимости α, если

F =

( Se − Se( 1 ) − Se( 2 ) )( n − 2 p − 2 )

> Fα; p+1 ;n−2 p−2 ,

( Se( 1 ) + Se( 2 ) )( p + 1 )

где

Se( 1 ) = ∑n1

( ei( 1 )

)2 ;

Se( 2 )

=∑n1

( ei( 2 ) )2 ;

Se

= ∑n

ei2

- остаточные

суммы

i =1

i =1

i =1

квадратов соответственно для 1-й, 2-й и объединенной выборок.

Работаем с 1-й моделью.

Запустим инструмент «Регрессия»

пакета

анализа, поставив в диалоговом окне (рис.4.12) галочку в поле «Остатки».

Результат лучше вывести на отдельный лист.

В полях «Входной интервал Y»

и «Входной интервал X» инструмента зададим ячейки расчетной таблицы,

относящиеся

к первой выборке, т.е. соответственно ячейки G6:G25 и

С6:F25.

Лист с итогами расчета назовём

«1-я подвыборка», щёлкнув два-

жды мышкой на названии листа.

На

нем

в

таблице

«Вывод остатка» по-

лучим

(в

квадраты

остатков

ячейках

D28:D47). Для этого в

D28

введём

формулу

«=C28*C28»

и протя-

нем по D28:D47. А за-

тем в ячейке

D48 по-

лучим

сумму

«=СУММ(D28:D47)»:.

Можно

использовать

также

встроенную

функцию

СУММКВ

(попробуйте

самосто-

ятельно).

Аналогично

получаем

Рис. 4.12

Se( 1 ) =∑n1

( ei( 1 ) )2 =65,98 ; Se( 2 )

= ∑n

( ei( 2 ) )2 =6,91;

Se =∑n

ei2

=127,45.

i =1

i=n1 +1

i =1

Чтобы было удобно, расчеты проведем на основном листе под расчет-

ной таблицей, сведя вместе ссылками полученные суммы (рис.4.13).

Осталось только вычислить F -статистику. Запрограммировав её

формулу «=((B41-B39-B40)*(A35-2*B38-2))/((B39+E40)*(B38+1))», получим

F = 3,307 > Fα; p+1;n−2 p−2

= F0 ,05 ;4+1;30−2 4 −2 = F0 ,05 ;5 ;20 = 2,71.

Есть основания отвергнуть нулевую гипотезу о статистической одно-

родности 2-х выборок. Данные первых 20-ти и послед-

них 10-ти квартир приведенного списка нельзя объеди-

нить в одну выборку и строить по ней одну регрессион-

ную модель. Такой результат возможен из-за различных

причин. Например, потому, что две подвыборки получе-

ны в несколько разное время или данные из не очень до-

Рис. 4.13

стоверных источников. Кроме того, сами объемы выбо-

Решение.

В данной модели объясняющая пере-

менная

X -

среднедушевой

доход семьи

(тыс.руб.

на

1

чел. в месяц),

объясняемая

переменная

Y -

среднедушевой расход се-

мьи (тыс.руб. на 1

чел. в месяц). Объем вы-

борки n =15 (в учебных целях он намерен-

но взят небольшой, в действительности же-

лательно иметь существенно больший объ-

Рис. 4.14

ем выборки).

непостоянство

дисперсий

Как известно, гетероскедастичность –

ошибок регрессии для различных участков исследуемого диапазона объяс-

няющей переменной

X : D( ε i ) ≠ D( ε j ) ( i =1,2 ,...,n , j =1,2 ,...,n , i ≠ j ).

Это явление «вредное». Оно существенно «портит» результаты статистиче-

ского анализа, снижает точность модели и требует устранения.

Конкретно

гетероскедастичность

выражается в том, что при различных

X

разброс

наблюдаемых значений от прогнозных существенно непостоянен.

На гра-

фике регрессии

Y

на

X это выражается в том, что наблюдаемые значения

располагаются внутри полосы, ширина которой непостоянна

(см. далее

рис.4.15).

1) Сначала необходимо упорядочить данные расчетной таблицы по

возрастанию

X (не потеряйте соответствия строк в столбцах Y и X ).

Найдем оценки коэффициентов парной линейной регрессии

(с помо-

щью любого из известных средств, например Пакетом анализа):

ˆ

=

0 ,497

,

ˆ =

0 ,044 , т.е. искомая модель

ˆ =

0,044

+

0,497 x .

b

a

y

2) Построим общий точечный график наблюдаемых (эксперименталь-

ных) и прогнозных (оценочных) значений (рис.4.15).

Анализ графика пока-

зывает,

что разброс наблюдаемых значений от прямой линии регрессии

непостоянен при малых и больших X .

Воображаемая полоса, внутри

которой находятся эксперимен-

тальные точки,

расширяется с

ростом

X . Это внешний при-

знак

гетероскедастичности.

В

линейной

регрессии

это

часто

очевидно.

В нелинейной,

когда

сама

линия

регрессии

может

сильно

изгибаться,

разброс

наблюдать

сложнее.

Тогда

можно

проанализировать

гра-

фик

остатков

ei

=

yi

−

ˆ

yi

(рис.4.16).

Напомним,

чтобы

получить прогнозные значения

Рис. 4.15

Y

и остатки,

можно при вызове

инструмента

«Регрессия» паке-

та анализа Microsoft

Excel

по-

ставить

галочку

в

поле

«Остатки» (см.

рис.1.30 зада-

чи 1.4).

Для дальнейших расче-

тов

скопируем

рассчитанные

пакетом анализа значения

ˆ

и

yi

ei

в расчетную таблицу

в

столбцы D

и E (см. рис.4.17).

Рис. 4.16

Удобно графики

(рис.4.14 и 4.15) размещать один под другим в одном

масштабе по

OX для сопоставления. Видно,

что разброс остатков суще-

ственно непостоянен по

X ,

т.е.

в модели имеет место гетероскедастич-

ность.

3) Однако, такую визуальную картинку можно получить не всегда. Да

и степень проявления гетероскедастичности трудно оценить «на глаз».

Проверим предварительный вывод о наличии в данной модели гетеро-

скедастичности с помощью теста ранговой корреляции Спирмена [17].

В его основе лежит идея о том, что в случае гетероскедастичности аб-

солютные величины регрессоров

xi и остатков ei коррелированны. Надо

проанализировать коэффициент ранговой корреляции этих величин

6∑n

d i2

ρ x ,e = 1 −

i =1

,

3

n − n

Аналогично поступим с

ei

. Упорядочим таблицу по столбцу G. В

столбце I получим ранги N e

наблюдений в порядке возрастания

ei

.

!

Внимание! После вычисления рангов таблицу необходимо опять упо-

рядочить по исходному возрастанию xi .

В столбце J

вычислим разности

рангов

d i

= N x i

− N e i

, только что

полученных в столбцах H и I, а в столбце K –

квадраты разностей di2 .

Остается только в ячейке K17 вычислить

∑n

d i2 , т.е. просуммировать

данные ячеек K2:K16.

i =1

Получены все предварительные данные. Вычислим в ячейке C21 ко-

эффициент Спирмена,

введя формулу

«=1-(6*K17)/(B17*B17*B17-B17)».

Полученное значение

ρ x ,e =0 ,757 достаточно близко к

1,

что свидетель-

ствует о наличии между абсолютными величинами регрессоров xi

и остат-

ков

ei

достаточно тесной корреляционной связи. В анализируемой выборке

присутствует гетероскедастичность.

коэффициент?

Насколько ему

Но насколько значим

полученный

«можно доверять»?

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена значим на уровне α,

если t-статистика Стьюдента при числе степеней свободы

(n-2)

t

=

ρ x ,e

n −

2

> t1−α;n−2 .

Рассчитаем

1 − ρ x2 ,e

в

ячейке

по

формуле

t-статистику

Стьюдента

C22

«=ABS(C21)*КОРЕНЬ(B17-2)/КОРЕНЬ(1-C21*C21)»:

t

= 4 ,179 .

Табличное значение t1−α;n−2

и степе-

нях

для уровня значимости

α =0 ,05

свободы

n − 2 = 15 − 2 = 13

найдем

по

таблице

2

приложения:

t1−α;n−2

= 2 ,16 .

Так как

t

= 4 ,179 > t1−α;n−2

= 2 ,16 , то коэффициент Спирмена значим

на указанном

уровне.

4) Кроме теста Спирмена для выявления гетероскедастичности широ-

ко используется тест Голдфелда-Квандта. Его общая идея: гетероскедастич-

ность наблюдается в случае, если дисперсии остатков существенно различ-

ны для двух наборов по k наблюдений,

взятых из различных частей упоря-

доченной выборки. Гипотеза

H o

об отсутствии гетероскедастичности от-

вергается, если

F = S max

> F

− p

,

Smin

α;k − p ;k

Здесь

Smax

=max S1 ; S2 ,

Smin =min S1 ; S2

;