41_2_Econometrics_Polyansky__Part_2

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

M18 с помощью встроенной функции СРЗНАЧ (впрочем, возможно и с помощью СУММ). Чтобы итоговые результаты расчетов были собраны вместе, в ячейке K27 сделаем ссылку на полученное значение «=M18» (рис.2.5).

5) Получим уравнение линейной регрессии и её показатели. Возможно, она окажется для приведенных данных более точной, чем квадратичная… Вычисления удобно производить на новом листе, подписав его «Линейная». Лист с предыдущими расчетами назовем «Квадратичная» (щелкнув дважды левой кнопкой мышки на названии листа).

Чтобы иметь исходные данные «под рукой», на листе «Линейная» сделаем ссылки на соответствующие ячейки листа«Квадратичная». Для этого надо вначале в ячейке A1 листа «Линейная» вписать «=», а затем, не выходя из формулы, щелкнуть на закладку листа «Квадратичная» и его ячейку A1 и нажать «Enter». В формуле автоматически впишется полная ссылка на нужную ячейку «=Квадратичная!A1». После этого протянем остальные ячейки листа «Линейная» от ячейки A1 по диапазону A1:С19.

Получим на новом листе копии данных из соответствующих ячеек старого. Так поступить предпочтительнее, чем просто скопировать данные, т.к. теперь при изменении исходных данных на 1-м листе «Квадратичная» они автоматически изменятся и на 2-м. Перерасчет по измененным данным также будет осуществляться автоматически. Кстати, оформление 2-го листа можно тоже достаточно быстро выполнить по аналогии с 1-м, используя

кнопку «Формат по образцу» панели инструментов.

Порядок расчетов для линейной модели опустим (он аналогичен задачам 1.1 и 1.2) и приведем лишь итоговые результаты (рис.2.6):

6) Нанесем полученные оценочные значения для квадратичной и линейной регрессий на общий график с наблюдаемыми значениями (рис.2.7).

Даже визуально видно, что линейная модель несколько хуже аппроксимирует наблюдаемые результаты (эксперимент), чем квадратичная. Это подтверждается и численными значениями обобщенных характеристик. В частности, для линейной модели средняя относительная ошибка A несколько боль-

моделей более точной является квадратичная.

Это не значит, что линейную модель в данном случае нельзя применять. Надо лишь учитывать, что возможны более значительные ошибки, чем при использовании квадратичной модели. Решение принимает человек - исследователь, экономист. При более подробных исходных данных, (например, при

53

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

продолжении наблюдений в последующие годы работы фирмы) возможно уточнение модели.

Рис. 2.7

Рис. 2.6

Естественно, о выявлении устойчивой тенденции в поведении регрессии можно говорить лишь при большом числе наблюдений (десятки, сотни и более наблюдений).

Задача 2.2

Используя исходные данные и результаты расчетов задачи 2.1: 1) получить уравнения других нелинейных регрессий:

2)нанести полученные уравнения на общий график с результатами линейной и квадратичной регрессий (задачи 2.1); по их общему виду сделать предварительный вывод о том, какая модель лучше аппроксимирует наблюдаемые значения.

3)оценить каждую модель коэффициентом R 2 и средней относи-

тельной ошибкой A ; обосновать окончательный выбор модели/ей, наиболее подходящей/их для имеющихся исходных данных.

54

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Решение.

1) Будем использовать тот же документ Microsoft Excel, что и при решении задачи 2.1. Для удобства вместо исходных названий листов «Лист1», «Лист2» и т.д. назовем их «Квадратичная», «Линейная», «Степенная», «Логарифмическая», «Гиперболическая», «График» и т.д. Для этого надо дважды щелкнуть мышкой на закладке с названием листа.

Исходные данные на новых листах удобно получить ссылками на соответствующие ячейки листа «Квадратичные» (см. задачу 2.1).

Для нахождения коэффициентов уравнений искомых нелинейных регрессий используем процедуру их линеаризации.

писав их соответственно «X=lnx» и «Y=lny». Впишем в ячейку D2 формулу «=ln(B2)» и протянем её по D2:D16. Аналогично поступим и со столбцом E для получения ln y . Суммы и средние значения будем

рассчитывать в 17 и 18-й строках.

Для вычисления оценок коэффициентов A и b можно воспользоваться функциями ОТРЕЗОК и НАКЛОН (см. задачу 1.4). Особен-

55

Полянский Ю.Н. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

ность состоит лишь в том, что в качестве объясняющей переменной надо вводить не сами значения x , а их логарифмы (диапазон D2:D16),

пользуя математическую функцию «=exp(C21)». В результате уравнение степенной регрессии (рис.2.8):

Имея уравнение степенной регрессии, в столбце F получим оце-

56

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

в) Гиперболическая регрессия y a b 1x .

Обозна-

Выполним вычисления на листе

«Гиперболическая».

Особенность расчетов состоит в том, что в качестве объясняющих переменных необходимо брать предварительно посчитанные величи-

2) Чтобы предварительно оценить, какая из моделей (задач 2.1 и 2.2) лучше аппроксимирует наблюдаемые данные, нанесем кривые на один график (рис.2.11). Порядок построения подробно описан в задаче 1.1. Лучше сделать это на отдельном листе.

Как видно, в целом по совокупности наиболее близко к наблюдаемым точкам проходят линии логарифмической (особенно), степенной и квадратичной регрессий. Делаем предварительное предположение, что для использованных в расчетах данных эти модели дают лучшее приближение.

тельные вычисления выполним в дополнительных столбцах соответствующих расчетных таблиц. Результаты для каждой регрессии приведены на

рис.2.5-2.10.

Для удобства анализа сведем результаты в одну таблицу (рис.2.12). Напомним, что желательно это делать не копированием и не вписыванием значений, а ссылками на необходимые ячейки.

57

Рис. 2.12

Как видно, логарифмическая, квадратичная и степенная функции наиболее точно аппроксимируют исходные наблюдаемые значения объясняемой переменной этой задачи. У этих моделей наибольшие индексы де-

терминации R2 и наименьшие средние относительные ошибки A . Остальные регрессии дают неточное приближение. Это согласуется с предварительной визуальной оценкой.

Задача 2.3

Используя исходные данные задач 2.1 и 2.2, получить уравнения различных регрессий (линейных и нелинейных) и их соответству-

Построим точечный график исследуемой регрессии. Щелкнем на одной из его точек правой кнопкой мыши и в открывшемся контекстном меню выберем пункт «Добавить линию тренда…». В от-

58

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

крывшемся окне выберем необходимый тип линии тренда («линейная», «логарифмическая», …).

Пусть для начала это будет линейная линия тренда (рис.2.13). Для полиномиальной регрессии необходимо ещё указать степень полинома. Например, полином 2-й степени – это регрессия

Закладка «Параметры» (рис.2.14) предоставляет возможности указать (поставив галочки в соответствующих полях), выводить ли на график не только линию тренда, но и уравнение соответствующей ре-

эффициент детерминации R2 используется как показатель качества как линейных, так и нелинейных регрессий.

Описанный выше способ его получения (как и уравнения регрессии)– наиболее быстрый в Microsoft Excel.

Рис. 2.15

59