41_6_Econometrics_Polyansky__Part_6

ˆ

δˆ

ˆ

δˆ

δˆ

12

12

21

b12

=

,

aˆ 11

= δ

−

.

(6.15)

δˆ

22

11

δˆ

22

Аналогично из 1-го уравнения приведенной формы (6.12) выразим x1 :

x =

ˆy1

− δˆ 12 x2

.

1

δˆ

Подставим во 2-е:

11

1 −

δˆ

ˆy

2

ˆy2 =

ˆ

12 x

+

ˆ

δ

21

δˆ

δ22 x2 ;

11

ˆy2

δˆ

1

δˆ

δˆ

2 + δ

22 x2 ;

=

21

yˆ

−

12

21

x

ˆ

δˆ

11

δˆ

11

ˆy2 =

δˆ

δ22

−

δˆ

δˆ

2 .

21

ˆy1 +

12

21

x

ˆ

δˆ

11

δˆ

11

Получены коэффициенты 2-го структурного уравнения (6.11):

ˆ

δˆ

ˆ

δˆ

δˆ

21

12

21

b21

=

,

aˆ 22

= δ22 −

.

(6.16)

δˆ

δˆ

11

11

Итак, модель в структурной форме может быть выражена через при-

веденные коэффициенты:

δˆ

δˆ

δˆ

ˆy1

ˆ

−

=

12

yˆ 2

+

δ11

12

21

x1 ,

δˆ 22

δˆ 22

δˆ

δˆ

δˆ

(6.17)

21

ˆ

−

12

21

ˆy 2

2 .

=

yˆ 1

+

δ22

δˆ 11

x

δˆ 11

Модель записана для отклонений переменных от своих средних зна-

чений, т.е. под

x

и y понимаются соответственно x − x и

y − y . Поэтому в

них отсутствуют свободные члены.

Можно перейти к более привычным

уравнениям со свободными членами

A01

и A02

относительно переменных x

и y :

=

+ aˆ

ˆy

ˆ

ˆ

ˆy

x

,

1

A

+ b

2

11

1

01

12

ˆy

=

ˆ

ˆ

ˆy

+ aˆ

x

.

(6.18)

2

A

02

+ b

21

1

22

2

где

ˆ

=

− ˆ

−

ˆ

y1

(6.19)

A01

b12 y2

a11 x1 ;

ˆ

ˆ

= y2

− aˆ 22 x2 .

(6.20)

A02

− b21 y1

ˆy

ˆ

( ˆy

+ x

),

1

= b

2

1

12

(6.21)

ˆ

ˆy

+ a

ˆy

2

= b

21

1

22

x

2

.

Решение.

1) Рассмотрим каждое уравнение системы отдельно.

1-е уравнение.

1

эндогенных переменных ( y1 ) и

D

1 экзо-

В 1-м уравнении H

=

ˆ

=

генных переменных, присутствующих в системе, но отсутствующих в дан-

ном уравнении ( x2 ). Так как

D + 1 > H ,

то не выполнено необходимое

условие идентифицируемости,

т.е. 1-е уравнение сверхидентифицируемо.

2-е уравнение.

Оно точно идентифицировано (см. задачу 6.1).

Значит и вся система сверхидентифицируема. К нему может быть

применен двухшаговый МНК.

2) Аналогично задаче 6.1 получим систему в приведенной форме:

ˆy1

= δˆ 11 x1

+

δˆ 12 x2 ,

(6.22)

= δˆ

+ δˆ

ˆy

2

21

x

1

22

x

2

,

где δˆ 11 =

ˆ

,

δˆ

12 =

ˆ

ˆ

, δˆ 21

=

ˆ

ˆ

, δˆ 22 =

ˆ

ˆ .

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

b12

a22 b12

b12 b21

a

22

1 −b12b21

1 −b12b21

1 − b12 b21

1 − b12 b21

На основе

2-го уравнения системы

(6.22)

в приведенной форме

найдем для всех наблюдений эндогенную переменную

y2 , подставляя в не-

го значения x1 и x2

ˆ

(напомним, что это отклонения от средних значений).

Подставляя вместо теоретических значений

y

2 их оценки

y2 ,

найдем

значения новой переменной z

y

2

x1

ˆ

ˆ

для 1-го уравнения системы (6.22).

ˆ =

ˆ

+

Таким образом, с новой переменной система (6.22) станет выглядеть

ˆy

= b

zˆ

,

ˆ

1

12

(6.23)

ˆ

ˆy

+ aˆ

ˆy

2

= b

21

1

22

x

2

.

К 1-му уравнению системы (6.23) можно применить обычный МНК и

получим оценку

b12 .

Оценки

b21

и

a22

находятся аналогично косвенному

ˆ

ˆ

ˆ

методу из системы приведенных уравнений.

Изучается модель

функциониро-

вания торгового предприятия:

Y

= b12 C + a11 S + ε

1 ,

= b21Y + a22T + ε 2 ,

C

где Y

- среднемесячные

(6.24)

расходы

предприятия (млн.

руб.);

доходы

C

-

среднемесячные

предприятия (млн.

руб.);

S - торговые площади (кв. м);

T - торговое оборудование пред-

приятия (млн.

руб.).

Собраны статистические данные о

12 предприятиях города

(рис.6.1).

Определить

тип

используемых

переменных и идентифицируемость

модели.

Определить метод её реше-

ния.

Реализовать

косвенный

МНК

Рис. 6.1

1)

практически.

2)

Получить оценки коэффициентов модели обычным МНК. Срав-

нить КМНК-оценки и ОМНК-оценки.

3)

Оценить точность моделей.

Решение.

1) В исследуемой системе уравнений переменные S и T задаются

извне как исходные внешние данные и не определяются в самой системе.

Они экзогенные. Это логично:

торговые площади предприятия и его осна-

щённость торговым оборудованием

-

это относительно постоянные (в ста-

бильный период)

для каждого предприятия факторы, определяющие его

расходы и доходы. А переменные

Y

и

C

вычисляются внутри системы при

внешних исходных данных. Они эндогенные.

ˆ

=

Обозначим переменные в виде,

аналогичном задаче 6.1:

Y ,

ˆ

y1

=

C ,

x1

=

S ,

x2

=

T . Тогда исходная система будет записана в более

y

2

привычном виде, аналогичном

(6.11):

ˆy

ˆ

ˆy

+ aˆ

x

,

1

= b

2

11

1

12

(6.25)

ˆy

ˆ

ˆy

+ aˆ

2

= b

21

1

22

x

2

.

Как показано в задаче

6.1, в ней оба уравнения (и сама система)

точно идентифицированы. Метод её решения - косвенный МНК,

алго-

Полянский Ю.Н.

Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование.

Воспользуемся полученными в задаче 6.1 пересчетными формулами

(6.15), (6.16), (6.19), (6.20)

для коэффициентов и свободных членов струк-

турной системы уравнений.

Вычислим их в ячейках G21:I21

и G23:I23.

ˆ

получим по расчетной формуле (6.15), введя в

Например, коэффициент b12

ячейку G21

формулу «=B21/B23». Остальные структурные коэффициенты и

свободные члены получаются аналогично

(рис.6.5):

ˆ

=0,717 , aˆ 11

=0,030

ˆ

=3,052,

(6.26)

b12

, A01

ˆ

=0,774 , aˆ 22

=0,193

ˆ

= -

1,865 .

(6.27)

b21

, A02

Таким образом, по имеющимся исходным данным

для торгового

предприятия получена следующая эконометрическая модель (система урав-

нений в структурной форме):

+ 0,030 x

ˆ

ˆ

,

y

= 3,052 + 0,717 y

(6.28)

1

2

1

2 .

ˆy

2

= -1,865 + 0,774 yˆ 1

+ 0,193 x

3) Попробуем для сравнения получить коэффициенты уравнений этой

системы с помощью обычного МНК (без предварительных преобразований

в приведенную форму).

Например, рассмотрим 1-е уравнение изучаемой системы (6.24). Объ-

ясняющими переменными в нём являются

ˆ

2

ˆ

y

и x1 , объясняемой - y1 . Ко-

эффициенты множественной регрессии могут быть найдены различными

способами

(см. раздел 3).

Например,

воспользуемся функцией

ЛИНЕЙН.

Напомним,

что её особенностью является то,

что массивы (столбцы) объяс-

няющих переменных должны быть соседними и входной массив вводится

целиком, а не отдельно по столбцам для каждой переменной. В частности, в

ˆ

(C и D) уже расположены рядом. По-

таблице столбцы переменных y2 и x1

этому можно сразу приступать к расчетам.

Подпишем в ячейках

L20:N20 комментарии, выделим место для выво-

да результатов (диапазон ячеек L21:N21) и вызовем функцию

ЛИНЕЙН.

Выходной

интервал

("Изв_знач_y")-

B4:B15,

входной

интервал

("Изв_знач_x")- С4:D15.

Т.к.

в модели предполагается наличие свободного

члена, то в графе «Константа» можно ничего не указывать (что равнознач-

но значению "истина"), а в графе «Стат» -

значение «истина» (т.е. необхо-

дим расчет не только одного коэффициента).

В результате

ˆ

=0,043 , aˆ 11

=0,587

ˆ

=3,218.

(6.29)

b12

, A01

Аналогичные расчеты произведём для

2-го уравнения. Объясняющи-

ˆ

, объясняемой - y2

. Столбцы объ-

ми переменными в нём являются y1 и x2

ясняющих переменных для расчетов функцией ЛИНЕЙН должны быть со-

седствующими. Поэтому с помощью ссылок перенесем данные из исходных

столбцов B

и E в правую часть расчетной таблицы во вспомогательные со-

седствующие столбцы J

и

K. Выходной интервал

("Изв_знач_y")- C4:C15,

входной интервал ("Изв_знач_x")- J4:K15.

Расчеты дают значения

ˆ

ˆ

(6.30)

b21

=0,307 , aˆ 22 =0,652 , A02 = −1,423 .

Как видно, значения (6.26), (6.27) коэффициентов и свободных членов

уравнений, полученные косвенным МНК, существенно отличаются от по-

лученных обычным МНК

(6.29), (6.30).

Рис. 6.3_

Рис. 6.4

По графику видно, что результаты, полученные КМНК, существенно

точнее полученных ОМНК.

Для численной проверки точности полученных моделей вычислим

средние относительные ошибки объясняемых переменных y1 .

Введем столбцы

P, Q, R, S,

соответствующим образом их озаглавив

(рис.6.5). В ячейке P4

введем формулу вычисления относительной ошибки

"=abs((B4-L4)/B4)" и протянем её по ячейкам P4:P15. В ячейке P16 с помо-

щью СРЗНАЧ получим среднюю относительную ошибку

A КМНК

=

1

∑n

A

=

1

∑n

e1 i

• 100% = 2,12% .

1 ср.

n i =1

1 i

n i =1

y1 i

Как видно, она находится в допустимых пределах ≤8...10%, что го-

ворит об удовлетворительном качестве модели применительно к перемен-

ной y1 .

Аналогично в столбце P получим оценку средней относительной

ошибки

для

переменной

y2 .

Она

тоже

в

допустимых

пределах

КМНК

= 3,19% .

A2

ср.

ку

Аналогичные расчеты для ОМНК подтверждают визуальную картин-

(рис.6.3, 6.4):

AОМНК = 269 ,82% , AОМНК

= 20 ,18%.

Т.о. качество

1 ср.

2

ср.

полученной КМНК-модели удовлетворительное. А

ОМНК-модель практически непригодна для использования.

Оценим качество КМНК-модели ещё и коэффициентами детермина-

ции для каждого уравнения в отдельности. Можно воспользоваться инстру-

ментом

"Регрессия"

встроенного пакета анализа

(см. раздел

1).

Для 1-го

уравнения системы

(6.28) входной интервал

Y надо задавать

B4:B15 ( y1 ),

входной интервал X – C4:D15 ( y2

и x1 ).Для

2-го уравнения соответственно

C4:C15 ( y

2 ) и

J4:K15 ( y1 и

x2 ).Как показывают расчеты, качество каждого

уравнения

(а значит и всей КМНК-модели в целом) очень высокое:

R12

= 0 ,995 , R22

= 0 ,994 .

F1 = 809 ,12 , F2 = 715 ,98 .

Значимость каждого коэффициента обоих уравнений регрессии опре-