- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение
- •ГИДРОСТАТИКА
- •ТЕМА 1. Физические свойства жидкостей
- •ТЕМА 2. Гидростатическое давление
- •ГИДРОДИНАМИКА
- •ТЕМА 7. Уравнение Бернулли
- •ТЕМА 8. Режимы движения жидкости
- •Тема 9. Гидравлические сопротивления
- •ТЕМА 10. Гидравлический расчет трубопроводов
- •ТЕМА 11. Гидравлический удар
- •ТЕМА 12. Истечение жидкости через отверстия и насадки
- •ТЕМА 13. Силовое взаимодействие потока с ограничивающими его стенками
- •Варианты заданий для студентов
- •Список используемой литературы
30 .
Сила трения, приложенная к внутреннему цилиндру,
30 |
30 |
, |
где S = - площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра. С другой стороны, сила трения равна крутящему моменту М, деленному на плечо (d/2):
2 .
Приравнивая правые части выражений для силы F, находим динамическую вязкость:
60 |
60·0,065 0,210 |
0,202 |
0,0266 Па · с |
|
3,14 ·0,201 ·120·0,12 |
Кинематическая вязкость масла
υ |
0,0266 |
0,29·10 м /с. |
|
|
|
910 |
ТЕМА 2. Гидростатическое давление
Гидростатика − это раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкости и применение этих законов для решения практических задач.
Гидростатическим давлением в точке называется напряжение сжатия в ней, равное
∆
∆lim ∆ ,
где ∆S − элементарная площадка, содержащая данную точку;
∆Р − нормальная сжимающая сила, действующая на эту площадку.
Гидростатическое давление направлено по нормали к площадке, в данной точке по всем направлениям одинаково, зависит от положения точки в покоящейся жидкости.
9
Рис 2.1
Единицей давления в СИ является паскаль (Па):
1 Па 1м 10 кПа 10 МПа.
Равновесие жидкости описывается дифференциальными уравнениями Эйлера, в результате преобразования которых может быть получено основное уравнение равновесия в дифференциальной форме:
, |
(2.1) |
где dp − полный дифференциал давления; X, Y, Z — проекции ускорения массовых сил на координатные оси; dx, dy, dz − приращения координат.
Если на жидкость действует только сила тяжести и ось направлена вертикально вверх, то X = 0, Y = 0, Z = - g, и после интегрирования уравнения (2.1) получаем основное уравнение гидростатики:
, |
(2.2) |
где р − давление в точке, расположенной на высоте z от горизонтальной плоскости сравнения 0−0.
Полное (абсолютное) гидростатическое давление в любой точке жидкости
(2.3)
где − давление на свободной поверхности, pgh − вес столба жидкости высотой h с площадью поперечного сечения, равной единице (h − глубина погружения точки).
Поверхности уровня (поверхности равного давления) в рассматриваемом случае представляют собой горизонтальные плоскости. Действительно, из уравнения (2.1) при р = const, dp = 0, X = 0, Y = 0, Z = - g получаем
10
Избыточным или манометрическим давлением. |
(2.4) |
|
называется разность между |
||
абсолютным и атмосферным давлением : |
|
|
вак |
. |
(2.5) |
Вакуум − это недостаток давления до атмосферного
Величины |
вак |
. |
|
(2.6) |
|||
|
и вак |
ман |
|
|
(2.7) |
||
|
|
|
|||||
|
|
вак |
|
|
|
(2.8) |
|
|
|
|
|
Называются соответственно пьезометрической и вакуумметрической высотами. Плоскость П−П, во всех точках которой давление равно атмосферному, называется пьезометрической плоскостью. Если сосуд открыт, то пьезометрическая плоскость совпадает со свободной поверхностью жидкости.
Для закрытого сосуда пьезометрическая плоскость может располагаться и выше свободной поверхности жидкости (при ) и ниже ее (при ). Избыточное (манометрическое) давление в любой точке
жидкости
ман ,
где H − глубина погружения точки под пьезометрической плоскостью.
Рис. 2.2
11
ПРИМЕРЫ
2.1 В сообщающиеся сосуды налиты вода (ρ = 1000 кг/м ) и бензин (рис 2.2). Определить плотность бензина, если высота столба воды h = 150 мм, а разность уровней жидкости в сосудах a = 60 мм.
Решение. Из уравнения (2.2) следует, что во всех точках горизонтальной плоскости, проходящей в однородной жидкости,
гидростатическое давление одинаково. |
Следовательно, |
, но |
|||||||||
, а |
|
(h + а), |
где |
|
− |
плотностьв |
бензинав . |
||||
Приравнивая правые частиρвыражений для |
давлений |
в |
и , получаем |
||||||||
|
ρ |
, |
|
|
|||||||
|
|
ρ |
ρ |
|
|
|
|
|
|||
Откуда ρ |
|
1000 |
|
|
|
|
714мкг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.Определить избыточное давление воды (ρ = 1000 кг/м ) в закрытом резервуаре, если показания батарейного двух жидкостного
манометра (вода − ртуть) равны = 800 мм, = 100 мм, = 600
мм, = 200 мм, = 1400 мм (рис. 2.3).
Решение.
Находим последовательно избыточные давления в точках В, С, D, E, F, G и K, принимая во внимание тот факт, что во всех точках горизонтальной плоскости, проведенной в однородной жидкости, гидростатические давления одинаковы:
|
|
ρ |
|
в |
|
ρртρрт |
; |
ρ |
; |
|
ρрт |
|
|
рт |
ρрт |
|
ρ |
|
|
Избыточное давление в |
резервуаре |
|
|
|
|||||
|
ρ |
|
ρ |
|
ρрт |
|
|||
ρ |
ρрт |
ρрт |
|
|
|
ρ |
|
||
ρ |
0,2 |
0,6 |
0,1 |
|
0,2 |
||||
13 600·9,81 1,4 |
1000·9,81 0,6 |
||||||||
|
|
0,8 |
|
0,1 |
|
219 000 Па. |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
К |
|
|
|
E |
D |
|
|
|
C |
B |
|
h1 |
F |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
h3 |
h2 |
|
h4 |
|
|
|
|
h5
|
|
|
Рис 2.3 |
|
|
|
2.3. Манометр, подключенный к |
закрытому резервуару с нефтью (ρ = 900 |
|||||
кг/ |
м |
),показывает избыточное |
давление |
ман |
= 36 кПа. |
Определить |
абсолютное давление воздуха на поверхности жидкости |
и положение |
пьезометрической плоскости, если уровень нефти в резервуаре Н = 3,06 м, а расстояние от точки подключения до центра манометра z = 1,02 м (рис.
2.4), атмосферное давление |
100 кПа. |
Решение. Избыточное давление в точке B |
|
ман ρ |
36 000 900·9,81·1,02 45 000 Па. |
С другой стороны, то же давление:
ман ρ .
Отсюда избыточное давление на поверхности жидкости
ман |
ρ |
45 000 900·9,81·3,06 18 000 Па, |
а полное давление
ман |
18 000 100 000 118 000 Па. |
Расстояние пьезометрической плоскости от свободной поверхности жидкости
ман |
18 000 |
2,04 м. |
ρ |
900·9,81 |
|
|
13 |
|
2.4.Поршень пружинного гидроаккумулятора диаметром D = 250 мм во время зарядки поднялся вверх на высоту х = 14 см (рис. 2.5). Определить жесткость пружины с, если давление жидкости р = 1,0 МПа. Трением между поршнем и цилиндром и весом поршня пренебречь.
Решение. Из уравнения равновесия поршня, на который сверху действует сила упругости пружины (F = сх), а снизу − сила давления жидкости
4:
|
πD |
Находим |
|
|
c p |
3,14·0,25 |
·10 |
350H/мм |
|
4 |
4·140 |
|
П П
hp
|
|
D |
|
pман |
H |
B |
z |
p |
|
||
|
|
|
Рис 2.4 |
|
Рис 2.5 |
2.5. Определить давление масла подводимого в поршневую полость гидроцилиндра, если избыточное давление в штоковой полости = 80 кПа, усилие на штоке R = 10 кН, сила трения поршня о цилиндр F = 0,4 кН, диаметр поршня D = 125 мм, диаметр штока d = 70 мм (рис. 2.6).
R
P2 P1
Рис 2.6
14
Решение. Искомое давление |
находим из условия равновесия |
||||||||||||
поршня, на который, кроме силы R,действуют силы давления |
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
и сила трения F, направленнаяипротив перемещения поршня: |
|||||||||||||
Либо |
|
|
|
|
0 |
|
0. |
|
|||||
Отсюда |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
|
4·10 000 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
4·400 |
|
||||||
|
80·10 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
3,14·0,125 |
9,03·10 |
Па |
125 |
|
|
3,14·0,125 |
|
2.6. Гидравлический домкрат (рис. 2.7) состоит из неподвижного поршня 1 и скользящего по нему цилиндра 2, на котором смонтирован корпус 3, образующий масляную ванну домкрата, и плунжерный насос 4 ручного привода со всасывающим 5 и нагнетательным 6 клапанами.
Определить давление рабочей жидкости в цилиндре и массу поднимаемого груза m, если усилие на рукоятке приводного рычага насоса R = 150 Н, диаметр поршня домкрата D = 180 мм, диаметр плунжера насоса d = 18 мм, КПД домкрата η = 0,68, плечи рычага а = 60 мм, b = 600
мм.
Решение.
При движении рукоятки рычага вверх плунжер перемещается вниз, в рабочей камере насоса А создается высокое давление, под действием которого открывается клапан 6, и жидкость вытесняется в полость Б При этом корпус насоса 3 вместе с грузом поднимается вверх. Давление жидкости в полостях А и Б выравнивается.
На поршень 1 домкрата снизу вверх действует Рис. 2.7 сила, равная весу поднимаемого груза G = mg, на плунжер насоса 4 — сила Р, направленная вниз,
15
которую определяем из условия равновесия рычага:
Если пренебречь весом столба жидкости между плунжером насоса и поршнем домкрата, то давление рабочей жидкости в полостях А и Б будет равным
44 .
Отсюда находим теоретическое значение массы груза
.
Поскольку при выводе формулы для m не были учтены силы трения в насосе и цилиндре домкрата, то действительное значение массы поднимаемого груза будет меньше m:
150 600 180 2
9,81 60 18
0,68 104кг.
Давление рабочей жидкости
44·10 ·9,81 3,86·10 Па. 3,14·0,18
ТЕМА 3. Сила гидростатического давления на стенки и криволинейные поверхности.
Избыточная сила гидростатического давления на плоскую стенку равна давлению в центре тяжести стенки, умноженному на ее площадь,
|
|
(3.1) |
где |
глубина погружения центра тяжести стенки под свободной |
|
поверхностью; S − площадь стенки; |
− избыточное давление на |
свободной поверхности жидкости (рис. 3.1).
Формулу (2.9) можно переписать в виде
ж |
(3.2) |
|
16
где |
− сила, обусловленная внешним давлением; |
|
жидк |
|||
сила, |
обусловленная |
только |
давлением |
|||
|
|
ж |
|
|||
ости. |
|
|
ж |
|
|
|
Сила |
приложена в центре тяжести стенки, сила |
− в центре давления |
||||
координата которого определяется по формуле |
|
|
|
Рис. 3.1 |
д |
|
(3.3) |
|
|||
|
|
где − координата центра тяжести; − момент инерции плоской фигуры относительно центральной оси.
Избыточная сила давления на плоскую стенку
(3.4)
где − расстояние от центра тяжести стенки до пьезометрической плоскости П−П.
Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность
(3.5)
где , , составляющие силы избыточного давления по соответствующим координатным осям.
Для цилиндрической криволинейной поверхности
где |
и |
горизонтальная и вертикальная составляющие силы Р. |
||
|
||||
Горизонтальная составляющая |
в |
|
||
|
|
ρ |
(3.6) |
17
где |
− |
расстояние от |
центра |
тяжести |
вертикальной |
проекции до |
|||||||
пьезо метрической |
плоскости; |
− |
площадь п роекции |
криволинейной |
|||||||||
поверхности на вертикальную плоскость. |
|
|
|
|
|||||||||
Вертикальная составляю щая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
где |
V |
объ ем |
тела |
давления |
− |
вертикаль ного столба жид кости, |
|||||||
расположенного между |
пьезометрической плоскостью, |
криволинейной |
|||||||||||
поверхностью и вертикальной проецирую щей поверхностью, |
проходящей |
||||||||||||
по контуру стенки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхность |
||
|
Вектор |
полной силы давления |
на |
цилинд рическую |
|||||||||
проходит через ось цили ндра под углом φ к горизонту, причем |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис 3.2
ПРИ МЕРЫ |
|
|
|
|
|
|
2.7. Определи ть величину |
и |
точку |
приложения |
силы |
давления на |
|
крышку, перекрывающую круглое отверстие диаметром d |
= 500 |
мм в |
||||
верти кальной перегор одке |
закрытого |
резервуара, |
если |
левый |
отсек |
|
резервуара заполнен нефтью |
(ρ = 900 кг/м3), правый |
− воздухом. |
||||
Избыточное давление н а повер хности жидкости |
= 15кПа, показание |
|||||
ртутного мановакуумметра, |
подключенного к правому отсеку резе рвуара, |
h = 80 мм, центр отверстия распо ложен на глубине Н = 0,8 м, атмосферное
давле ние |
= 100 кПа (рис. 3.3). |
|
|
|
|
Решение. |
Находим дав ление |
воздуха |
в правом отсеке |
резервуара |
. |
Поскольку давления в точках |
В и С, |
принадлежащих |
горизонтальной |
||
плоскости, одинаковы и равны атмосферному да влению (100 кПа ), |
т. е |
||||
|
, то абсолютное давление воздуха в правом отсеке |
|
18
Сила давления воздуха на крышку справа
п |
п |
89 300 |
, · , |
17 500 . |
|
Рис. 3.3 |
Эта сила приложена в центре тяжести крышки.
Абсолютное давление воздуха на поверхности жидкости в левом отсеке
л |
ман 100 000 15 000 115 000 Па. |
Сила давления воздуха на крышку слева
|
|
|
115 000 |
3,14·0,5 |
22 600 . |
л |
л |
4 |
4 |
Эта сила приложена в центре тяжести крышки. Сила давления жидкости на стенку
ж ρ |
ρ |
|
900·9,81·0,8 |
3,14·0,5 |
1380 . |
|
4 |
||||||
|
|
|
4 |
|
Эта сила приложена в центре давления, расстояние до которого от поверхности жидкости
|
|
4 |
|
0,8 |
0,5 |
0,82 м. |
д |
|
64 |
16 |
16·0,8 |
||
Полная сила давления на крышку |
1380 |
17 500 6480 . |
||||
|
л |
ж п 22 600 |
19
|
|
|
|
Рис. 3.4 |
|
|
|
|
Рис. 3.5 |
||
Расстояние х |
|
|
|||||||||
результирующей силы Р от поверхности жидкости найдем, |
|||||||||||
используя теорему о моменте равнодействующей |
|||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
л |
ж д |
п |
, |
|
|
|
ж д |
л |
|
п |
1380·0,82 |
22 600 |
17 500 0,8 |
0,804 м. |
|||
2.8. |
Квадратное отверстие (а |
а = 0,46480 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 м) в вертикальной стенке |
|||
|
резервуара с бензином (р = 750 кг/м3) закрыто крышкой (рис. 3.4). |
||||||||||
|
Найти силу давления на крышку и точку ее приложения, если центр |
||||||||||
|
отверстия находится на глубине Н = 2,0 м, вакуум на поверхности |
||||||||||
|
жидкости |
|
|
= 60 кПа. |
|
|
|
|
|
||
Решение. Сила, |
обусловленная внешним давлением, |
||||||||||
|
вак |
|
вак |
60 00·0,4 |
9600 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Приложена она в центре тяжести крышки и направлена влево. Сила, обусловленная весом жидкости,
ж ρ |
ρ |
750·9,81·2,0·0,4 |
2350 . |
Она приложена в центре давления и направлена вправо. Координата центра давления
|
|
|
2 |
0,4 |
2,007 м. |
д |
|
12 |
12·0,4 ·2 |
Полная сила давления на крышку
20
ж9600 2350 7250
направлена влево. Расстояние линии действия этой силы от поверхности жидкости в резервуаре находим, используя теорему о
моменте равнодействующей: |
ж д, |
|
||
|
ж д 9600·2 |
2350·2,007 |
2,0 м. |
|
|
|
|
7250 |
2.9.Круглое отверстие в вертикальной стенке закрытого резервуара с водой перекрыто сферической крышкой (рис. 3.5). Радиус сферы
R = 0,3 м, угол = 120°, глубина погружения центра тяжести
отверстия Н = 0,5 м.
Определить силу давления на крышку, если избыточное давление на поверхности воды = 10 кПа.
Решение. Находим радиус отверстия и высоту сферического сегмента:
|
|
|
|
|
2 |
0,3sin60° |
0,26 |
м; |
|
|
|
cos |
|
|
|
0,3 0,3cos60° |
0,15 м. |
||
|
|
|
|
||||||
Расстояние пьезометрической2плоскости от поверхности жидкости |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 000 |
1,02 м. |
|
|
|
|
ρ |
|
1000·9,81 |
||||
Горизонтальная составляющая силы давления на крышку |
|||||||||
ρ |
в |
3160 . |
|
|
|
|
1000·9,81 0,5 |
1,02 3,14·0,26 |
Вертикальная составляющая силы давления на крышку равна весу жидкости в объеме сферического сегмента (на рисунке заштрихован):
ρ |
ρ |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
1000·9,81 |
·3,14·0,15 |
3·0,3 |
0,15 |
173 . |
||
Полная сила давления на |
крышку |
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
21
3160 173 3165 .
Угол наклона силы Р к горизонту
173 |
3 |
° |
08 . |
3160 |
|
2.10.Определить силу давления жидкости на закругление (рис. 3.6), а также отрывающее и сдвигающее усилия, которые возникают на стыках закругления с прямолинейными участками трубопровода,
если диаметр трубы d = 250 мм, угол поворота = 60°, избыточное давление жидкости р = 0,5 МПа. Весом жидкости пренебречь.
Рис. 3.6
Решение. На закругление действуют силы гидростатического давления
| | | | |
|
500 000 |
3,14·0,25 |
24 500 . |
4 |
4 |
Результирующая этих двух сил
2 |
2·24 500·cos60° 24 500 . |
Отрывающие усилия на стыках
от |
24 500 . |
Сдвигающие усилия на стыках
22
сд |
cos |
|
24 500·cos 30° 21 200 . |
|
ТЕМА 4. Закон Архимеда. Плавание тел.
По закону Архимеда на тело, погруженное в жидкость, действует вертикальная выталкивающая (архимедова) сила, направленная вертикально вверх,
P = ρgV, |
(4.1) |
где V − объем погруженной части тела. Центр тяжести D вытесненного объема жидкости является центром водоизмещения (рис. 4.1). При наклоне (крене) плавающего тела центр водоизмещения изменяет свое положение.
Линия, проходящая через центр тяжести тела С и центр водоизмещения D в положении равновесия перпендикулярно к свободной поверхности жидкости (плоскости плавания), является осью
плавания. В положении равновесия ось плавания |
|
|
|
||||
вертикальна, при крене − наклонена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.1 |
|
||
Точка пересечения М линии действия |
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
выталкивающей силы при |
наклонном |
положении |
с осью плавания |
||||
называется метацентром. Расстояние |
|
|
между центром тяжести тела С и |
||||
метацентром М называется метацентрической высотой. Чем больше |
, |
||||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
тем больше остойчивость тела(способность переходить из крена |
мв |
||||||
положение равновесия), так как момент пары сил Р − G, стремящейся |
|||||||
восстановить равновесие; |
прямо |
пропорционален |
метацентрической |
||||
высоте. Величина метацентрической высоты |
|
|
|
||||
|
м |
|
|
, |
(4.2) |
||
|
|
|
где J − наименьший момент инерции площади плоскости плавания; е − расстояние между центрами тяжести и водоизмещения.
23
Если метацентр лежит ниже центра тяжести тела, т.е. метацентрическая высота отрицательна, то тело остойчивостью не обладает.
ПРИМЕРЫ
4.1. Во избежание переполнения водой резервуар снабжен поплавковым клапаном, перекрывающим отверстие диаметром d = 50 мм в дне резервуара (рис.4.2). Определить диаметр D цилиндрического поплавка высотой h = 100 мм, при котором максимальный уровень воды в резервуаре не будет превосходить Н = 1,0 м. Вес клапана G =10 Н, весом поплавка пренебречь.
Решение. Составим уравнение равновесия поплавка при Н = 1,0 м:
где Р − сила гидростатического |
давления воды, прижимающая клапан к |
|
||
ρ , |
|
|
||
отверстию в дне резервуара: |
1000·9,81·1,0 |
|
19,2 |
, |
ρ |
, · , |
|||
|
объем погруженной части поплавка; |
− |
глубина погружения, которая не может быть больше h = 100 мм. Принимая = h = 100 мм, из уравнения равновесия поплавка находим его диаметр
4 |
4 10 |
19,2 |
0,2 м. |
||
|
|
ρ |
3,14·1000·9,81·0,1 |
||
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
4.2 |
|
|
= 5 м ширину b = 2,5 |
||
Понтон (рис. 4.3) весом G = 8 кН имеет длину |
м и высоту h = 1м. Проверить понтон на остойчивость при максимальной
нагрузке G', при которой высота бортов над ватерлинией |
= 0,4 м, если |
|
центр тяжести понтона расположен на расстоянии |
=∆0,5 м, а центр |
24
тяжести дополнительной нагрузки — на расстоянии с" = 2,5 м от днища понтона, плотность воды ρ= 1000 кг/м3.
Решение. Величину дополнительной нагрузки находим из условия равновесия понтона:
|
∆ |
2,5·5 1 0,4 |
, |
|
погруженной в воду |
7,5 м |
объем |
||
где |
|
|
|
части понтона;
ρ 1000·9,81·7,5 8000 6,55·10 .
Находим расстояние центра тяжести понтона с грузом от его днища
|
|
|
|
|
" |
|
|
8·0,5 |
65,5·2,5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8·65,5 |
|
|
жидкости от нижней |
|||
Расстояние центра тяжести |
вытесненного объема |
|||||||||||||
2,28 м. |
||||||||||||||
плоскости понтона |
|
∆ |
0,5 1,0 |
|
0,4 |
|
0,3 м. |
|||||||
Расстояние от центрад 0,5 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
тяжести понтона до центра водоизмещения |
|||||||||||
Метацентрическая высота |
|
|
д |
2,28 |
0,30 |
1,98 м. |
||||||||
м |
|
|
|
|
|
|
5·2,5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12·7,5 |
|
высота отрицательная. |
||||
Понтон неостойчив, так как метацентрическая |
||||||||||||||
1,98 |
1,11 м. |
Рис. 4.3
25
ТЕМ А 5. Относительный покой жидкости
1 Случай. При движении сосуда в горизонтальном направлении с постоянным ускорением (рис. 5.1) на жидкость, находящуюся в нем, действует сила тяжести и сила инерции. Свободная поверхность представляет собой наклонную плоскость, уравнение которой имеет вид
(5.1)
где С − постоянная величина; а − ускорение сосуда. Гидростатическое давление в любой точке жидкости
(5.2)
где h − расстояние по вертикали от точки до свободной поверхности. Пьезометрическая плоскость П − П − поверхность уровня, во всех точках которой давление равно атмосферному, проходит параллельно свободной поверхности на высоте
если давление на свободной поверхности > (рис. 5.1), или на глубине
под свободной поверхностью жидкости, если
Рис. 5.1
Сила давления на
плоскую стенку в этом случае
|
|
|
|
(5.3) |
|
|
где |
и |
− расстояния |
|
|
по вертикали от центра |
||
Рис. 5.2 |
Рис. 5.3 |
тяжести стенки до |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
свободной поверхности жидкости и до пьезометрической плоскости соответственно. Сила давления на криволинейную поверхность (рис. 5.2) может быть найдена из условия динамического равновесия объема жидкости V, заключенного между криволинейной поверхностью и плоскостью, проведенной через граничный контур поверхности (на рис. 5.2 этот объем заштрихован):
, |
(5.4) |
где − сила давления на плоское сечение АВ, определяемая по формуле (5.3); F = paV − сила инерции; G = pgV − вес объема жидкости.
2 Случай. При вращении сосуда вокруг вертикальной оси z (рис. 5.3) на любую частицу жидкости кроме силы тяжести действует также центробежная сила инерции
|
|
составляющие |
|
(5.5) |
||
которую можно разложить на |
|
|
||||
∆ |
∆ |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(5.6) |
где |
угловая скорость; r − расстояние частицы от |
|||||
− масса частицы∆; − |
∆ |
, ∆ |
∆ |
, |
|
|
оси |
∆вращения, х и у − проекции вектора |
на координатные оси, причем |
Следовательно, проекции ускорения массовых сил на координатные оси в рассматриваемом случае равновесия жидкости равны
Подставив эти значения X, Y,и Z в дифференциальное, |
.уравнение |
|||||
равновесия (2.1) и выполнив интегрирование, получим |
||||||
где |
|
|
поверхности, |
|
(5.7) |
|
|
|
|
||||
− давление на свободной |
−,вершина параболоида |
|||||
|
ρ |
вращения.
В произвольной точке, расположенной на глубине h под поверхностью жидкости, давление
ρ . |
(5.8) |
Поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения. Уравнение свободной поверхности жидкости имеет вид
27
|
|
|
|
(5.9) |
Пьезометрическая поверхность при р =. |
|
|||
совпадает со |
свободной |
|||
поверхностью жидкости. Если свободная |
поверхность |
отсутствует |
(закрытый сосуд полностью заполнен жидкостью под давлением), то пьезометрическая поверхность проходит через точку жидкости, в которой давление равно атмосферному (например, через уровень в открытом пьезометре, где р = ).
Если R − радиус сосуда, а − угловая скорость, то высота |
параболоида |
||||
вращения |
|
. |
|
||
Объем параболоида вращения |
|
(5.10) |
|||
|
|||||
п |
|
|
. |
(5.11) |
|
|
ПРИМЕРЫ
2.3.Определить силы давления воды на плоскую и сферическую крышки цистерны, которая движется горизонтально с ускорением а = 1,5 м/с2
. Радиус цистерны R = 0,75 м, ее длина L = 3 м, высота наполнения h
= 1,0 м (рис. 5.4).
Решение. Находим положение пьезометрической плоскости П−П. Она проходит через точку О (где давление равно атмосферному). Угол наклона к горизонту находим из уравнения, полученного интегрированием дифференциального уравнения поверхности уровня
Рис. 5.4 |
|
|
|
|
|
− g: |
|
|
в котором X = − a, Y = 0, Z =0, |
||||||
|
|
|
, |
1,5 |
0,153. |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9,81 |
Сила избыточного давления воды на плоскую крышку
ρ,
28
расстояние по вертикали∆от |
0,5 |
1 0,5·3·0,153 0,77 м |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
пьезометрической плоскости П−П до центра |
||
тяжести крышки; |
1000·9,81·0,77·3,14·0,75 |
13 300 . |
|||
Силу |
ρ |
||||
|
давления на сферическую крышку найдем из условия относительного |
равновесия жидкости в объеме V (на рисунке заштрихован)
,
где − сила давления на плоское сечение АС, равная
ρ0,5
|
1000·9,81 1 |
0,5·3·0,153 |
·3,14·0,75 |
21 300 |
, |
|||||||
G − вес жидкости объемом V, равный |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
F− сила |
ρ |
ρ |
3 |
1000·9,81· |
3 |
·3,14·0,75 |
8650 . |
|||||
|
инерции жидкости объемом V, равная |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
ρ |
ρ |
3 |
1000·1,5· |
3 |
·3,14·0,75 |
1320 . |
Полная сила давления воды на сферическую крышку
21 300 |
1320 |
8650 |
24 200 . |
2.4.Определить частоту вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси, при которой сила давления воды на его верхнем днище Р = 6500 Н (рис. 5.5). До начала вращения уровень воды в открытых пьезометрах, установленных в верхнее днище на
расстояниях |
= 150 мм и |
= 300 мм от |
|
|
оси вращения цилиндра, был равен h = 700 |
|
|||
Рис. 5.5 |
||||
|
|
|
||
|
|
29 |
|
|
|
|
|
мм. Радиус |
цилиндра R = 450 мм, диаметры пьезометров |
одинаковые. |
|
Решение. При вращении сосуда вокруг вертикальной оси пьезометрическая поверхность (поверхность уровня с давлением р = = const), представляющая собой параболоид вращения, проходит через уровни жидкости в открытых пьезометрах:
2
где − расстояние вершины параболоида от начала координат, которое выбираем на поверхности верхнего днища.
Высоты столбцов жидкости в пьезометрах:
причем 0,5 ( + ) = h, |
2 |
, |
|
2 |
|
, |
так как объем жидкости в рассматриваемой |
||||||
системе постоянный: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
Отсюда находим выражение для координаты вершины параболоида:
44 .
Полное давление в любой точке жидкости во вращающемся цилиндре
где |
= |
− давление на |
пьезометрической поверхности. Избыточное |
|||
|
2 |
|
ρ |
, |
||
давление в любой точке жидкости |
ρ |
. |
||||
|
|
ман |
|
2 |
30
Поскольку для всех точек днища z = 0, то избыточное давление в любой его точке
или с учетом того, что |
ман |
2 |
|
|
ρ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ман ρ |
2 |
|
4 |
4 |
, |
||
где r − расстояние точки от оси вращения; |
− искомая угловая скорость. |
Найдем выражение для силы давления воды на крышку. Для этого разобьем ее на элементарные кольцевые площадки. Сила, приходящаяся на эту площадку,
2 |
ман 2 |
|
|
|
|
|
, |
|
2 |
4 |
4 |
||||||
а сила давления на всю крышку |
|
|
|
2 |
|
ρ |
|
2 |
|
4 |
4 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда находим |
угловую скорость |
|
|
|
|
||||||||||
ρ |
ρ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6500 |
|
1000·9,81·0,7·3,14·0,45 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000·3,14·0,45 |
0,45 |
0,3 |
0,15 |
|||
Искомая частота вращения сосуда |
12,2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
30 |
|
30·12,2 |
117 мин . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
|
|
31