an_geom
.pdf8
< x = ¡4 + 2t;
2) y = 4 ¡ t; : z = ¡1 ¡ 2t
3) |
x + 5 |
= |
y + 5 |
= |
z ¡ 1 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
2 |
¡2 |
51
8
< x = ¡5 + 4t;
è y = 5 ¡ 3t;
: z = 5 ¡ 5t;
8
< x = 9 + 6t;
y = ¡2t; è : z = 2 ¡ t:
13.22 Написать канонические уравнения прямой, которая симметрична
прямой |
|
|
|
|
|
|
x = ¡1 + 4t; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
8 y = 1 |
¡ |
|
3t; |
|
|
|||||||||
|
|
x |
< z = 1 |
|
5t |
|
|
||||||||||||
|
|
: |
|
|
2 |
|
|
1 = 0 |
|
|
|||||||||
относительно плоскости |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
¡ |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|||||||||
13.23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Написать параметрические уравнения прямой, которая симметрична |
|||||||||||||||||||
прямой |
|
|
x ¡ 1 |
|
|
|
y ¡ 4 |
|
|
z + 7 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
¡3 |
|
2 |
|
|
|||
относительно плоскости 2x ¡ 5y ¡ z ¡ 1 = 0. |
|
|
|||||||||||||||||
13.24 |
Написать уравнение плоскости, которая симметрична плоскости |
||||||||||||||||||
3x ¡ 4y + z ¡ 2 = 0 относительно прямой |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x ¡ 5 |
|
= |
y + 2 |
|
= |
z ¡ 1 |
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
¡2 |
|
|
13.25 Написать уравнение плоскости, которая симметрична плоскости x + z ¡ 4 = 0 относительно прямой
8
< x = ¡1 + t;
y = 2 ¡ t;
:z = 3 ¡ 2t:
52
Ÿ14 Элементарные свойства поверхностей второго порядка.
В евклидовом пространстве существует 17 типов поверхностей второго |
|||||||||||||||||||||
порядка. Приведем список. |
|||||||||||||||||||||
1) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
= 1 - |
эллипсоид, |
|||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
b |
2 |
|
c |
2 |
||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
|
= ¡1 - мнимый эллипсоид, |
|||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
||||||||||||||||
3) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
|
= 1 - |
однополостный гиперболоид, |
|||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
¡ |
|
||||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
|||||||||||||||||
4) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
|
= ¡1 - двуполостный гиперболоид, |
||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
¡ |
|
||||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
|||||||||||||||||
5) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
|
= 0 - |
конус, |
|||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
¡ |
|
||||||||||||
|
a2 |
|
b2 |
c2 |
|||||||||||||||||
6) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
= 0 - |
мнимый конус, |
|||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
b |
2 |
|
c |
2 |
||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
- |
эллиптический параболоид, |
|||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= z |
|
||||||||||
2 |
|
|
b |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8) |
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
- |
гиперболический параболоид, |
||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
= z |
||||||||||||||
|
a2 |
b2 |
|||||||||||||||||||
9) |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 1 - |
эллиптический цилиндр, |
|||||||||||
2 |
|
|
b |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10) |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
= 1 - |
гиперболический цилиндр, |
|||||||||||||
|
|
a2 |
b2 |
||||||||||||||||||
11) |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ |
|
= ¡1 - мнимый цилиндр, |
||||||||||||||||
|
|
a2 |
b2 |
||||||||||||||||||
12) |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
¡ |
|
= 0 - |
пара пересекающихся плоскостей, |
|||||||||||||||
|
|
a2 |
b2 |
||||||||||||||||||
13) |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 0 - |
пара мнимых пересекающихся плоскостей, |
|||||||||||
|
|
a |
2 |
|
b |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14) |
|
y2 |
= 2px |
- |
параболический цилиндр, |
||||||||||||||||
15) |
|
x2 |
= 1 - |
|
пара параллельных плоскостей, |
||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
|
x2 |
= ¡1 - |
|
пара мнимых параллельных плоскостей, |
||||||||||||||||
|
|
a2 |
|
||||||||||||||||||
17) |
|
x2 = 0 - |
пара совпавших плоскостей, |
ãäå a, b, c - отличные от нуля вещественные постоянные. Уравнение сферы с центром (x0; y0; z0) и радиусом r имеет вид:
53
(x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 = r2. Плоскость касается сферы тогда
и только тогда, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Сфера (x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 = r2 разбивает
множество точек пространства, отличных от точек сферы, на два подмножества. Для точек одного подмножества вполняется неравенство:
(x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 < r2 (внутренность сферы), а для точек
другого подмножества неравенство: (x ¡ x0)2 + (y ¡ y0)2 + (z ¡ z0)2 > r2 (внешность сферы).
14.1 Используя параллельный перенос прямоугольной декартовой системы координат, определить тип и нарисовать следующие поверхности:
1) 2x2 + y2 + z2 ¡ 4x + 6y + 8z ¡ 1 = 0, 2) x2 ¡ 3y2 ¡ 4z2 ¡ 9y ¡ 16z ¡ 10 = 0,
3) 5x2 + 2y2 ¡ 6z2 ¡ 10x + 8y ¡ 12z + 23 = 0, 4) y2 + 4z2 ¡ x + 4y ¡ 16z ¡ 3 = 0,
5) x2 ¡ 4z2 + 2x ¡ 3y + 24z = 0, 6) y2 + z2 ¡ 4x ¡ 8z + 5 = 0,
7) x2 ¡ 2z2 + 10x ¡ 12z + 7 = 0, 8) x2 ¡ 6x ¡ 3z + 3 = 0,
9) z2 + 20z ¡ 3 = 0,
10) x2 ¡ z2 + 4x + 4z = 0.
14.2 Используя поворот вокруг прямой прямоугольной декартовой системы координат, определить тип и нарисовать следующие поверхности:
1) 2xy + 3z2 ¡ 12 = 0, 2) 5xz + 7y = 0,
3) 2(x ¡ y)2 + 9z2 ¡ 32 = 0, 4) 3(x ¡ z)2 ¡ 5y = 0.
14.3 Используя поворот вокруг прямой и параллельный перенос прямоугольной декартовой системы координат, определить тип и нарисовать следующие поверхности:
1) 4xy + 2z2 + 8x ¡ 8y + 4z ¡ 12 = 0, 2) yz ¡ 2x + 4y ¡ 8z + 1 = 0,
3) (x ¡ z)2 + y2 ¡ 4x ¡ 2y ¡ 4z = 0, 4) (y ¡ z)2 + 2x + 2y ¡ 4z ¡ 2 = 0.
14.4 Найти точки пересечения поверхности 2x2+y2¡z2¡4x+6y+8z¡1 = 0 с прямыми:
54
|
x = ¡3 + 2t; |
|
x |
|
y |
¡ |
1 |
|
z + 3 |
|
|
1) |
y = |
2 + 3t; |
2) |
|
= |
|
|
= |
|
: |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|||||||
8 |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||
< z = |
1 ¡ t; |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
14.5 |
Доказать, что плоскость |
x ¡ 2y + z ¡ 2 = 0 |
пересекает сферу |
||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
|
:2 |
|
|
|
|
||
|
|
+ z |
= 25. Найти центр окружности пересечения. |
||||||||
14.6 |
Доказать, что плоскость |
2x + 3y + 2z ¡ 1 = 0 |
пересекает сферу |
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
||||
(x ¡ 2) |
|
+ (y + 1) + z |
|
= 100. Найти центр окружности пересечения. |
14.7Как расположены точки: (3; 0; 4), (3; 5; 0), (3; 4; 4), (5; 4; 6) относительно
сферы (x ¡ 1)2 + (y + 2)2 + (z ¡ 1)2 = 49.
14.8Написать уравнение касательной плоскости к сфере x2+y2+z2 = 36,
ортогональной вектору (1; 2; 3).
14.9 Написать уравнение касательной плоскости к сфере (x ¡ 1)2 + (y + 2)2 + (z ¡ 1)2 = 25, ортогональной вектору (0; 2; ¡3).
55
Ÿ15 Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве. Опуская определения, приведем здесь основные формулы.
Поверхности вращения.
Пусть в плоскости Y OZ дана кривая с уравнением f(y; z) = 0, y > 0. Будем вращать данную кривую вокруг оси OZ. Уравнение поверхности
вращения имеет вид: p
f( x2 + y2; z) = 0:
Цилиндрические поверхности.
Рассмотрим цилиндрическую поверхность, направляющая которой имеет
уравнения: |
f(x; y; z) = 0; |
|
|
|
½ g(x; y; z) = 0; |
а образующие параллельны вектору p~(a; b; c). Параметрические уравнения
образующих цилиндрической8поверхности имеют вид:
< x = x0 + at;
:y = y0 + bt; z = z0 + ct;
где точка (x0; y0; z0) лежит на направляющей цилиндрической поверхности. Чтобы получить уравнение цилиндрической поверхности, нужно из системы
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
x = x0 |
+ at; |
|
|
|
|
> |
|
+ bt; |
|
|
|
|
8 y = y0 |
||
исключить , |
, |
è . |
> z = z0 + ct; |
|||
> |
|
|
||||
|
x0 |
y0 z0 |
t |
> f(x ; y ; z ) = 0; |
||
|
> |
|
|
|||
|
|
|
|
> |
0 |
0 0 |
|
|
|
|
< |
||
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
> g(x0; y0; z0) = 0 |
Конические поверхности.
Рассмотрим коническую поверхность,½ направляющая которой имеет уравнения:
f(x; y; z) = 0; g(x; y; z) = 0;
56
а вершина координаты (x0; y0; z0). Параметрические уравнения образующих
конической поверхности имеют вид:
8
< x = x0 + (~x ¡ x0)t;
:y = y0 + (~y ¡ y0)t; z = z0 + (~z ¡ z0)t;
где точка (~x; y~; z~) лежит на направляющей конической поверхности. Чтобы получить уравнение конической поверхности, нужно из системы уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x0 + (~x x0)t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 y = y0 + (~y |
¡y0)t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
> z = z0 + (~z |
¡ z0)t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> g(~x; y;~ z~) = 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> f(~x; y;~ z~) = 0; |
||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
исключить |
|
, |
, |
è |
|
. |
> |
|
|
|
x~ |
|
y~ z~ |
|
t |
|
: |
|
|
15.1 Вывести уравнения сферы, конуса, цилиндра как уравнения поверхностей вращения. Сферу, как поверхность, полученную вращением окружности:
½ y2 + z2 = r2; x = 0
вокруг оси OZ. Конус, как поверхность, полученную вращением прямой:
½z = ky; x = 0
вокруг оси OZ. Цилиндр, как поверхность, полученную вращением прямой:
½y = c; x = 0;
ãäå c = const, вокруг оси OZ.
15.2 Написать уравнение поверхности (уравнение тора), полученной вращением
окружности: ½ (y ¡ y0)2 + z2 = r2;
x = 0;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
ãäå 0 < r < y0, вокруг оси OZ. |
|
|
|||||||||
15.3 |
Установить, какие поверхности определяются следующими уравнениями |
||||||||||
и нарисовать эти поверхности: |
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
y2 |
|
y2 |
z2 |
3) y2 = 12z; |
4) x2+y2¡z2 = 0: |
|||
1) |
|
+ |
|
= 1; |
2) |
|
¡ |
|
= 1; |
||
25 |
36 |
16 |
4 |
15.4 Написать уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями:
½ x2 + y2 + (z ¡ 5)2 = 9; z = 4:
15.5 Написать уравнение конуса, вершина которого имеет координаты (4; 0; ¡3), а направляющая задана уравнениями:
8
<
y2 z2
25 + 9 = 1;
: x = 0:
15.6 Написать уравнение конуса, вершина которого имеет координаты (¡3; 0; 0), а направляющая задана уравнениями:
½ 3x2 + 6y2 ¡ z = 0; x + y + z = 1:
15.7 Найти геометрическое место касательных, проведенных из начала координат к сфере (x ¡ 5)2 + (y + 1)2 + z2 = 16.
15.8 Написать уравнение прямого кругового конуса, проходящего через все три координатныyå îñè.
15.9 Прямая x¡3 2 = 2 = z6 вращается вокруг оси OX. Найти уравнение описанной ею поверхности.
15.10 Написать уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой имеет уравнения: ½ x2 + y2 = 25;
z = 0;
а образующие параллельны вектору ~a(5; 3; 2).
15.11 Написать уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой имеет уравнения:
½ (x ¡ 1)2 + (y + 3)2 + (z ¡ 2)2 = 25; x + y ¡ z + 2 = 0;
58
àобразующие параллельны прямой:
½x = y; z = c;
ãäå c = const.
15.12 Написать уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой имеет уравнения:
½x = y2 + z2; x = 2z;
а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей. 2 2 15.13 Написать уравнение цилиндра, описанного около сферы x + y +
z2 = 1, зная, что его образующие составляют равные углы с осями
координат. |
2 |
|
2 |
|
15.14 Найти угол между образующей и осью вращения конуса |
|
¡ |
||
z2 = 0. |
3x |
+3y |
|
59
Ÿ16 Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями (продолжение Ÿ14).
Напомним уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
Однополостный гиперболоид
x2 + y2 ¡ z2 = 1 a2 b2 c2
имеет два семейства образующих. Образующие одного семейства задаются уравнениями:
|
|
|
|
> |
x |
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 Ã |
a |
¡ |
c |
!m1 |
= Ã1 ¡ |
|
b |
!n1; |
|||||||
|
|
|
|
> |
Ãa |
|
c! |
|
|
à |
|
|
b! |
|
|||||
|
|
|
|
> |
|
|
1 |
|
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
> |
x |
|
z |
|
|
|
|
y |
|
||||||
ãäå |
è |
|
- |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
> |
|
|
+ |
|
|
|
n |
|
= |
1 + |
|
|
|
|
m ; |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
n1 |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянные, одновременно не равные нулю; а образующие |
|||||||||||||||
второго семейства уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
8 |
Ãa ¡ c!m2 = Ã1 + b!n2; |
||||||||||||||
|
|
|
|
> |
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||
|
|
|
|
> |
|
|
|
c! 2 |
à ¡ b! |
|
|||||||||
|
|
|
|
> Ãa |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
+ |
|
|
|
n |
|
= |
1 |
|
|
|
|
m ; |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå m2 è n2 - постоянные, одновременно не равные нулю.
Гиперболический параболоид
x2 ¡ y2 = z a2 b2
имеет два семейства образующих. Образующие одного семейства задаются уравнениями:
8 |
|
x |
|
y |
|
|
|
= n1; |
|
Ãa |
¡ b!m1 |
|
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
+ |
b |
! |
n |
1 |
= zm |
; |
> Ãa |
|
|
1 |
|
|||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>
:
60
ãäå m1 è n1 - постоянные, одновременно не равные нулю; а образующие
второго семейства уравнениями: |
|
|
|
|
|||
8 |
Ãa ¡ b!m2 = zn2; |
||||||
> |
x |
|
y |
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
x |
|
y |
|
|
|
> |
|
|
|
b! |
|
|
|
> Ãa |
|
2 |
2 |
||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
+ |
|
|
n |
= m ; |
> |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
ãäå m2 è n2 - постоянные, одновременно не равные нулю.
16.1 Найти проекцию на плоскость XOY линии пересечения эллипсоида
x162 + y42 + z2 = 1 и плоскости x + 4z ¡ 4 = 0. 16.2 Найти точки пересечения
1) поверхности |
x2 |
|
+ |
|
y2 |
|
+ |
z2 |
|
= 1 |
||
16 |
12 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
z2 |
|
||||
2) поверхности |
|
|
|
+ y2 ¡ |
|
|
= 1 |
|||||
4 |
|
9 |
ñпрямой
ñпрямой
x ¡ 4 = y + 6 = z + 2; 2 ¡3 ¡2
x ¡ 3 = y ¡ 1 = z ¡3 6:
16.3 Дан однополостный гиперболоид |
|
x2 |
+ |
y2 |
¡ |
16z2 = 1. Найти уравнения |
||||
25 |
36 |
|||||||||
линий его пересечения с плоскостями, параллельными координатным |
||||||||||
плоскостям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.4 По эллипсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
z2 |
|
|||||||
|
8 |
|
+ |
|
= 1; |
|
||||
|
b2 |
c2 |
|
|||||||
|
< x = 0 |
|
||||||||
скользят две вершины |
другого эллипса, который перемещается так, что |
|||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскость его остается все время перпендикулярной к оси OY , à ñàì
он деформируется, сохраняя постоянное отношение осей c : a. Найти
уравнение поверхности, описанной вторым эллипсом. |
2 |
|
2 |
|
z |
2 |
|
16.5 Найти геометрическое место хорд поверхности |
x |
+ y |
|
+ |
|
= 1, |
|
|
25 |
|
|
|
|||
|
16 |
9 |
|
проходящих через точку (2; 1; ¡1) и делящихся в этой точке пополам.
16.6 |
|
2 |
2 |
||
|
|
Найти геометрическое место прямыõ, проходящих через точку |
|||
(5; 1; 2) |
и пересекающих поверхность |
x |
+ y4 ¡z2 = 1 лишь в одной точке. |
||
9 |
|||||
162 |
.7 |
2 |
|
|
|
x5 |
|
Íайти геометрическое место касательных прямых к поверхности |
|||
+ y3 |
¡ z2 = 1, образующих равные углы с осями координат. |